Monotonie - unicefr[PDF] démontrer qu'une fonction est croissante sur un in
[PDF] tp mps svt
[PDF] site de recherche de personne gratuit
[PDF] comment espionner quelqu un sur facebook
[PDF] fonction cube definition
[PDF] comment espionner quelqu un a distance
[PDF] recherche renseignement sur une personne
[PDF] tableau de signe fonction cube
[PDF] compte rendu mps seconde raisin
[PDF] mps seconde investigation policière scénario
[PDF] fonction racine cubique
[PDF] fonction cubique graphique
[PDF] conception industrielle définition
[PDF] fonction d'estime définition
Monotonie
D´edou
F´evrier 2011
Fonctions croissantes
On dit qu"une fonctionfest croissante ssipourxetydans le DD def, si on ax≤y, on a aussif(x)≤f(y).En langage plus formel, ¸ca donne
?x,y?DD(f),x≤y?f(x)≤f(y).Exo 1 Donnez la d´efinition formelle de "fest d´ecroissante".Fonctions strictement croissantes
On dit qu"une fonctionfest strictement croissante ssipourxetydans le DD def, si on ax choses int´eressantes `a dire sur son sens de variation.On dit qu"une fonction est croissante sur une partieIdeDD(f) ssi?x,y?I,x≤y?f(x)≤f(y).On s"int´eresse surtout au cas o`uIest un intervalle.Exemple La fonction carr´e est croissante sur l"intervalle [2,e[.On a les notions voisines de d´ecroissance, croissance stricte, On dit queIest un intervalle de stricte monotonie defssiIest contenu dansDD(f) etfest strictement monotone surI.Exemple strictement) sur [0,+∞[.On dit queIest un intervalle de stricte monotonie maximal defssiIest un intervalle de stricte monotonie defIn"est pas contenu dans un intervalle de stricte monotonie de Mais attention, les deux ´enonc´es (vrais)La somme de deux fonctions croissantes surIest croissante I, alorsfest strictement croissante surI.Bien voir que cette fois, la condition est suffisante mais pasQuand nos fonctions usuelles sont croissantes
elles sont le plus souvent strictement croissantes. Pour fabriquer une fonction croissante non strictement, il faut se creuser la cervelle.Exemple La fonctionx?→six>0alorsxsinon0 est croissante non strictement.Exo 2 Donner un exemple de fonction d´ecroissante non strictement. Fonctions monotones
On dit qu"une fonctionfest monotone ssielle est soit croissante soit d´ecroissante. Contre-exemple
La fonction carr´ex?→x2n"est pas monotone : en effet, bien qu"elle soit "tantˆot croissante, tantˆot d´ecroissante", elle n"est ni croissante ni d´ecroissante.Exo 3 Devinez la d´efinition de "fonction strictement monotone". Fonctions parfois croissantes
Bien que la fonction carr´ex?→x2ne soit pas monotone, on a des Intervalles de monotonie
Intervalles de stricte monotonie maximaux
C"est un peu d´ebile de dire que la fonction carr´e est croissante sur [2;e[ alors qu"on sait bien que c"est une information tronqu´ee, la bonne info ´etant que cette fonction est croissante (et mˆeme Tableau de variation
Le tableau de variation d"une fonction met en ´evidence ses intervalles de stricte monotonie maximaux.Exo 7 Donnez les intervalles de stricte monotonie maximaux d"une fonctionfdont voici le TV :x-∞ -7 3 4 +∞4 6 f(x)? ? ? ? 2 0-∞Cette fonction a une infinit´e d"intervalles de stricte monotonie,
mais seulement quatre d"entre eux sont maximaux. Monotonie et op´erations
Proposition
La somme de deux fonctions croissantes surIest croissante surI.Le produit de deux fonctionspositivescroissantes surIest une fonction croissante surI.Le quotient d"une fonctionpositivecroissante surIpar une fonctionpositiveetd´ecroissantesurIest une fonction croissante surI.L"oppos´ee d"une fonction croissante surIest d´ecroissante sur I, et vice-versa.Exo 8
Ecrivez l"´enonc´e analogue concernant l"addition de fonctions strictement d´ecroissantes. Monotonie et factorisation
La notion de monotonie est l`a pour traˆıter simultan´ement le cas "croissant" et le cas " d´ecroissant" (on parle defactorisation). Additon de fonctions monotones
Exemple
Les fonctionsx?→x3etx?→ -xsont monotones, mais leur sommex?→x3-xne l"est pas .Exo 9 Donner un autre exemple d"une somme de deux fonctions monotones qui n"est pas monotone. Monotonie et composition
Proposition
La compos´ee de deux fonctions monotones est monotone. La compos´ee de deux fonctions strictement monotones est strictement monotone.Et ¸ca se d´emontre! Cet ´enonc´e se comprend avec un dessin que je sais faire au tableau mais pas sur le oueb. D´eriv´ee et monotonie
Proposition
Soitfd´erivable sur l"intervalleI. Alorsfest croissante surIssif?est positive surI.Exo 10 Donnez l"´enonc´e analogue pour la d´ecroissance. D´eriv´ee et stricte monotonie
Proposition
Soitfd´erivable sur l"intervalleI. Sif?est strictement positive sur