Fonctions trigonométriques et hyperboliques réciproques

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Pr. Meryam BENABDOUALLAH

I. Quelques formules de trigonométrie

1. Identité remarquable

2. Périodicité

3. Domaine de définition

4. Relations remarquables

Formules de duplication :

Quelques valeurs remarquables :

Pr. Meryam BENABDOUALLAH

Fonctions trigonométriques réciproques

1. Arc cosinus :

La fonction ܿ݋ݏǣܴ

périodique. Mais si on considère ůĂƌĞƐƚƌŝĐƚŝŽŶĚƵĐŽƐŝŶƵƐăů͛ŝŶƚĞƌǀĂůůĞ΀Ϭ͕ߨ

cosinus. Par définition :

On a donc que :

Par construction :

ሺݔሻൌݔǢ׊ݔאሾͲǡߨሿ et ݕൌሺݕሻ׊ݕא

Exemple 1 :

ଶ et Ͳ൏గ

Exemple 2 :

Comme ଻గ

2. Arc sinus :

La fonction ݏ݅݊ǣܴ

ଶ], cette fonction devient aussi injective et donc

bijective. Sa fonction réciproqƵĞƐ͛ĂƉƉĞůůĞĂƌĐƐŝŶƵƐĚŽŶĐŽŶĂ :

Pr. Meryam BENABDOUALLAH

Par définition, on peut dire :

On aura :

ଶቃ et ݕൌݏ݅݊ሺܽݎܿݏ݅݊ݕሻݕא

Exemple :

3. Arctan :

En ce qui concerne la fonction tangente, elle aussi est périodique, donc ĞůůĞŶ͛ĞƐƚƉĂƐ

injective. De toute façon sur tout intervalle du type (ିగ strictement croissante et donc injective. Sa restriction :

Si ݔא

4. Dérivées et représentations graphiques :

Arc cos :

Si ݔאሾͲǡߨሿݔൌݕ֞

Preuve :

Pr. Meryam BENABDOUALLAH

ሺݔሻൌݔ֜ሺܿ݋ݏሺܽݎܿܿ݋ݏݔሻሻᇱൌͳ֜െሺܽݎܿܿ݋ݏݔሻԢݏ݅݊ሺܽݎܿܿ݋ݏݔሻ=1 ֜

(arccos ݔሻǯൌିଵ

Or on a :

ܿ݋ݏଶݕ൅ݏ݅݊ଶݕൌͳ et ݕൌݔ on obtient:ܿ

Arc sin :

Arc tangente :

La restriction ݐܽ

fonction arc tangente. ܽݎܿݐܽ݊ǣܴ

Pr. Meryam BENABDOUALLAH

Applications :

1. Calculer les valeurs de arccos et arcsin en Ͳǡͳ, ½, ξଶ

ଶ. Idem pour ܽݎܿݐܽ

2. Calculer ሺ଻గ

3. Calculer ሺݔሻǡሺݔሻǡሺݔሻ.

4. Calculer la dérivée de ݂ሺݔሻൌሺ௫

En déduire que ݂ሺݔሻൌݔǡ׊ݔא

5. Montrer que : ݔ൅ݔൌగ

Pr. Meryam BENABDOUALLAH

Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses

I. Définition

Et ݁ି௜௫ൌ݁௜ሺି௫ሻൌሺെݔሻ൅݅ݏ݅݊ሺെݔሻൌݔെ݅ݔ

Donc ݁௜௫݁ݏݐ݈݁ܿ

Remplaçons ݔ par ݅ݔ

Les fonctions ௘ೣା௘షೣ ଶ est dite cosinus hyperbolique ch, ௘ೣି௘షೣ ଶ est appelée sinus hyperbolique sh.

Remarque :

Cas hyperbolique :

On a :݄ܿଶݔെݏ݄ଶݔൌͳ ܺ֜ଶെܻଶൌͳ݁ݐܺ൒Ͳ֜

II. Propriétés

ଶൌെݏ݄ݔ, le sh est impair

III. Cosinus hyperbolique et son inverse

Pr. Meryam BENABDOUALLAH

ଶ. La restriction ܿ réciproque ܽݎ݃ܿ

IV. Sinus hyperbolique et son inverse

௫՜ିஶݏ݄ݔൌെλ et ௫՜ାஶݏ݄ݔൌ൅λ. Sa bijection réciproque est ܽݎ݃ݏ݄ ǣܴ՜ܴ

Proposition :

V. Tangente hyperbolique et son inverse

La tangente hyperbolique est ݐ݄ݔൌ௦௛௫

La fonction ݐ݄ǣܴ՜ሿെͳǡͳሾ est une bijection. On note ܽݎ݃ݐ݄ǣሿെͳǡͳሾ՜ܴ

réciproque.

Pr. Meryam BENABDOUALLAH

VI. Trigonométrie hyperbolique

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[PDF] Fonctions trigonométriques et hyperboliques réciproques

Fonctions trigonométriques réciproques - Collège de l'Abbaye

Fonctions trigonométriques réciproques