Fonction cube - Parfenoff org

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I) Définition

Soit ࢌ la fonction définie sur un Թ par :

Exemples :

݂ሺʹሻൌ ʹଷ = 8

II) Etude de la fonction cube

1) Variations de f sur Թ

La fonction ࢌ est strictement croissante sur Թ.

On peut reformuler le théorème ainsi :

Soit ࢇ et ࢈ deux nombres réels tels que ࢇ൏࢈ alors ࢌሺࢇሻ൏ࢌሺ࢈ሻ.

2) Démonstration (non obligatoire)

Soit deux réels ࢇ et ࢈.

En développant ሺܽെܾሻሺܽଶ൅ܾܽ൅ܾ

On a donc finalement :ሺࢇെ࢈ሻሺࢇ૛൅ࢇ࢈൅࢈;) = ࢇ૜െ࢈૜

Lorsque les deux nombres ࢇ et ࢈ ont le même signe : - Premier cas : on suppose ૙൑ࢇ൏࢈. Alors ܽെܾ൏Ͳ et ܽଶ൅ܾܽ൅ܾ Donc ሺܽെܾሻሺܽଶ൅ܾܽ൅ܾ

On obtient donc ܽଷെܾ

Donc finalement :

-à-dire : - Second cas: on suppose ࢇ൏࢈൑૙

Alors ܽെܾ

Or ܾܽest positif comme produit de deux nombres négatifs. ܽଶ et ܾ donc : Donc ሺܽെܾሻሺܽଶ൅ܾܽ൅ܾ

On obtient donc ܽଷെܾ

Donc finalement :

-à-dire : Conclusion : si deux nombres sont de même signe, la fonction cube préserve leur ordre strict. Lorsque les deux nombres ࢇ et ࢈ sont de signes différents : Si deux nombres sont de signes opposés, celui qui est négatif a son image négative, celui qui est positif a une image positive. Dans ce cas encore, la fonction cube préserve leur ordre strict.

3) Tableau de variations

ݔ െλ 0

4) Tableau de valeurs

࢞ -100 -10 -5 -2 -1 0 1 2 5 10 1 00 ࢌሺ࢞ሻ -1 000 000 -1 000 -125 -8 -1 0 1 8 125 1 000 1 000 000

5) Parité de la fonction cube

a) Propriété

La fonction cube est une fonction impaire

b) Démonstration :

Pour tout nombre réel ݔ :

Pour tout nombre réel ݔ, ݂ሺെݔሻൌെ݂ሺݔሻ la fonction ࢌest donc impaire.

c) Interprétation géométrique La représentation représentative de la fonction cube est symétrique par III) Courbe représentative de la fonction cube.

La courbe est bien

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