Equation de Bessel

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Référence :FGNan4p.101

Leçons :220, 221, (241) (243), (244).

Le but est d"étudier l"équation différentielle suivante (E)xy??+y?+xy= 0

Déjà, par le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire, on sait que l"ensemble des solutions sur]- ∞,0[et sur

]0,+∞[est un espace vectoriel de dimension 2 (0est un point singulier donc il faut étudier à la main le raccor-

dement en0des solutions)

Etape 1Montrons queg:x?-→1π

0 cos(xsin(θ))dθest solution de(E)surR.

Le théorème de dérivation d"une intégrale à paramètre s"applique facilement car on intègre sur le compact

[0,π]et l"intégrande et ses dérivées sont bornées (ce sont des polynômes encosetsin). On obtient pour

toutx?R: g ?(x) =-1π 0 sin(xsin(θ))sin(θ)dθ g ??(x) =-1π 0 cos(xsin(θ))sin2(θ)dθ

On obtient alors après calculs

xg ??(x) +g?(x) +xg(x) =1π 1π [sin(xsin(θ))cos(θ)]π 0 = 0 Etape 2Déterminons les solutions DSE(0) de(E). Raisonnons par analyse-synthèse : Analyse :soitfune solution DSE(0) de(E). Il existe une suite de réels(an)n?NetR >0tels que pour toutx?]-R,R[,f(x) =+∞? n=0a nxn. Par dérivation terme à terme d"une série entière on a :

0 =xf??(x) +f?(x) +xf(x) =+∞?

n=0(n+ 1)2an+1xn++∞? n=1a n-1xn. D"après l"unicité du développement en série entière on obtient a

1= 0et?n?N?,(n+ 1)2an+1=-an-1

On en déduit que, pour toutn?N

2n+1= 0

a n(n!)2a0

Synthèse :La série entièrea0+∞?

n=0(-1)n4 n(n!)2x2na un rayon de convergence infini.

En effet, notonsun=(-1)n4

n(n!)2x2nde sorte que ??un+1u n? ??=4x2(n+ 1)2-→n→+∞0.PierreDerennesadapté par LauraGayp.115 juillet 2015 donc pour toutx>0la série?u nconverge par la règle de d"Alembert. Commef(0) =a0, il existe une unique solutionf0DSE(0) vérifiantf0(0) = 1. Elle est définie surRpar f

0(x) =+∞?

n=0(-1)n4 n(n!)2x2n. Etape 3Soitfune solution de(E)sur]0,a[. Montrons que(f,f0)est libre si et seulement sifn"est pas bornée au voisinage de 0 .

?f0est continue surRdonc bornée au voisinage de 0. Par suite, si(f,f0)est liée,fest aussi bornée au

voisinage de 0. ?Supposons maintenant que la famille(f,f0)soit libre. Sur]0,a[,(E)est équivalente à y ??+1x y?+y= 0

Par le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire l"ensemble des solutions est un espace vectoriel de

dimension 2 et(f,f0)en est une base. Considérons le Wronskien

W=????f f

0 f?f?0? ???=ff?0-f0f? Pour toutx?]0,a[on a, en remplaçantf??(x)par-1x f?(x)-f(x)(et de même pourf0), W ?(x) =f(x)f??0(x)-f0(x)f??(x) =-1x W(x). Donc il existeC?Rtel que pour toutx?]0,a[,W(x) =Ce-ln(x)=Cx etCn"est pas nul puisque

(f,f0)est libre. Supposons quefsoit bornée au voisinage de 0. Par ce qui précède et compte tenu

du fait quelim0f0= 1etlim0f?0= 0(que l"on lit sur l"expression def0) on obtient donc f ?(x)≂x→0-Cx

Soitb?]0,a[. La fonctionx?-→ -Cx

garde un signe constant sur]0,b]et n"est pas intégrable sur ]0,b]. On en déduit par intégration des relations de comparaison f(x)-f(b) =? x b f?(t)dt≂x→0-C? x b1t dt=-C(ln(x)-ln(b)). On a doncf(x)≂x→0-Cln(x)puislim0f= +∞.Notes : XA l"oral, 14"04 sans étape 1 mais avec la conclusion faite en note.

XLa fonctiongvue dans la première étape est clairement bornée donc(f0,g)est liée sur]0,+∞[et donc sur

+par continuité. En remarquant de plus quef0(0) =g(0) = 1on conclut que les restrictions degetf0àR+

sont égales. Enfin , par parité on a même quef0=g. XOn est capable de montrer que(f0,g)est une base de solution surRoùgest définie par g(x) = limν→0f

0(x)cos(πν)-f0(x)sin(πν)PierreDerennesadapté par LauraGayp.215 juillet 2015

(Confer cours de FHFS de M1 pour l"étude complète des équations de Bessel). XPlus généralement, on définit l"équation de Bessel d"ordrenpar xy ??+xy?+ (x2-n)y= 0

♣FriedrichBessel(1784 - 1846) est un astronome et mathématicien allemand, connu principalement pour

avoir effectué en 1838 les premières mesures précises de la distance d"une étoile et pour être le fondateur de

l"école allemande d"astronomie d"observation.PierreDerennesadapté par LauraGayp.315 juillet 2015

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