Leçon 02 – Cours : Fonctions à plusieurs variables[PDF] exo7 fonction a plusieurs variables cours
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MT22-Fonctions de plusieurs variables etapplicationsChapitre 1 : Fonctions de plusieurs variables ÉQUIPE DE MATHÉMATIQUES APPLIQUÉESUTC-UTT5 SommaireConceptsExemplesExercicesDocuments2SommaireI Fonctions de plusieurs variables3I.1 Fonctions de deux variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4I.2 Fonctions de plusieurs variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46A Exercices52A.1 Exercices de cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54A.2 Exercices de TD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93B Documents119
SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentssuivantI3Chapitre IFonctions de plusieurs variablesI.1 Fonctions de deux variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4I.2 Fonctions de plusieurs variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46
SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentschapitreNsection suivanteI4III.1 Fonctions de deux variablesNotations-Domaine de définition. . . . . . . . . . . . . . . . . .6Eléments de topologie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8Définition de la continuité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10Continuité-propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11Composée de fonctions continues. . . . . . . . . . . . . . . . . .13Etude de la continuité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15Différentiabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18Dérivées partielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20Différentiabilité-continuité-dérivées partielles. . . . . . . . . .22Condition suffisante de différentiabilité. . . . . . . . . . . . . .24Dérivées partielles d"ordre supérieur. . . . . . . . . . . . . . .27Composition et dérivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28Différentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32Formule des accroissements finis-formule de Taylor. . . . . . .34Calcul approché. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37Théorème des fonctions implicites. . . . . . . . . . . . . . . . .38Extrema d"une fonction de deux variables. . . . . . . . . . . .41Certains phénomènes naturels nécessitent, pour leur analyse, l"étude de plu-
sieurs paramètres, ainsi :SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentschapitreNsection suivanteIJJ5-La pression atmosphérique à la surface de la terre dépend de l"altitude, de
la longitude et de la latitude.-La période d"un pendule estT= 2qlg=f(l;g).-La pression d"un gaz parfait de volume V à la température T estp=NRTV=
f(T;V).-La chaleur dégagée par effet Joule dans une résistance estP=RI2t= f(R;I;t). Toutes les fonctions citées ci-dessus sont des fonctions reliant une variableà deux ou trois autres variables.
SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentssectionNsuivantI6IINotations-Domaine de définitionExercices:Exercice A.1.1Un vecteur de l"espace vectorielIR2est un couple(x;y). Si on munit le plan
d"un repère orthonormé d"origineO, on peut donc identifier ce vecteur et le pointMdu plan de coordonnéesxety.
Lanorme euclidiennede ce vecteur sera notée suivant les cas : !OM ou x y ouk(x;y)ket elle est égale àpx2+y2: On définit leproduit scalairede deux vecteurs par :!OM1:!OM2=x1x2+y1y2; d"où !OM2=!OM:!OM:
Puisque l"on peut identifier le vecteur(x;y)deIR2au pointMdu plan de coordonnées(x;y), on notera indifféremmentf: IR2!IRpar : f: (x;y)!f(x;y) ou par f:M!f(M)Domaine de
définitionou enfin par f:x y !f(x;y): Une fonction de 2 variables n"est pas toujours définie surIR2tout entier, mais seulement sur un sous ensemble appelé domaine de définition. Ce domaine de définition est une surface, sous ensemble du planxOy.SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentsectionNsuivantI8IIEléments de topologieExercices:Exercice A.1.2Exercice A.1.3Exercice A.1.4Définition I.1.1Aétant donné dansIR2, on appelle disque ouvert de centre A et
de rayon >0le sous ensemble deIR2défini parB(A;) =fM2IR2;
