Lois de probabilité usuelles (rappels)

Généralités

Fonction de répartition d"une loi discrète

SiXest une variable aléatoire telle queX(Ω) = {x1,...,xn}, sa fonction de répartition est égale à F

X(x) = P(X?x) =?

1?i?n x i?xP(X =xi)

Fonction de répartition d"une loi continue

SiXest une variable aléatoire de densitéf, sa fonction de répartition est égale à F

X(x) = P(X?x) =?

x ∞f(t) dt

On a alorsP(X> x) = 1-FX(x)

et sa densité vautf(x) = F?X(x)

Probabilités du min et du max

Si les variablesTisont indépendantes,

P(maxT

i?x) =nΠi=1P(Ti?x)

P(minT

i?x) = 1-nΠi=1[1-P(Ti?x)]

Espérance et variance dans le cas discret

SiXest une variable aléatoire discrète,

E(X) =

k=0kP(X =k) E(X 2) =+ k=0k2P(X =k)

V(X) = E(X

2)-E(X)2

Espérance et variance dans le cas continu

SiXest une variable aléatoire continue de densitéf,

E(X) =?

∞xf(x) dx E(X 2) =? ∞x2f(x) dx

V(X) = E(X

2)-E(X)2

Propriétés de l"espérance et de la variance SiXetYsont deux variables aléatoires etaun réel,

E(aX) =aE(X)

E(X + Y) = E(X) + E(Y)

Important : toujours calculer à l"intérieur de l"espérance avant de séparer les termes. Par exemple,

E((X-a)2) = E(X2-2aX+a2) = E(X2)-2aE(X)+a2

Si lesXisont des variables aléatoires,

E?1 nn i=1X i? =1nn i=1E(X i) et si elles sont indépendantes, V?1 nn i=1X i? =1n2n i=1V(X i)

Principalesloisdiscrètes

Loi uniforme

X(Ω) ={x1,...,xn}

P(X =xi) = 1/n

Loi de BernoulliB(p)

X(Ω) ={0,1}, paramètrep

P(X = 1) =p,P(X = 0) = 1-p

E(X) =p,V(X) =p(1-p)

Loi binomialeB(n,p)

X(Ω) ={0,...,n}, paramètrep

P(X =k) =?n

k?pk(1-p)n-k

E(X) =np,V(X) =np(1-p)

Loi hypergéométriqueH(N,n,NA)

On effectuentirages sans remise dans une urne contenant

Nobjets dontNA?nobjets de typeA.Xest le nombre

d"objets de typeAobtenus.

X(Ω) ={1,...,n}, paramètresN,netNA(p= NA/N)

P(X =k) =(NAk)(N-NAn-k)

(N k)

E(X) =np,V(X) =np(1-p)(N-n)/(N-1)

Loi de PoissonP(λ)

X(Ω) =N, paramètreλ

P(X =k) = e-λλk

k!E(X) =λ,V(X) =λ

Loi géométrique

X(Ω) =N?, paramètrep

P(X =k) = (1-p)k-1p

E(X) = 1/p,V(X) = (1-p)/p2

Principalesloiscontinues

Loi uniformeU(a,b)

X(Ω) = [a;b], paramètresaetb

f(x) =?

1/(b-a)six?[a;b]

0sinon

E(X) = (a+b)/2,V(X) = (b-a)2/12

Loi exponentielleE(λ)

X(Ω) =R+, paramètreλ

f(x) =?

1/λe-x/λsix?0

0sinon

E(X) = 1/λ,V(X) = 1/λ2

Loi normaleN(m,σ)

X(Ω) =R, paramètresm(moyenne) etσ(écart-type) f(x) =1

σ⎷2πexp?

-(x-m)22σ2? six?R

E(X) =m,V(X) =σ2

Loi du khi-deuxχ2nX(Ω) =R+, paramètren(degré de liberté)

E(X) =n,V(X) = 2n

Loi de StudentTn

X(Ω) =R, paramètren(degré de liberté)

E(X) = 0pourn >1,V(X) =n/(n-2)pourn >2

Relationsentrelesprincipaleslois

Propriétés

Si les variablesXisuivent une loiB(p)et sont indé- pendantes, alors la variable n? i=1X isuit une loiB(n,p). Si les variablesXisuivent une loiP(λi)et sont indé- pendantes, alors la variable n? i=1X isuit une loiP(?λi). Si la variableXsuit une loiN(m,σ2), la variable

Y =aX +bsuit une loiN(am+b,a2σ2).

