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Loi binomiale : Corrigé
Exercice 1: (Les parties A et B sont indépendantes) (16 points) Une entreprise fabrique en grande quantité des sacs poubelle.Partie A
On admet que ͵Ψ des sacs de la production présentent un défaut.ŶĐŽŶƚƌƀůĞůĞƐƐĂĐƐĚ͛ƵŶůŽƚ͘ͻ͵Ψ des sacs avec défaut ƐŽŶƚƌĞĨƵƐĠƐăů͛ŝƐƐƵĞĚƵĐŽŶƚƌƀůĞ͕ĞƚͻͷΨ des
sacs sans défaut ƐŽŶƚĂĐĐĞƉƚĠƐăů͛ŝƐƐƵĞĚƵĐŽŶƚƌƀůĞ͘
On prélève un sac au hasard dans le lot. On considère les évènements suivants :ܦ : " Le sac a un défaut » et ܣ
ĠĚƵŝƌĞĚĞƐŝŶĨŽƌŵĂƚŝŽŶƐĨŝŐƵƌĂŶƚĚĂŶƐů͛ĠŶŽŶĐĠ͗ܲሺܦሻǡܲሺܣҧሻ et ܲഥሺܣ
Représenter la situatiŽŶăů͛ĂŝĚĞĚ͛ƵŶĂƌďƌĞĚĞƉƌŽďĂďŝůŝƚĠƐ͘
un défaut. Calculer ܲሺܦתܣሻ et ܲሺܦתܣMontrer que ܲሺܣ
contrôle. Arrondir à ͳͲିଷ. Partie B. Dans cette partie, les résultats seront arrondis au centième.͛ĞŶƚƌĞƉƌŝƐĞĞĨĨĞĐƚƵĞƵŶĞŐƌosse livraison de sacs pour une municipalité.
défaut est de Ͳǡͻ. On prélève au hasard ͳͲ sacs de cette livraison pour vérification.
La livraison est ƐƵĨĨŝƐĂŵŵĞŶƚŝŵƉŽƌƚĂŶƚĞƉŽƵƌƋƵĞů͛ŽŶƉƵŝƐƐĞĂƐƐŝŵŝůĞƌĐĞƉƌĠůğǀĞŵĞŶƚăƵŶƚŝƌĂŐĞ
avec remise de 10 sacs.On considère la variable aléatoire ܺ
1) Justifier que la variable aléatoire ܺ
On a une répétition de ͳͲ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes donc ܺ
nombre de succès (sac(s) sans défaut) suit la loi binomiale de paramètres ݊ൌͳͲ et ൌͲǡͻ.
2) Calculer la probabilité que tous les sacs soient sans défaut.
3) ĂůĐƵůĞƌůĂƉƌŽďĂďŝůŝƚĠƋƵ͛ĞdžĂĐƚĞŵĞŶƚͺ sacs soient sans défaut.
LĂƉƌŽďĂďŝůŝƚĠƋƵ͛ĞdžĂĐƚĞŵĞŶƚͺ ƐĂĐƐƐŽŝĞŶƚƐĂŶƐĚĠĨĂƵƚĞƐƚĚ͛ĞŶǀŝƌŽŶͲǡͲͷ.
4) Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus un sac ait un défaut.