!AM < g:Définition I.1.2On appelle ouvertOdeIR2une partie deIR2qui est vide ou qui vérifie la propriété suivante : pour tout point A deO, il existe un disque ouvertcentré en A et contenu dansO.Proposition I.1.1Oest un ouvert deIR2, si et seulement siOest vide ouOest
la réunion d"un nombre quelconque de disques ouverts. La proposition précédente donne une propriété caractéristique des ouverts, elle aurait pu être donnée comme définition. Cette proposition se démontre très facilement. SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentsectionNsuivantIJJ9Eléments de topologieDéfinition I.1.3On appelle fermé tout sous ensemble deIR2qui est le complé-mentaire d"un ouvert.Proposition I.1.2L"intersection d"un nombrefinid"ouverts est un ouvert.Définition I.1.4Soit A un point deIR2, on appelle voisinage de A toute partie V
deIR2qui contient un ouvert contenant A.SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentsectionNsuivantI10Définition de la continuitéExercices:Exercice A.1.5Exercice A.1.6Définition I.1.5Dest un ouvert deIR2,M02D, soitfune fonction définie sur
D, sauf éventuellement enM0, à valeurs dansIR, on dit quefadmet une limite `au pointM0, si8" >0;9 >0tel que8M2D;f0<
!M0M < =) jf(M)`)j< "g:Définition I.1.6Dest un ouvert deIR2,M02D, on dit qu"une fonctionf:D!IRest continue au pointM0, si
8" >0;9 >0tel que8M2D;f
!M0M < =) jf(M)f(M0)j< "g: On peut relier la définition de continuité et de limite : la fonctionfest conti- nue enM0si elle admet une limite`enM0et si cette limite vérifie`=f(M0). Géométriquement la continuité signifie que lorsque le pointMtend versM0 (dans le planxOy), la valeur réellef(M)tend versf(M0). La surfaceSd"équa- tionz=f(x;y), n"a pas de "trou" au point d"abscissex0et d"ordonnéey0.SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentsectionNsuivantI11IIContinuité-propriétésExercices:Exercice A.1.7Exercice A.1.8Proposition I.1.3(x0;y0)étant donnés, à partir de la fonctionfde 2 variables
on définit les fonctions d"une variablef1etf2par f1(x) =f(x;y0);f2(y) =f(x0;y)
Si la fonctionf: IR2!IRest continue en(x0;y0), alorsf1est continue enx0et f2est continue eny0.Remarque I.1.1L"ensembleC1des points de coordonnées(x;y0;f1(x))est une
courbe tracée sur la surfaceSd"équationz=f(x;y). De même l"ensembleC2des points de coordonnées(x0;y;f2(y))est une courbe tracée sur la surfaceSd"équa- tionz=f(x;y).C1est la courbe intersection deSavec le plan d"équationy=y0, C2est la courbe intersection deSavec le plan d"équationx=x0.
La propositionI.1.3donne une condition nécessaire pour que la fonctionf soit continue en(x0;y0), elle est utile pour démontrer quefn"est pas continue. propriétésProposition I.1.4Dest un ouvert deIR2, soientfetgdeux fonctionsD!IR,soitM02D-sifetgsont continues enM0,f+gest continue enM0.-sifest continue enM0, siest un paramètre réel,fest continue enM0.-sifetgsont continues enM0,fgest continue enM0.-sifetgsont continues enM0, et sig(M0)6= 0,fgest continue enM0.
SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentsectionNsuivantI13IIComposée de fonctions continuesExercices:Exercice A.1.9La composée de fonctions continues est continue, nous allons expliciter cette
propriété fondamentale dans quelques cas particuliers maintenant.Proposition I.1.5Soientetdeux fonctions réelles définies sur un voisinage
det0et continues ent0, on notex0=(t0);y0=(t0). Soitfune fonction définie sur un voisinage de(x0;y0)à valeurs dansIR. On définit la fonction réellepar(t) =f((t);(t)). Sifest continue au point(x0;y0), alors la fonctionest continue ent0. La propositionI.1.3est un cas particulier de la propositionI.1.5, le démon- trer en exercice.Proposition I.1.6Soienta,betftrois fonctions deIR2!IROn définit (u;v) =f(a(u;v);b(u;v)).
Si les fonctionsaetbsont définies au voisinage du point(u0;v0)et continues en ce point, sifest définie au voisinage du point(a(u0;v0);b(u0;v0))et continue en ce point. alors la fonction est continue au point(u0;v0) SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentsectionNsuivantIJJ14Composée de fonctions continuesProposition I.1.7Soitf: IR2!IRune fonction définie dans un voisinage de M0et continue enM0,
soit: IR!IRdéfinie dans un voisinage def(M0)et continue enf(M0), alors f: (x;y)7!(f(x;y)) est continue enM0.On ne démontrera pas ces propositions.
