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Chapitre 2. Le consommateur.
2.1. Le problème du consommateur
On s'intéresse à la consommation debiens d'un consommateur donné. On définit unplan de consommationdu consommateur comme la donnée de sa consommation de chaque bien. Formellement, c'est un pointdans l'espace des biens On appelleensemble de consommationdu consommateur l'ensemble des plans de consommation satisfaisant ses besoins vitaux. C'est un sous-ensemble de l'espace des biens Remarque2.1. Dans, la consommation d'un bien par le consommateur peut être négative (Cf., par exemple, le temps, la demande de loisir et l'ore de travail).
2.2. Préférences du consommateur.
On admet que, face à deux plans de consommation quelconques, le con- sommateur peut dire s'il préfère l'un, l'autre, ou s'il est indiérent. On admet ensuite que ces préférences peuvent être représentées par unefonction d'utilité, associant à tout plan de consommationdans un nombre()ayant l'interprétation suivante : 0
1)le consommateur préfère
0 1
2.3 Notions dérivées
On définit unecourbe d'indiérencedu consommateur comme un ensem- bledepointsdel'espacedesbiens
équivalents au sens des préférences du
consommateur. Tous les pointsd'unemêmecourbed'indiérence ont même utilité()=.x 1 x 2
Courbe
d'indifférence xx'O x 1 x 2
Courbe
d'indifférence xx'O 1 Exercice2.1. Représenter la courbe d'indiérence()=1quand le con- sommateur est caractérisé par l'ensemble de consommation=¡ 2 et la fonction d'utilité()=ln( 1 )+ln( 2 )définie sur.
2.3 Propriétés des préférences
On expose et on commente ici les hypothèses utilisées par la suite. Hypothèse2.1 : L'ensemble de consommationvérifie les propriétés : - il est convexe, fermé et borné inférieurement ; - il contient le vecteur nul ; -ilvérifie:siet 0 >,alors 0 x 1 x 2 OX x 1 x 2 OX Hypothèse2.2 : La fonction d'utilitéest définie sur,continueetcrois- sante : Si 0 ,alors( 0 En d'autres termes, le consommateur n'est jamais saturé de consommation. Hypothèse2.3 : La fonction d'utilitéest diérentiable deux fois. Ses dérivées premières ne sont jamais toutes simultanément nulles. Hypothèse2.4 : La fonction d'utilitéest strictement quasi-concave : ,01,ona(+(1) 0 )min{()( 0 Autrement dit, l'ensemble des plans de consommation préférés à un plan de consommationquelconque est strictement convexe. Une justification de cette hypothèsepeutêtreungoûtduconsommateur pour la variété.
2.3 Substitution et valeur
La notion de valeur se confond avec celle de termes d'échange entre les biens. Pour le consommateur, la valeur d'un bien se définit par rapport aux autres biens, en comparant leurs capacités respectives à lui procurer une satisfaction. 2 On définit letaux marginal de substitution du bien 1 par le bien 2,noté 12 ,commeleratio 12 2 1 01 02 Cette notion correspond graphiquement à la pente de la courbe d'indiérence au point(en valeur absolue) dans le plan( 1 2 ). C'est la valeur du quotient 2 1 ,quand 1
0et quand
2 est choisi pour maintenir() inchangé. Un raisonnement simple permet d'enretrouver l'expression. Soientet +deux plans de consommation. Si la fonction d'utilité est diérentiable, l'utilité en ces deux points est liée par la relation X =1 0
Supposons que
=0, sauf pour les biens 1 et 2, et que(+)=() (par définition du 12 , le consommateur est indiérent entre les deux plans de consommation). On a l'égalité 01 1 02 2 =0, qui permet de retrouver l'expression du 12
Pour l'interprétation, notons qu'en posant
1 =1, cette relation implique qu'il faut que 2 01 02 12 pour que le consommateur garde la même utilité. Il revient au même de dire que, du point de vue du consommateur, une unité du bien 1 vaut 12 unités du bien 2.
Exercice2.2. Calculer le
12 pour la fonction d'utilité donnée dans l'exercice 2.1.
2.4. Comportement du consommateur.
Par hypothèse, le consommateur cherche à maximiser son utilité(). Comme pour l'entreprise, on admet lestrois hypothèses suivantes. Avec la définition de son objectif, elles déterminent sans ambiguïté le comportement du consommateur dans une économie de marché. Hypothèse2.5. (d'information parfaite). Le consommateur a une informa- tion parfaite sur les prixet sur ses préférences(). Hypothèse2.6. (de rationalité parfaite). Il est capable de résoudre sans coût n'importe quel problème d'optimisation sous contrainte. Hypothèse2.7. (de concurrence parfaite). Il considère le vecteur de prix comme une donnée et pense pouvoir vendre ou acheter aux prixn'importe quelle quantité. 3
2.5. Equilibre du consommateur.
Soientle vecteur des prix prévalant dans l'économie etle revenu du consommateur (supposé donné). Un équilibre du consommateur est un plan de consommation 0 qui maximise son utilité()dans l'ensemble des plans de consommation possibles physiquement ()etéconomiquement(·=P =1
6) pour lui. Formellement, un équilibre du consommateur vérifie
0 maximise(),souset·6.
2.5.1. Existence et unicité de l'équilibre.
L'existence d'un équilibre du consommateur est assuré du fait que l'ensemble des plans de consommation vérifiantet·6est fermé, borné et non vide si>0(Hypothèse 2.1) et du fait que la fonction d'utilitédu consommateur est continue (Hypothèse 2.2). L'unicité est garantie du fait que la fonction d'utilitéest strictement quasi- concave (Hypothèse 2.4).
2.5.2. Propriétés diérentielles de l'équilibre.
Une première propriété découle de l'hypothèse 2.2, postulant que l'utilité est croissante. Par l'absurde, il est évident de montrer qu'elle implique qu'à l'équilibre, le consommateur sature toujours son budget. Formellement, si 0 est un équilibre du consommateur pour les prixet le revenu,ilvérifieP =1 0 En utilisant l'hypothèse 2.4 (de diérentiabilité de), d'autres propriétés pertinentes peuvent être dérivées.
Alors, si
0 est un équilibre du consommateur et si 0 est intérieur à l'ensemble de consommation(il n'est pas sur la frontière), il existe unmultiplicateur de
Lagrangeet unefonction Lagrangienne
X =1quotesdbs_dbs11.pdfusesText_17
Chapitre 1 La thØorie du comportement du consommateur - HEC