Si la variableXsuit une loiN(m,σ2), alors la va- riableY = (X-m)/σsuit une loiN(0,1). En particulier,

P(X?u) = P(Y?(u-m)/σ).

Approximations (voir chapitre 2)

Sin?30etnp <5, on peut approcher une loiB(n,p)

par une loiP(np).

Sin?30,np?5etn(1-p)?5, alors on peut

approcher une loiB(n,p)par une loiN(np,np(1-p)).

SiN?10n, on peut approcher une loiH(N,n,pN)

par une loiB(n,p). Siλest assez grand, on peut approcher une loiP(λ) par uneN(λ,⎷ Sinest assez grand, on peut approcher une loiχ2npar une loiN(n,⎷ 2n). Sinest assez grand, on peut approcher une loiTnpar une loiN(0,⎷ 1).

Lois normale, duχ2et de Student (voir chap. 1)

SiX1,...,Xnsont indépendantes etXi?N(0,1)pour

touti? {1,...,n}, alorsX12+···+ Xn2?χ2n. SiX?N(0,1),Ysuit une loi deχ2àndegrés de liberté etXetYsont indépendantes, alorsZ =⎷ nX/⎷Ysuit une loi de Student àndegrés de liberté.

Casparticuliersimportants(momentsempiriques) :

Moyenne empirique

Xn=1nn

i=1X i

Variance empirique

S 2 n=1 n-1n i=1(X i-Xn)2

SiX1,...,Xnsont indépendantes etXi?N(0,1)pour

touti? {1,...,n}, alorsYn=n? i=1X i2?χ2n. SiX1,...,Xnsont indépendantes etXi?N(m,σ)pour touti? {1,...,n}, alorsZn=n? i=1(X i-m)2/σ2?χ2n. SiX1,...,Xnsont indépendantes etXi?N(m,σ)pour touti? {1,...,n}, alors (n-1)Sn2/σ2?χ2n-1 (car lesXi-

Xnsont liées par une relation : leur somme

vaut0puisque

Xn=?Xi/n).

SiX1,...,Xnsont indépendantes etXi?N(m,σ)pour touti? {1,...,n}, alorsTn=⎷ nXn-m

Sn?T(n-1).

Utiliserlestablesstatistiques

Loinormalecentréeréduite

La table de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite donne les valeurs deP(X?u)pourupo- sitif donné. Pour déterminer d"autres valeurs, on utilise les formules suivantes :

P(X> u) = 1-P(X?u)

P(u
P(|X|?u) = P(-u?X?u)

P(|X|?u) = 2P(X?u)
P(X
2?u) = P(|X|?⎷
u)
Pourunégatif, on utilise

P(X?u) = P(X>-u) = 1-P(X?-u)
On peut également utiliser la table " à l"envers », pour déterminerutel queP(X?u) =ppourpdonné.
Loideχ2
La table de la loi deχ2donne la valeurutelle que P(X?u) =ppourpdonné. Pour déterminerutelle que
P(X?u) =ppourpdonné, on utilise la formule

P(X> u) = 1-P(X?u) = 1-p
et on cherche dans la table la valeurucorrespondant
à1-p.

Lorsque l"on cherche deux valeursu1etu2telles que
P(u1?X?u2) =p, on considère un intervalle symé- trique et on chercheu1etu2tels queP(X?u2) =p/2 etP(X?u1) = 1-P(X< u1) = 1-p/2.
LoideStudent
La table de la loi de Student donne la valeur deutelle queP(|X|> u) =ppourpdonné. Pour trouver la valeur deutelle queP(-u?X?u) =ppourpdonné, on cherche la valeur deutelle queP(|X|> u) = 1-p.Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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Chapitre 2 : Variables aléatoires et distributions - AÉCSP