Chapitre12 : Fonctions circulaires réciproques[PDF] limite arctan en 0
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Fonctions usuelles
de nouvelles fonctions : ch, sh, th, arccos, arcsin, arctan, Argch, Argsh, Argth.Ces fonctions apparaissent naturellement dans la résolution de problèmes simples, en particulier issus de la physique.
Par exemple lorsqu"un fil est suspendu entre deux poteaux (ou un collier tenu entre deux mains) alors la courbe
dessinée est unechaînettedont l"équation fait intervenir le cosinus hyperbolique et un paramètrea(qui dépend de la
longueur du fil et de l"écartement des poteaux) : y=achxa1. Logarithme et exponentielle
1.1. LogarithmeProposition 1.
Il existe une unique fonction, notéeln :]0,+1[!Rtelle que : ln0(x) =1x
(pour tout x>0)etln(1) =0. De plus cette fonction vérifie (pour tout a,b>0) :1.ln(ab) =lna+lnb,
2.ln(1a
) =lna,3.ln(an) =nlna, (pour tout n2N)
4.lnest une fonction continue, strictement croissante et définit une bijection de]0,+1[surR,
5.limx!0ln(1+x)x
=1, 6. la fonction lnest concave etlnx6x1(pour tout x>0). FONCTIONS USUELLES1. LOGARITHME ET EXPONENTIELLE2xy lnxe1 10Remarque.
lnxs"appelle lelogarithme naturelou aussilogarithme néperien. Il est caractérisé parln(e) =1. On définit le
logarithme en baseapar log a(x) =ln(x)ln(a)De sorte que log
a(a) =1.Poura=10on obtient lelogarithme décimallog10qui vérifielog10(10) =1(et donclog10(10n) =n). Dans la
pratique on utilise l"équivalence :x=10y()y=log10(x)En informatique intervient aussi le logarithme en base 2 : log
2(2n) =n.
Démonstration.
L"existence et l"unicité viennent de la théorie de l"intégrale :ln(x) =Rx 11t dt. Passons aux propriétés.1.Posonsf(x) =ln(x y)ln(x)oùy>0est fixé. Alorsf0(x) =yln0(x y)ln0(x) =yx y
1x=0. Doncx7!f(x)a
une dérivée nulle, donc est constante et vautf(1) =ln(y)ln(1) =ln(y). Donc ln(x y)ln(x) =ln(y).
2.D"une part ln (a1a
) =lna+ln1a , mais d"autre part ln(a1a ) =ln(1) =0. Donc lna+ln1a =0. 3.Similaire ou récurrence.
4. ln est dérivable donc continue,ln0(x) =1x >0donc la fonction est strictement croissante. Commeln(2)>ln(1) =0 alorsln(2n) =nln(2)!+1(lorsquen!+1). Donclimx!+1lnx= +1. Delnx=ln1xon déduitlimx!0lnx=1. Par le théorème sur les fonctions continues et strictement croissantes,ln:]0,+1[!Rest
une bijection. 5. lim x!0ln(1+x)x est la dérivée de ln au pointx0=1, donc cette limite existe et vaut ln0(1) =1. 6. ln 0 (x) =1xest décroissante, donc la fonctionlnest concave. Posonsf(x) =x1lnx;f0(x) =11x. Par une étude de fonctionfatteint son minimum enx0=1. Doncf(x)>f(1) =0. Donc lnx6x1.1.2. ExponentielleDéfinition 1.
La bijection réciproque de ln :]0,+1[!Rs"appelle la fonctionexponentielle, notée exp :R!]0,+1[.
FONCTIONS USUELLES1. LOGARITHME ET EXPONENTIELLE3xyexpxe 1 10Pourx2Ron note aussiexpour expx.Proposition 2.
La fonction exponentielle vérifie les propriétés suivantes : •exp(lnx) =x pour tout x>0etln(expx) =x pour tout x2R• exp(a+b) =exp(a)exp(b) exp(nx) = (expx)n exp:R!]0,+1[est une fonction continue, strictement croissante vérifiantlimx!1expx=0et limx!+1exp= +1.La fonction exponentielle est dérivable etexp0x=expx, pour tout x2R. Elle est convexe etexpx>1+x.Remarque.
