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Georges KERYVEL
GRAPHES:
PROBLEMES
D'AFFECTATIONSInformatique fondamentale cycle B
Recherche opérationnelle et aide à la
décision
Page 2SOMMAIRE
nDEFINITION nFORMALISATION nMETHODE DE RESOLUTION nCAS PARTICULIER
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AFFECTATION: DEFINITION
nPRESENTATION on personnes se voient proposé n postes. oChacune classe ces postes en fonction de ses préférences, en notant avec une note de 0 à 20. oComment affecter une personne à un poste de façon à obtenir la satisfaction globale maximale. oProblème combinatoire ln! solutions ln=5; 5!= 120 possibilités; n=6 ; 6!= 720 possibilités ln=20; 20!= 2.4 1018possibilités lSi 100ns/solution 7714 ansPage 4AFFECTATION: DEFINITION nDEFINITION oSoit un graphe complet biparti G=(X,Y,U)
U=X*Y, |X|=|Y|=n
oProblème: ltrouver dans ce graphe un couplage de valeur optimale (bijection X-->Y) lX={x1, x2, ...,xn} ; Y={y1, y2, ...,yn} lC=(cij) i=(1,..,n); j(1,...,n) "coût" de l'arc (i,j) lxij=1 si xiest affecté à yj lxij=0 si xin'est pas affecté àyj lNombre de solutions n!
Page 5
AFFECTATION: DEFINITION
nFORMALISATION oLe programme à résoudre est:{}[][] []xinjn xjn xin xij ij in ij jn ijÎ"Î"Î
åå0111
11 111
1,,..,;,..,
z=mincij j=1n i=1nx 1 x 2 x 3 x 4y 1 y 2 y 3 y 4c ijPage 6METHODE DE RESOLUTION nMETHODE oHongroise(1954) lrechercher un support minimal d'un graphe simple lAdaptée au problème de grande taille
¢sinon méthode PSEP plus simple.
nEXEMPLE oSoit un atelier lcinq postes {a, b, c, d, e} à affecter à cinq personnes {A, B, C, D, E} lTable de préférences, cij, pour chaque poste lTouver la meilleure affectation qui donne la satisfaction globale maximale.
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METHODE DE RESOLUTION: LEMME 1
nLemme 1 oIl revient au même de calculer le maxde la fonction économique ou le min des regrets. oEn appelant c'ijle "regret" des coefficients du tableau, la fonction économique s'écrit::
Maxcxcxijnijij
jn in ijij jn in Le "regret" ,c'ij, des coefficients du tableau s'écrit: c'ij= maxi,j(cij) -cij "i=(1,..,n) "j=(1,..,n) Page 8METHODE DE RESOLUTION: LEMME 1 nDémonstration:[] []MaxcxMaxccx cv
Maxcxvcx
Maxcxvxcx
vxvxK
Maxcxijij
jn in ijijij jn in iji,jM ijij jn in Mijij jn in ijij jn in
Mijijij
jn in jn in
MijMij
jn in jn in ijij jn i==== ==1111 1111
111111
1111
1min()
min min
Ecrivons Max
ýþ111n
ijij jn in
Kcxmin
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METHODE DE RESOLUTION: LEMME 2
nLemme 2: oon ne change pas l'ensemble de solution d'un problème d'affectation si l'on ajoute ou retranche un même nombre à tous les éléments d'une même rangée, ligne ou colonne, du tableau. oDémonstration: lSoit P le problème initial et P' le problème obtenu en retranchant des valeurs ui(i=1,..,n) et vj(j=1,..,n) à chaque ligne, i, et colonne, j, respectivement. lP'=min p'Page 10METHODE DE RESOLUTION: LEMME 1 lNous avons: c' ij=cij-ui-vj[][] ()11 11 1 1 1 1 11
11 1,.., 1,..,
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Chapitre 8 Le problème d’affectation - Solutions