5) ĂůĐƵůĞƌů͛ĞƐƉĠƌĂŶĐĞŵĂƚŚĠŵĂƚŝƋƵĞĚĞůĂǀĂƌŝĂďůĞĂůĠĂƚŽŝƌĞܺ
Pour un grand nombre de lots de 10 sacs, on aura en moyenne 9,6 sacs sans défaut par lot.6) ĂůĐƵůĞƌů͛ĠĐĂƌƚ-type de la variable aléatoire ܺ
Exercice 2 : (6 points)
Dans un comté du Sud du Texas, ǡͳΨ ĚĞůĂƉŽƉƵůĂƚŝŽŶĞƐƚĚ͛ŽƌŝŐŝŶĞŵĞdžŝĐĂŝŶĞ͘
La population est suffŝƐĂŵŵĞŶƚŐƌĂŶĚĞƉŽƵƌƋƵ͛ŽŶƉƵŝƐƐĞĂƐƐŝŵŝůĞƌůĞƐƚŝƌĂŐĞƐăĚĞƐƚŝƌĂŐĞƐĂǀĞĐ
remise. On choisit au hasard ͺͷͲ personnes de ce comté et on appelle ܺ1) Justifier que ܺ
ůLJĂƌĠƉĠƚŝƚŝŽŶĚ͛ĠƉƌĞƵǀĞƐŝĚĞŶƚŝƋƵĞƐĞƚŝŶĚĠƉĞŶĚĂŶƚĞƐ;ƉƵŝƐƋƵĞĂƐƐŝŵŝůĠƐăĚes tirages avec remise)
à deux issues (origine mexicaine ou non) et ܺ donc ܺ2) a) Donner le plus petit entier ܽ tel que ܲሺܺܽ
ܽൌ͵ͳǤ (ܲሺܺ͵ͲሻൎͲǡͲʹʹ͵൏ͲǡͲʹͷ et ܲሺܺ
b) Donner le plus petit entier ܾ tel que ܲሺܾܾܺൌͻ. (ܲሺܺͺൎͲǡͻͳͻ൏Ͳǡͻͷ et ܲሺܺ
3) En 1976, Rodrigo Partida est condamné à huit ans de prison pour un cambriolage dans ce
comté. Il conteste ce jugement en affirmant que la méthode de désignation des jurés estdiscriminatoire : sur les ͺͷͲ personnes convoquées pour être jurés lors des ͳͳ dernières
années, seulement ͵͵ͻ étaient Ě͛ŽƌŝŐŝŶĞŵĞdžŝĐĂŝŶĞ.
Son argument vous semble-t-il légitimement recevable ? Justifier.Oui, ů͛ŝŶƚĞƌǀĂůůĞĚĞĨůƵĐƚƵĂƚŝŽŶĂƵƐĞƵŝůĚĞͻͷΨ ĚƵŶŽŵďƌĞĚĞũƵƌĠƐĚ͛ŽƌŝŐŝŶĞŵĞdžŝĐĂŝŶĞĞƐƚĚĞ
ሾ͵ͳǢͻሿ, autrement dit, le hasard seul ne produit des valeurs en dehors de cet intervalle que moins
de ͷΨ du temps. Hors le nombre réel, ͵͵ͻ, est très en deçà de cette borne inférieure, il est tout à
ĨĂŝƚ ƌĂŝƐŽŶŶĂďůĞ Ě͛ĞdžƉůŝƋƵĞƌ ĐĞƚƚĞ ƐŝƚƵĂƚŝŽŶ ƉĂƌ ĂƵƚƌĞ ĐŚŽƐĞ ƋƵe le hasard, ici une politique
discriminatoire.Exercice 3 : (7 points)
La variable aléatoire ܺ
Les résultats seront donnés à ͳͲିସ près.1) ĂůĐƵůĞƌůĂƉƌŽďĂďŝůŝƚĠĚĞů͛ĠǀĠŶĞŵĞŶƚܣ : ̶ܺʹͲ̶ ƉƵŝƐĚĞů͛ĠǀĠŶĞŵĞŶƚܤ : ̶ܺ
2) Décrire ů͛ĠǀĠŶĞŵĞŶƚܤתܣ
3) Calculer ܲሺܣሻ et ܲவଵହሺܺ
Exercice 4 : (6 points)
Pour chaque situation proposée, justifier si la variable aléatoire ܺSi oui, donner ses paramètres.
