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3ULPLPLYH HP FMOŃXO G XQH LQPpJUMOH I) Primitive
1) Définition : Soit ࢌ une fonction définie sur un intervalle I.
On appelle primitive de ࢌ sur I, toute fonction ࡲ dérivable sur I dont la dérivée ࡲ HVP pJMOH j ࢌ.Exemple :
Soit ݂ la fonction définie sur IR par ݂ሺݔሻ ൌ ͷݔ -. Les fonctions ܨ et ܩ définies sur IR par ܨݔଶ -ݔ Ȃ et ܩ
des primitives de ݂. 2 (QVHPNOH GHV SULPLPLYHV G XQH IRQŃPLRQ : a) Propriété : Soit ࢌ une fonction définie sur un intervalle ࡵB 2Q VXSSRVH TX LO H[LVPH XQH primitive ࡲ de ࢌ sur ࡵǤI HQVHPNOH GHV SULPLPLYHV de ࢌ sur ࡵ HVP O HQVHPNOH GHV IRQŃPLRQV ࡳ définies
sur ࡵ par ࡳሺ࢞ሻ ൌ ࡲሺ࢞ሻ où décrit IR.
Preuve :
Soit ܩ une primitive de ݂ sur ܫ. On a donc ܩ ܫ, on a ሺܩ Ȃ ܨሻǯሺݔሻ = 0. Donc la fonction ܩȂ ܨ est constante sur O LQPHUYMOOH ܫ
ܫ, on a ሺܩ Ȃ ܨሻሺݔሻ = ݇ G RZ ܩሺݔሻ = ܨሺݔሻ ݇ pour tout ݔ ܫǤ Réciproquement soit ܩ la fonction définie sur ܫ par ܩሺݔሻ = ܨ
݇ où ݇ IR.
On a ܩǯሺݔሻ = ܨǯሺݔሻ + 0 donc ܩǯሺݔሻ = ݂ሺݔሻ pour tout ݔ ܫ donc ܩ est une primitive de ݂ sur ܫ
Si la fonction ݂
admet une primitive sur un intervalle ܫ Soit ܩ et ܨ deux primitives de ݂ sur ܫ tels que ܩሺݔሻ =ܨ݇, alors dans un repère
orthogonal ሺ ܱ Ǣ ଓԦ ǡଔԦ ሻ la courbe représentative de ܩ représentative de ܨ b) Primitive prenant une valeur donnée en un réel donné :Propriété :
Soit ࢌ une fonction définie sur un intervalle ࡵ. On suppose que ࢌ admet des primitives sur ࡵ. Soit ࢞ et ࢟ deux réels tels queIl existe une unique primitive ࡲ de ࢌ vérifiant ࡲሺ࢞ሻ = ࢟
Preuve :
La fonction ݂ admet des primitives, soit ܩ
On considère la fonction ܨ définie par ܨሺݔሻ = ܩሺݔሻെ ܩ
ܨ est aussi une primitive de ݂ car ܨǯሺݔሻ = ܩDe plus on a ܨ
Soit ܪ une autre primitive de ݂ vérifiant ܪሺݔሻ =ݕ. 2Q VMLP TX LO H[LVPH XQ UpHO ݇ tel que ܪሺݔሻ = ܨ
ܫ. Donc en particulier on a ܪሺݔሻ = ܨ݇ = 0 donc ܨ = ܪ
La fonction ࡲ
est donc bien unique.Exemple :
Soit ݂ la fonction définie pour tout ݔ ג Թ par ݂ሺݔሻ = -ݔ ͵ Déterminer la primitive ܨ de ݂ telle que ܨ On vérifie facilement que les primitives de ݂ sont ܨSi on veut ܨ
La primitive cherchée est donc ܨ
3) Primitives des fonctions usuelles :
Soit ܥ un réel quelconque. ݂ est définie sur ܫ ݂ ሺݔ ሻ ൌ Les primitives de ݂ sur ܨ ሺݔሻ ൌ I LQPHUYMOOH ܫ ࢞ IR ࢞( IR ࢞ା IR ࢞ ] - ; 0 [ ou ] 0 ; +[ ሺെሻ࢞ି ] - ;0 [ ou ] 0 ; +[ξ࢞ ξ࢞ ] 0 ; +[
࢞ ሺ࢞ ሻ ] 0 ; +[ ࢙ ሺ࢞ሻ െ ࢉ࢙ ሺ࢞ሻ IR ࢉ࢙ ሺ࢞ሻ ࢙ ሺ࢞ሻ IR ࢋ࢞ ࢋ࢞ + IR4) Primitives et opérations sur les fonctions :
Propriétés de linéarité :
Soit ࡲ et ࡳ des primitives respectives des fonctions ࢌ et ࢍ sur un intervalle I alors : ł F + G est une primitive de la fonction ࢌ + ࢍ sur ࡵ ;ł Pour tout réel , ࡲ est une primitive de la fonction ࢌ sur ࡵ.
