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Thème : multiples et diviseurs Exercice 1 1. Déterminer tous les diviseurs positifs de 68 2. Peut-on trouver un nombre multiple de 15 et diviseur de 100 ? 3. Montrer que si n est un entier > 6 , 6n admet au moins 8 diviseurs Exercice 2 a. Soit n ∈ , on suppose que a | 42n + 37 et a | 7n + 4. Montrer que a | 13. En déduire les valeurs possibles de a b. Soit k un entier naturel , a = 9k + 2 et b = 12k + 1. Montrer que les seuls diviseurs positifs communs à a et b sont 1 et 5. c. Soit n ∈ , a = 13n + 1 et b = - 26n + 4 Montrer que les seuls diviseurs positifs communs aux entiers a et b sont 1,2,3 ou 6. d. Soit n ∈ , a = 6n + 5 et b = 8n + 3 Prouver que les seuls diviseurs positifs communs à a et b sont 1 et 11 Exercice 3 a. Soit n ∈ . Calculer 1 + 5 + 52 + ..... + 5n-1 . En déduire que 5n + 19 est divisible par 4 b. Montrer que pour tout n ∈ , 6n - 1 est un multiple de 5. En déduire que 6n + 2004 est également un multiple de 5. c. Montrer que pour tout entier q ≠ 1, et n ∈ , q - 1 divise qn - 1 Exercice 4 Montrer que pour tout entier naturel n a. 13n - 1 est divisible par 4 b. Pour tout k ∈ , (4k + 1)n - 1 est divisible par 4 Exercice 5 Expliquer pourquoi il est impossible de trouver u et v entiers tels que 6u - 9v = 2 Exercice 6 a. Démontrer par récurrence que pour tout n ∈ , 23n - 1 est divisible par 7 b. En déduire que 23n+1 - 2 est un multiple de 7 et 23n+2 - 4 est un multiple de 7 Exercice 7 a. Montrer par récurrence que pour tout naturel n, n3 + 5n est un multiple de 6 b. En déduire que les entiers suivants sont des multiples de 6 i) n3 + 17n - 12 ii) n3 + 2003 n iii) le produit de 3 entiers consécutifs. Exercice 8 1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n , 32n - 2n est divisible par 7 2. Montrer par récurrence que a - b divise an - bn (a,b ∈ et n ∈ ) Exercice 9 Déterminer les valeurs de l'entier naturel n pour lesquelles a. n+5
n-2 est entier b. n 3 -n n+2 est entiercorrection Exercice 1 1. 1,2,4,17,34,68 2. Non , car si 15 divise n et n divise 100 , alors 15 divise 100 impossible 3. 1,2,3,6,n,2n,3n,6n Exercice 2 a. a | 42n + 37 et a | 7n + 4 donc a | 6(7n + 4) - (42n + 37) = 13 donc a ∈ {-1,1,-13,13} b. 4a - 3b = 5 c. 2a + b = 6 d. 4a - 3b = 11 Exercice 3 a. 1 + 5 + 52 + ..... + 5n-1 = 5
n -1 4, donc 4 | 5n - 1 , or 4 | 20 , donc 4 | 5n + 19 b. 6n - 1 = (6 - 1)(1 + 6 + .... + 6n-1) donc 6n - 1 est un multiple de 5. Or 5 | 2005 donc 6n + 2004 est également un multiple de 5. c. qn - 1 = (q - 1)(1 + q + q2 + ..... + qn-1) Exercice 4 a. 13n - 1 est divisible par 13 - 1 = 12 , donc par 4 b. (4k + 1)n - 1 est divisible par 4k + 1 - 4 = 4k , donc par 4 Exercice 5 3 divise 6u et 9v donc 6u - 9v = 2 impossible Exercice 6 a. un = 23n - 1 donne u1 = 7 si un = 7K , un+1 = 23(n+1) - 1 = 8×23n - 1 = 8(7K + 1) - 1 = 7(8K + 1) = 7K' b. 23n+1 - 2 est un multiple de un donc de 7 et 23n+2 - 4 également Exercice 7 a. vrai pour n = 0 Si n3 + 5n = 6K , (n + 1)3 + 5(n + 1) = n3 + 3n2 + 3n + 1 + 5n + 5 = 6K + 6 + 3n(n + 1) et n ou n + 1 est pair , donc 3n(n+1) est divisible par 6 , donc (n+1)3 + 5(n+1) aussi b. i) n3 + 5n + 12n - 12 ii) n3 + 5n + 1998n iii) n(n + 1)(n + 2) = n3 + 3n2 + 2n = n3 + 5n + 3n2 - 3n = 6K + 3n(n - 1) et n ou n - 1 est divisible par 2 , donc 3n(n-1) est divisible par 6 Exercice 8 2. Si an - bn = K(a - b) , an+1 - bn+1 = a(bn + K(a - b)) - bn+1 = bn(a - b) + aK(a - b) = K'(a - b) Exercice 9 a. n+5