1) ĂŶƐƵŶĐĂůĞŶĚƌŝĞƌĚĞů͛ĂǀĞŶƚƐŽŶƚĚŝƐƉŽƐĠƐĂƵŚĂƐĂƌĚͳͺ chocolats noirs et chocolats au
lait. Chaque jour on ouvre une case et on mange le chocolat présent. ܺ de chocolats noirs mangés au bout de jours.Non ܺ
dépendants : sans remise, les probabilités évoluent chaque jour.2) Dans un jeu classique de 52 cartes, on effectue 8 tirages avec remise. X représente le nombre
de Rois et de Dames obtenus. OUI On effectue 8 épreuves de Bernoulli ( roi, dame OU non roi, non dame ) identiques et indépendantes ( tirage avec remise ) donc X qui compte le nombre de succès ( nombre de dame ou roi sur les 8 tirages ) suit la loi binomiale de paramètres݊ൌͺ et ൌ଼
3) ŶĞƐƚŝŵĞƋƵ͛ŝůLJĂϱйĚĞĐŚĂŶĐĞƋƵĞůĞďƵƐƐĐŽůĂŝƌĞĂƌƌŝǀĞĞŶƌĞƚĂƌĚĐŚĂƋƵĞŵĂƚŝŶ͘Ŷ
on appelle X le nombre minimal de jours qui ont séparé deux arrivées en retard du bus. NON X ne représente pas le nombre de succès correspondante au schéma de Bernoulliassocié à la situation. On a une répétition de 365 épreuves de Bernoulli identiques et
indépendantes ( retard ou pas ) et Y qui compte le nombre de succès ( retards) suit la loi binomiale mais pas X.4) En France, 82% des personnes âgées de plus de 18 ans possèdent le permis de conduire. On
X représente le nombre de personnĞƐƋƵŝŶ͛ŽŶƚƉĂƐůĞƉĞƌŵŝƐƉĂƌŵŝůĞƐƉĞƌƐŽŶŶĞƐŝŶƚĞƌƌŽŐĠĞƐ͘
OUI On effectue 1000 épreuves de Bernoulli ( pas permis OU permis ) identiques et indépendantes donc X qui compte le nombre de succès ( nombre de personnes sanspermis ) suit la loi binomiale de paramètres ݊ൌͳͲͲͲ et ൌͲǡͳͺ
Exercice 5 : (5 points)
Un jeu consiste à faire tourner une fois la roue ci-contre. Les nombres inscrits dans les différents secteurs correspondent au gain (en Φ) remporté par le joueur. On appelle ܺ1) Quelles sont les valeurs possibles que peut prendre la variable
aléatoire ܺ2) Donner ƐŽƵƐůĂĨŽƌŵĞĚ͛ƵŶƚĂďůĞĂƵ la loi de probabilité de ܺ
Đ͛ĞƐƚ-à-dire la probabilité associée à chaque issue possible.3) ƵĞůůĞĚŽŝƚġƚƌĞůĂŵŝƐĞƉĂLJĠĞƉĂƌůĞũŽƵĞƵƌƉŽƵƌƋƵĞůĞũĞƵƐŽŝƚĠƋƵŝƚĂďůĞ͕Đ͛ĞƐƚ-à-dire pour
que le gain moyen après déduction soit nul (ou encore pour ƋƵĞů͛ŽƌŐĂŶŝƐĂƚĞƵƌĚƵũĞƵŶĞƉĞƌĚĞ
En moyenne sur un grand nombre de parties, le jeu rapportera ʹͲ euros au joueur, il faut donc que
la mise soit de ʹͲ euros pour que le jeu soit équitable.Questions bonus (+2 points) :
aléatoire consistant à tirer quatre boules avec remise dans une urne contenant trois boules rouges et deux boules bleues. ů͛ĞdžƉĠƌŝĞŶĐĞ͘ Le programme renvoie une estimation de la Décrire un événement A possible en rapport avec le contexte X suit la loi binomiale ࣜሺൌͶǢൌͲǡ )͛ĠǀĠŶĞŵĞŶƚĞƐƚ : " obtenir 0 ou 1 boule rouge sur les 4 tirages. »
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