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x+sin4x4? +C.
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Techniques of Integration
Functions consisting of products of the sine and cosine can be integrated by using substi- tution and trigonometric identities. These can sometimes be tedious, but the technique is straightforward. Some examples will suffice to explain the approach.EXAMPLE 10.1.1Evaluate?
sin5xdx. Rewrite the function:
sin5xdx=?
sinxsin4xdx=? sinx(sin2x)2dx=? sinx(1-cos2x)2dx.Now useu= cosx,du=-sinxdx:
sinx(1-cos2x)2dx=? -(1-u2)2du -(1-2u2+u4)du =-u+23u3-15u5+C
=-cosx+23cos3x-15cos5x+C.
203204Chapter 10 Techniques of Integration
EXAMPLE 10.1.2Evaluate?
sin6xdx. Use sin2x= (1-cos(2x))/2 to rewrite the
function: sin6xdx=?
(sin2x)3dx=?(1-cos2x)3
8dx 1 8?1-3cos2x+ 3cos22x-cos32xdx.
Now we have four integrals to evaluate:
1dx=x and -3cos2xdx=-32sin2x
are easy. The cos32xintegral is like the previous example:?
-cos32xdx=? -cos2xcos22xdx -cos2x(1-sin22x)dx -12(1-u2)du
=-1 2? u-u33? =-1 2? sin2x-sin32x3? And finally we use another trigonometric identity, cos2x= (1 + cos(2x))/2:?
3cos22xdx= 3?1 + cos4x
2dx=32?
x+sin4x4?So at long last we get
sin6xdx=x
8-316sin2x-116?
sin2x-sin32x3? +316?x+sin4x4? +C.