n-2 = 1 + 7 n-2 on doit prendre n - 2 ∈ {-1,1,-7,7} , donc n ∈{1,3,9,-5} et S ={1,3,9} b. n 3 -n n+2 = n 2 -2n+3- 6 n+2 , donc n + 2 ∈ {-1,-2,-3,-6,1,2,3,5} donc n ∈ {-3,-5,-4,-8,-1,0,1,4}et S = {0,1,4}Divisibilité L'arithmétique est l'étude des nombres enti ers. Le domaine privilégié d'application est l'informatique , où l'on code l'information en utilisant des suites de 0 et 1. L'arithmétique étudie l'ensemble des entiers naturels et l'ensemble des entiers relatifs. 1. Propriétés de Axiomes de Peano : On admet qu'il existe un ensemble vérifiant les axiomes - l'élément appelé zéro et noté 0 est un entier naturel - tout entier naturel n admet un unique successeur , noté S(n) - Aucun entier naturel n'a 0 pour successeur - Deux entiers naturel ayant même successeur sont égaux - Si un ensemble d'entiers naturels contient 0 et contient le successeur de chacun de ses éléments, alors cet ensemble est égal à A partir de ces axiomes, on définit l'addition et la multiplication sur , puis une relation d'ordre total sur . Ensuite on déduit les 3 propriétés suivantes. propriétés 1. Toute partie non vide de admet un plus petit élément. 2. Toute partie non vide et majorée de admet un plus grand élément. 3. Toute suite d'entiers naturels strictement décroissante est finie propriété fondamentale de : raisonnement par récurrence Soit P(n) une propriété dépendant d'un entier naturel n. Si les deux conditions suivantes sont vérifiées : - il existe un entier n0 tel que P(n0) est vraie - pour tout entier n ≥ n0 , P(n) vraie ⇒ P(n+1) vraie Alors P(n) est vraie pour tout entier n ≥ n0 Soit E = { entiers n ≥ n0 tels que P(n) est fausse } une partie de Supposons E non vide . E est une partie de , donc admet un plus petit élément m ≥ n0. m ∈ E , donc P(m) est fausse. Si m = n0 , alors P(n0) est fausse en contradiction avec l'hypothèse d'initialisation. Si m > n0 , m - 1 ≥ n0 donc P(m-1) est vraie sinon contradiction avec la définition de m donc P(m-1) est vraie et P(m) est fausse en contracdition avec l'hypothèse d'hérédité. On en déduit que E est vide , donc que pour tout entier n ≥ n0 , P(n) est vraie
2. Divisibilité dans définition : Soient a et b deux entiers relatifs . On dit que a divise b si et seulement si il existe un entier relatif q tel que b = aq . On note a|b . Si a divise b , on dira que a est un diviseur de b et que b est un multiple de a . propriétés : 1. 0 est multiple de tout nombre . 2. 1 et - 1 divisent tout nombre 3. 1 n'a pas d'autres diviseurs que 1 et - 1 4. Quelque soit l'entier a , a et - a ont les mêmes diviseurs 5. Si a | b et b | a , alors a = b ou a = - b 6. Si a | b et b | c , alors a | c 7. Si c | a et c | b , alors c | αa + βb , ∀ α et β ∈ 8. Si a | b , alors pour tout entier k non nul , ka | kb . 9. Si k | a et a | b , alors a
k diviseb kexemples : . 7 × 3 = 21 donc 7 et 3 divisent 21 . 4 | 12 et 12 | 24 donc 4 | 24 . 3 | 12 donc 15 | 60 . 7 divise 14 et 21 donc 7 divise 14 + 21 = 35 . 6 a pour diviseurs 6 , 3 , 2 , 1 , - 1 , - 2 , - 3 , - 6 propriété : 1. si a et b sont des entiers naturels non nuls , a | b ⇒ 1 ≤ a ≤ b si a est un entier naturel non nul et b un entier naturel , (a | b et b < a ) ⇒ b = 0 2. tout entier relatif b ≠ 0 a un nombre fini de diviseurs définition: Les entiers divisibles par 2 sont appelés les nombre pairs . Les entiers non divisibles par 2 sont les nombres impairs . propriété : 1) n+2 a la même parité que n 2) deux nombres consécutifs sont de parités différentes 1) si n est pair , 2 divise n et comme 2 divise 2 , alors 2 divise n + 2 si n est impair , n + 2 ne peut être pair sinon n = n + 2 - 2 est pair , donc n + 2 est impair 2) P(n) : " n et n + 1 sont de parités différentes » P(0) est vraie car 0 est pair et 1 est impair Supposons P(n) vraie pour n ≥ 0 , alors n et n + 1 sont de parités différentes n + 2 a la même parité que n , donc n + 1 et n + 2 sont de parité différentes, donc P(n+1) est vraie
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