Les propositionsI.1.4,I.1.5,I.1.6,I.1.7nous permettent de conclure quant àla continuité dans la majorité des cas. Par exemple :-x3y5+6xy2et de façon plus générale tout polynôme enx;yest une fonction
continue en tout pointM0.-cosxy,exp(x3+y5)sont continues en tout pointM0.SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentsectionNsuivantI15IIEtude de la continuitéExercices:Exercice A.1.10Exercice A.1.11Exercice A.1.12Exercice A.1.13Proposition I.1.8SoitM0(x0;y0)etM(x;y), on pose
x=x0+rcos;y=y0+rsin;(r >0);alors !M0M =r:Si l"on peut montrer quejf(M)f(M0)j "(r)
où"est une fonction réelle (qui ne dépend que der) dont la limite est nulle quandrtend vers0, alorsfest continue enM0: La proposition précédente permet de démontrer la continuité , c"est une condition suffisante de continuité. Pour démontrer qu"une fonctionfn"est pas continue enM0, on peut utiliserla propositionI.1.5que l"on va énoncer différemment :Proposition I.1.9Soientetdeux fonctions réelles définies sur un voisinage
det0et continues ent0, on notex0=(t0);y0=(t0). SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentsectionNsuivantIJJ16IIEtude de la continuitéSoitfune fonction définie sur un voisinage de(x0;y0)à valeurs dansIR. On définit la fonction réellepar(t) =f((t);(t)). Sin"est continue ent0alors la fonctionfn"est pas continue au point(x0;y0). Là encore on est ramené à étudier une fonction réelle. Pourquoi la proposi- tion précédente est-elle équivalente à la propositionI.1.5? Etudions 2 exemples :-On définit la fonctionfpar : f(x;y) =x3yx2+y2;si(x;y)6= (0;0); f(0;0) = 0: Montrer en exercice quejf(M)f(O)j r2. En déduire quefest continue enO.-On définit la fonctionfpar : f(x;y) =xyx2+y2;si(x;y)6= (0;0); f(0;0) = 0: Poser(t) =t;(t) =t;(t) =f((t);(t)), montrer en exercice que la fonctionn"est pas continue en0, en déduire quefn"est pas continue en (0;0). Dans l"exemple précédent, lorsquet!0, le pointM(t) = (t;t)tend versOenrestant sur la droite d"équationy=x. On a donc démontré dans l"exerciceA.1.12que lorsqueMtend versOle long du chemin d"équationy=x,f(M)ne tend
pas versf(O), donc la fonctionfn"est pas continue enO. SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentsectionNsuivantIJJ17Etude de la continuitéPour démontrer quefn"est pas continue enM0, il suffit de trouver un chemin particulier qui passe parM0tel que quandMtend versM0le long de ce chemin, f(M)ne tend pas versf(M0). Bien sûr même lorsquefn"est pas continue en M0, il est parfois possible de trouver des chemins passant parM0sur lesquels
quandMtend versM0,f(M)tend versf(M0). Reprendre l"exerciceA.1.12SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentsectionNsuivantI18IIDifférentiabilitéExercices:Exercice A.1.14Exercice A.1.15Revoyez le chapitre dérivation des fonctions d"une variable dans le polycopié
de MT21. On y a défini la dérivabilité dans le cas d"une fonctionfdeIRdansIR.Définition I.1.7Dest un intervalle ouvert deIR, on dit qu"une fonctionf:
D!IRest dérivable enx0appartenant àD;si la limite suivante existe : d= limh!0f(x0+h)f(x0)h Dans ce cas on dit que le nombredest la dérivée defau pointx0et on note d=dfdx(x0):On a démontré la proposition suivante :Proposition I.1.10Une condition nécessaire et suffisante pour que la fonction
fsoit dérivable au pointx02Dest qu"il existed2IRet une fonction"tels que ,SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentsectionNsuivantIJJ19Différentiabilitépourx0+h2D, on puisse écrire :
f(x0+h) =f(x0) +hd+jhj"(h);aveclimh!0"(h) = 0 La propositionI.1.10donne une autre caractérisation possible de la dériva-quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2