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Problème 1 : continuité uniforme

Étant donnée une fonctionfde variable réelle définie sur un intervalleId"intérieur non vide, on dit

quefest uniformément continue surIlorsque : ?ε >0,?η >0,?(x,y)?I2,? |x-y|?η? |f(x)-f(y)|?ε?

1. Écrire à l"aide de quantificateurs la proposition "fn"est pas uniformément continue surI».

2. On rappelle qu"une fonctionfest lipschitzienne de rapportk, oùkest un réel strictement

positif, si pour tout couple(x,y)d"éléments deIon a : |f(x)-f(y)|?k|x-y| Montrer que toute fonction lipschitzienne surIest uniformément continue surI. 3.

3.1. Montrer que pour tous réelsxetyon a :

|y| - |x|??? ?|y-x|

3.2. On considère la fonctionfdéfinie surRpar :

f(x) =1

1 +|x|

Montrer quefest uniformément continue surR.

4.

4.1. Montrer que pour tous réels positifsxetyon a :

??|x-y|

4.2. Montrer que la fonctiong:x?→⎷

xest uniformément continue surR+.

4.3. Montrer que la fonctiongn"est pas lipschitzienne surR+.

5.

5.1. En considérant les deux suites de réels(xn)n?Net(yn)n?Ndéfinies pour tout entiernpar

x n=⎷ n+ 1etyn=⎷n, montrer que la fonctionh:x?→x2n"est pas uniformément continue surR.

5.2. La fonctionhest-elle lipschitzienne surR?

6. SoitFun application uniformément continue deR+dansR. On se propose de montrer qu"il

existe deux réelsaetbtels que, pour toutx?R+:

F(x)?ax+b

6.1. Justifier l"existence d"un réelη1strictement positif tel que :

?(x,y)?(R+)2,? |x-y|?η1? |F(x)-F(y)|?1?

Soitx0?R+.

6.2. Soitn0le plus petit entier tel quex0

n0?η1; justifier l"existence den0et exprimern0en fonction dex0et deη1. 2/6

6.3. Montrer que :

|F(x0)-F(0)|?n 0-1? k=0?????

F?(k+ 1)x0

n0? -F?kx0n0?

6.4. Conclure.

7.

7.1. Les fonctions polynômes de degré supérieur ou égal à 2 sont-elles uniformément continues

surR?

7.2. La fonction exponentielle est-elle uniformément continue surR?

8.Théorème de HeineSoitI= [a;b](a < b) un segment deR. On se propose de démontrer le théorème de Heine1:si

une fonctionGest continue surIalors elle est uniformément continue surI. On suppose dans la suite queGest une fonction continue surI= [a;b]et queGn"est pas uniformément continue surI.

8.1. Justifier qu"il existe un réelε >0et deux suites(xn)n?1et(yn)n?1d"éléments deItels

que pour tout entiern?1: |xn-yn|?1 net|G(xn)-G(yn)|> ε

8.2. Justifier qu"il existe deux sous-suites(xσ(n))n?1et(yσ(n))n?1convergentes telles que pour

tout entiern?1: |xσ(n)-yσ(n)|?1 net|G(xσ(n))-G(yσ(n))|> ε

8.3. Montrer que :

limn→+∞xσ(n)= limn→+∞yσ(n)

8.4. Conclure.

9. SoitJun intervalle d"intérieur non vide. Si une fonctionGest uniformément continue sur tout

intervalle[a;b]inclus dansJ,Gest-elle nécessairement uniformément continue surJ?

Problème 2 : marches aléatoires

Partie A: quelques résultats d"analyse

1. On considère la suite(Hn)n?1définie par :

H n=n? k=11 k

1.1. Montrer que pour tout entierk?1:

1 k+ 1?? k+1 k1tdt?1k

1.2. En déduire que pour toutn?1:

ln(n+ 1)?Hn?1 + ln(n) puis que H n≂+∞ln(n)

1. Eduard Heine (1821-1881), mathématicien allemand

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2. On considère la suite(Kn)n?1définie par :

K n=n? k=11 k2 Montrer, à l"aide des outils de terminale scientifique, que la suite(Kn)n?1converge; on notera Kla limite de cette suite (on ne demande pas de calculerK).

3. On pose pour tout entier naturelnnon nul :

a n=⎷ n 4n? 2n n?

On admet la formule de Stirling

2: n!≂+∞? n e? n?2πn

Montrer que la suite(an)n?N?converge vers1

4. Montrer que, pour tout entiernnon nul, on a :

a n+1 an-1 =? n+ 1-⎷n? 2

2⎷n⎷n+ 1

5. En déduire que la suite(an)n?N?est croissante et que pour tout entiern?1:

a n?1 6.

6.1. Montrer que pour tous réelsaetbon a :(a+b)2?4ab.

6.2. En déduire que, pour tout entier naturelnnon nul :

n+ 1-⎷n?

2?14?n(n+ 1)

7.

7.1. Montrer que pour tout entiern?1:

0?an+1-an?1

8n(n+ 1)⎷π

7.2. Montrer que pour tout entierk?1et tout entierp?k:

0?ap-ak?1

8k⎷π

7.3. En déduire que, pour tout entierknon nul :

0?1 ⎷π-ak?18k⎷π

2. James Stirling (1692-1770) mathématicien écossais

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Partie B: marche aléatoire sur une droite

Soit(O;#»ı)un axe gradué. Dans la suite du problème, tous les instants considérés sont des nombres

entiers naturels.

Une particule située sur un point d"abscissek?Zsaute à chaque instant sur le point d"abscissek+1

ou sur le point d"abscissek-1, avec la même probabilité. Chaque saut est indépendant du précédent. La particule est à l"origine à l"instantt= 0.

On noteOkla variable aléatoire égale à1si la particule est à l"origine à l"instantt=ket0sinon et

U nla variable aléatoire égale au nombre de passages enOde la particule entre les instants1et2n (n?1).

1. Exprimer la variableUnen fonction des variablesOk.

2. Pour toutk?1, montrer que :

2.1.P(O2k+1= 1) = 0;

2.2.P(O2k= 1) =1

4k? 2k k? =ak⎷k.

3. Calculer l"espérance mathématiqueE(Un)de la variable aléatoireUnet montrer que, pour tout

entiern?1:

E(Un) =(2n+ 1)

4n? 2n n? -1

4. En déduire un équivalent deE(Un)lorsquentend vers+∞.

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