Chapitre 2 : Fonctions d’une variable réelle

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Chapitre 2 : Fonctions d’une variable réelle - univ-amufr

Chapitre 2 : Fonctions d"une variable réelle

Table des matières

1 Introduction2

1.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Ensembles usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3 Règles de calcul dansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

2 Fonction d"une variable réelle 4

2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Parité et périodicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4 Composition de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5 Antécédent, image directe et image réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6 Bijectivité et fonction réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.7 Continuité et dérivabilité d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.8 Étude des variations d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Fonctions usuelles12

3.1 La valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 Fonction polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4 Fonction logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5 Fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6 Fonctions puissances et leurs réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Techniques de calcul de limites 19

4.1 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 Limite de fonctions composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3 Astuces récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4 Théorème des gendarmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.5 Croissances comparées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.6 Règle de l"Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Théorèmes fondamentaux 23

A Formulaire26

B Exercices28

1 Introduction

1.1 Notations

Nous introduisons ici quelques notations qui seront utilisées par la suite pour l"écriture d"as-

sertions mathématiques : ?le symbole "?» veut dire " pour tout » ou bien " quel que soit »; ?le symbole "?» veut dire " il existe »; ?le symbole "?!» veut dire " il existe un unique »; ?le symbole " : » veut dire " tel que »; ?le symbole "?» veut dire " implique » ou encore " si .... alors »; ?le symbole "?» veut dire " est équivalent à » ou encore " si et seulement si ». Exemples.Voici quelques exemples de lecture d"assertions mathématiques. 1. " ?x?R;f(x)>3» se lit " Pour toutxdansR,f(x)est strictement supérieur à3. » 2. " ?x?R;?y?R;x⩾y?f(x)⩾f(y)» se lit " Pour toutxdansR, pour toutydansR,x

supérieur ou égal à y impliquef(x)supérieur ou égal àf(y), » ou encore " Pour toutxdansR,

pour toutydansR, si estxsupérieur ou égal à y alorsf(x)est supérieur ou égal àf(y), »

3. " ?x?R-?f(x)⩽1» se lit " Il existexdansR-tel quef(x)est strictement plus petit que1». 4. " ?y?R;?x?R?y=f(x)» se lit " Pour toutydansR, il existexdansRtel queyest égal à f(x). »

5.?x;y?R;f(x)=f(y)?x=yse lit " Pour toutxetydansR,f(x)égal àf(y)implique quex

est égal ày» ou encore " Pour toutxetydansR, sif(x)est égal àf(y)alorsxest égal ày».

6. " ?x;y?R+;x2=y2?x=y» se lit " Pour toutx;ydansR+x2est égal ày2si et seulement six est égal ày. » 7. " ?!x?R?x2=0» se lit " Il existe un uniquexdansRtel quex2est égal à0. »

1.2 Ensembles usuels

L"ensemble des nombres réelsR=]-∞;+∞[possède les sous-ensembles remarquables suivants :

?R?=R∖{0}; ?N={0;1;2;3;::::}l"ensemble des entiers naturels; ?N?={1;2;3;::::}l"ensemble des entiers naturels privé de0; ?Z={::;-3;-2;-1;0;1;2;3;:::}l"ensemble des entiers relatifs; ?Q=?pq ; p?Z; q?N??l"ensemble des rationnels; ?R∖Ql"ensemble des irrationnels;quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

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Fonctions d’une variable r´eelle BTS Table des mati`eres

CHAPITRE 1 Fonctions réelles d’une variable réelle I

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