La fonction exponentielle est l"unique fonction qui vérifieexp0(x) =exp(x)(pour toutx2R) etexp(1) =e. Où
e'2,718... est le nombre qui vérifie lne=1.Démonstration.Ce sont les propriétés du logarithme retranscrites pour sa bijection réciproque.
Par exemple pour la dérivée : on part de l"égalitéln(expx) =xque l"on dérive. Cela donneexp0(x)ln0(expx) =1
donc exp0(x)1expx=1 et ainsi exp0(x) =expx.1.3. Puissance et comparaisonPar définition, poura>0 etb2R,a
b=expblnaRemarque. •pa=a12 =exp12 lna npa=a1n =exp1n lna(laracinen-èmedea) On note aussi expxparexce qui se justifie par le calcul :ex=expxlne=exp(x).Les fonctionsx7!axs"appellent aussi des fonctions exponentielles et se ramènent systématiquement à la fonction
exponentielle classique par l"égalitéax=exp(xlna). Il ne faut surtout pas les confondre avec les fonctions
puissancesx7!xa.Proposition 3.Soit x,y>0et a,b2R.
•x a+b=xaxb•x a=1x a•(x y)a=xaya•(xa)b=xabFONCTIONS USUELLES1. LOGARITHME ET EXPONENTIELLE4•ln(xa) =alnxComparons les fonctions lnx, expxavecx:Proposition 4.
lim x!+1lnxx =0etlimx!+1expxx = +1.xyx a(a>1)x a(a<1)expxlnxx 1 10Démonstration.
1. On a vu ln x6x1 (pour toutx>0). Donc lnx6xdonclnpxpx61. Cela donne
06lnxx
=lnpx2x
=2lnpx x =2lnpxpx 1px 62pxCette double inégalité entraîne lim
x!+1lnxx =0. 2. On a vu exp x>1+x(pour toutx2R). Donc expx!+1(lorsquex!+1). xexpx=ln(expx)expx=lnuuLorsquex!+1alorsu=expx!+1et donc par le premier pointlnuu !0. Doncxexpx!0et reste positive, ainsi limx!+1expxx = +1.Mini-exercices. 1.Montrer que ln (1+ex) =x+ln(1+ex), pour toutx2R.
2.Étudier la fonctionf(x) =ln(x2+1)ln(x)1. Tracer son graphe. Résoudre l"équation(f(x) =0). Idem avec
g(x) =1+lnxx . Idem avech(x) =xx. 3.Expliquer comment log
10permet de calculer le nombre de chiffres d"un entiern.
4. Montrerln(1+x)>xx22pourx>0(faire une étude de fonction). Idem avecex>1+x+x22pour toutx>0. 5. Calculer la limite de la suite définie par un=1+1n nlorsquen!+1. Idem avecvn=1n netwn=n1n FONCTIONS USUELLES2. FONCTIONS CIRCULAIRES INVERSES52. Fonctions circulaires inverses
2.1. ArccosinusConsidérons la fonction cosinuscos:R![1,1],x7!cosx. Pour obtenir une bijection à partir de cette fonction,
il faut considérer la restriction de cosinus à l"intervalle[0,]. Sur cet intervalle la fonction cosinus est continue et
strictement décroissante, donc la restriction cos j:[0,]![1,1] est une bijection. Sa bijection réciproque est la fonctionarccosinus: arccos :[1,1]![0,]xy cosx0 22+11xy
arccosx011 2 On a donc, par définition de la bijection réciproque : cos arccos(x)=x8x2[1,1] arccoscos(x)=x8x2[0,]Autrement dit : Six2[0,]cos(x) =y()x=arccosyTerminons avec la dérivée de arccos : arccos0(x) =1p1x28x2]1,1[Démonstration.On démarre de l"égalité cos(arccosx) =xque l"on dérive :
cos(arccosx) =x =) arccos0(x)sin(arccosx) =1 =)arccos0(x) =1sin(arccosx) =)arccos0(x) =1p1cos2(arccosx)() =)arccos0(x) =1p1x2FONCTIONS USUELLES2. FONCTIONS CIRCULAIRES INVERSES6Le point crucial()se justifie ainsi : on démarre de l"égalitécos2y+sin2y=1, en substituanty=arccosxon obtient
cos2(arccosx)+sin2(arccosx) =1doncx2+sin2(arccosx) =1. On en déduit :sin(arccosx) = +p1x2(avec le signe+car arccosx2[0,], et donc on a sin(arccosx)>0).2.2. Arcsinus