Exemples : ł Les primitives de ݂ሺݔሻ = ͵ݔଶ sont ܨ ௫െ -ݔ sont sur ] 0 ; +[ :Թ Primitives et composées de fonctions
Soit ݑ une fonction définie et dérivable sur un intervalle ܫAucune condition
particulière ࢛ᇱࢋ࢛ ࢋ࢛ + Aucune condition particulièreExemples :
Pour chaque fonction ݂, déterminer ses primitives et en déduire une primitive sur O LQPHUYMOOH HB
a) ݂ሺݔሻ = ݔଶሺݔଷ Ȃ ͳሻହ ; ܫ cሻ ݂ሺݔ) = ௫ మିସ ; I = ]2 ; +[ ; d) ݂ሺݔሻ = ିଵ ௫మ ݁భೣ ; I = ]0 ; +[.Réponses :
a) ݂ሺݔሻ = ݔଶሺݔଷȂ ͳሻହ en utilisant la formule ࢛ᇱ࢛ avec ݑሺݔሻൌ ݔ͵െͳ on obtient : ࡲ
࢞െ ሻ + b) ݂ሺݔሻ =ଷ௫ ௫మିଵ en utilisant la formule ࢛ᇲξ࢛ avec ݑሺݔሻൌ ݔ-െͳ on obtient : ࡲሺ࢞ሻ = ξ࢞െ + c) ݂ሺݔ) = ௫
మିସ en utilisant la formule ࢛ᇲ࢛ avec ݑሺݔሻൌ ݔ-െͶ on obtient : ࡲሺ࢞ሻ =
௫మ ݁భೣ en utilisant la formule ࢛ᇱࢋ࢛ avec ݑሺݔሻൌ ͳݔ on obtient : ࡲሺ࢞ሻ = ࢋ
࢞ + II) FMOŃXO G XQH LQPpJUMOH : 1) Primitive G XQH IRQŃPLRQ ŃRQPLQXH : a) Théorème :
Si ࢌ est une fonction continue sur un intervalle ࡵ et si ࢇ est un réel de O LQPHUYMOOH I alors la fonction F définie sur I par ࡲሺ࢞ሻ = HVP O XQLTXH SULPLPLYH GH ࢌ sur ࡵ V MQQXOMQP HQ ࢇ .Preuve :
Cas où f est une fonction continue et croissante sur I.Soit ݔ un réel de
ܫ et soit h tel que ݔ+ ݄ appartienne à ܫ On a ܨሺݔ+ ݄) ± ܨሺݔሻ = G MSUqV OM UHOMPLRQ GH FOMVOHV RQ M ܨሺݔ+ ݄) ± ܨሺݔሻ =
ł Si ݄ -, la fonction ݂ étant croissante, pour tout ݔ ሾݔ Ǣ ݔ ݄ሿ, on a : ݂ሺݔ
݂ሺݔሻ ݂ሺݔ ݄ሻ G MSUqV O LQpJMOLPp GH OM PR\HQQH RQ M : ݂ሺݔ
݂ሺݔ ݄ሻ ł Si ݄ ൏-, la fonction ݂ étant croissante, pour tout ݔ ሾݔ Ǣ ݔ ݄ሿ, on a : ݂ሺݔ
݄ሻ ݂ሺݔሻ ݂ሺݔሻ G MSUqV O LQpJMOLPp GH OM PR\HQQH RQ M : ݂ሺݔ
݂ሺݔሻ La fonction f est continue en ݔ donc՜݂ሺݔ ݄ሻൌ ݂ሺݔሻ. GRQŃ G MSUqV OH POpRUqPH GHV JHQGMUPHV RQ M :՜ி
= ݂ሺݔሻ Donc la fonction ܨ est dérivable en ݔ et ܨDonc ܨ est dérivable sur ܫ
On a ܨሺܽሻ =
= 0. ࡲ HVP GRQŃ O XQLTXH SULPLPLYH GH ࢌTXL V MQQXOH HQ ࢇ.
On peut faire une démonstration équivalente lorsque f est continue et décroissante sur I Exemples : Exemple 1 : Soit ܨ la fonction définie sur IR par ܨሺݔሻ = . Déterminer le sens de variation de ܨ sur IR.Réponse : G MSUqV ŃH TXL SUpŃqGH ܨ
మାଵ qui s µMQQXOH HQ ݔ ൌ - Donc ܨet ܨǯሺ-ሻ ൌ - donc ܨᇱሺݔሻ - sur IR et de ce fait ܨ
croissante sur IR Exemple 2 : Soit ܨ la fonction définie sur ሾ ͳ Ǣ λ ሾ par ܨሺݔሻ =
ଵݐ Déterminer le sens de variation de ܨ sur ሾ ͳ Ǣ λ ሾRéponse : ܨ
௫ qui s µMQQXOH HQ ݔ ൌ ͳ Donc ܨ௫ et ܨǯሺͳሻ ൌ - donc ܨᇱሺݔሻ - sur ሾ ͳ Ǣ λ ሾ et de ce fait ܨ
Remarque ܨ
2) Intégrales et primitives :
Propriété :
Soit ࢌ une fonction continue sur un intervalle ࡵ, ࢇ et ࢈ sont deux réels de ࡵ.
Soit ࡲ une primitive de ࢌ sur ࡵ. On a Notation :
On écrit aussi
Preuve :
Soient
ܨ la primitive de ݂ TXL V MQQXOH HQ ܽ, on a Or ܨሺܽሻ = 0 donc
Si ܩ est une autre primitive de ݂ alors il existe un réel ݇ tel que : ܩሺݔሻ = ܨሺݔሻ + ݇ pour tout ݔ ܫ. Donc ܩሺܾሻ ± ܩሺܽሻ = (ܨሺܾሻ + ݇) ± (ܨሺܽሻ + ݇) = ܨሺܾሻ ± ܨሺܽ