Chapitre 3 : Lois de distribution discrètes - AÉCSP[PDF] résultat d'une multiplication
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__________________________ Probabilités Chapitre 4 Page 1 Probabilités. Chapitre 4. Le modèle hypergéométrique, le modèle de Bernoulli. I Le modèle hypergéométrique. (Tirages exhaustifs.)
On suppose qu"une urne contient N boules identiques au toucher dont certaines sont blanches et les autres
sont noires. On désigne par p la proportion des boules blanches et par q celle des boules noires. p et q sont compris entre 0 et 1 et ont pour somme 1. On effectue dans cette urne un tirage aléatoire de n boules (0£ n £ N).
On désigne par X le nombre de boules blanches obtenues.La probabilité d"obtenir i boules blanches (0
£ i £ Np ; n - Nq £ i £ n) est : P(X = i) = C .C CNpi Nqn i N n C Npi est le nombre de façons de choisir i boules blanches parmi Np sans tenir compte de l"ordre ; CNqn-i est le nombre de façons de choisir n-i boules noires parmi Nq sans tenir compte de l"ordre ;
CN n est le nombre de façons de choisir n boules parmi N sans tenir compte de l"ordre.On dit que X suit la
loi hypergéométrique de paramètres N, n, p. On admet que la somme des probabilités est bien 1, que l"espérance mathématique de X est np et que sa variance est npq.Nn N1Résumons :
Une variable aléatoire X suit la
loi hypergéométrique H (N, n, p) si elle peut prendre les valeurs entières i telles que0 £ i £ Np ; n - Nq £ i £ n
avec les probabilités ainsi définies :P(X = i) = C .C
CNpi Nqn i N nAlors :
E(X) = np et V(X) = npq.Nn
N1 II Le modèle de Bernoulli. (Tirages successifs avec remise.)On entend par épreuve de Bernoulli toute épreuve pouvant conduire à un succès avec une certaine
probabilité p (0 £ p £ 1) ou à un échec avec la probabilité q = 1 - p.On s"intéresse à une succession potentiellement infinie d"épreuves de Bernoulli identiques,
indépendantes, de même probabilité de succès p.1 Les lois de Bernoulli.
La loi suivie par le nombre de succès lors d"une épreuve de Bernoulli est dite loi de Bernoulli.
Une variable aléatoire X suit une
loi de Bernoulli si elle ne prend que deux valeurs :1 avec la probabilité p (0 £ p £ 1) et 0 avec la probabilité q = 1 - p.
Dans ce cas : E(X) = p et V(X) = pq.
__________________________Probabilités Chapitre 4 Page 2 2 Les lois binomiales. On considère maintenant n épreuves de Bernoulli (n > 0), identiques, indépendantes, chacune pouvant
conduire à un succès avec la probabilité p (0 £ p £ 1) ou à un échec avec la probabilité q = 1 - p. On désigne par X le nombre de succès à ces n épreuves. Evaluons la probabilité P(X = i) d"obtenir exactement i succès (0£ i £ n) : P(X = i) = C p qn
i i n i-. C n i est le nombre de façons de choisir i épreuves parmi n sans tenir compte de l"ordre ; p i est la probabilité pour que les i épreuves choisies conduisent à i succès ; q n i- est la probabilité pour que les n - i autres épreuves conduisent à n - i échecs. X est la somme de n variables qui suivent la loi de Bernoulli de paramètre p. Chacune a pour espérance p. L"espérance étant additive, E(X) = np.Ces n variables sont
indépendantes. La variance de leur somme est la somme de leurs variances. Or la variance de chacune est pq. La variance de X est donc npq.Résumons :
Une variable aléatoire X suit une
loi binomiale de paramètres n (nÎIN*) et p (0 £ p £ 1) notée B (n,p)si elle est la somme de n variables indépendantes suivant la même loi de Bernoulli de paramètre p
(1 obtenu avec la probabilité p, 0 avec la probabilité q = 1 - p). X peut alors prendre chacune des n+1 valeurs 0, 1,...,n et : ("iÎ{0, 1, ..., n}) P(X = i) = Cn ipiqn-i.De plus : E(X) = np et V(X) = npq.
On peut s"assurer que
la somme des probabilités est bien 1 :D"après la formule du binôme de Newton :
n0iinii
n.qpC= (p + q)n = 1.A propos de la somme :
Considérons deux variables aléatoires
indépendantes X1 et X2 obéissant respectivement aux lois binomialesB (n1,p) et B (n2,p) ( le même p ).
Leur somme
X1 + X2 est le nombre de succès après nn12+ épreuves de Bernoulli identiques,indépendantes, de même probabilité de succès p. Elle obéit à la loi binomiale BBBB (nn12+, p).
Comme dans la partie I, considérons une urne contenant N boules dont Np sont blanches et Nq sont noires. Si l"on effectue n tirages aléatoires successifs d"une boule sans remise, le nombre de boules blanches obtenues obéit à la loi hypergéométrique H (N, n, p). Si l"on effectue n tirages successifs d"une boule avec remise, le nombre de boules blanches obtenues obéit à la binomiale B (n, p).Le fait qu"il y ait remise ou qu"il n"y ait pas remise n"est plus significatif quand N est grand devant n. C"est
pourquoi :Lorsque N est grand devant n ( concrètement :
N > 10n ),
on peut approcher la loi hypergéométrique H (N, n, p) par la loi binomiale B (n, p).3 Les lois géométriques.
On considère une succession potentiellement infinie d"épreuves de Bernoulli identiques, indépendantes,
de probabilités de succès p (0 < p£1) et d"échec q = 1 - p.
On désigne par X le numéro de la première épreuve conduisant à un succès.La probabilité pour que ce numéro soit i (1
£ i) est : P(X = i) = q .pi-1. On peut s"assurer que la somme des probabilités est bien 1 : q .p p. q p.1 1 qp p1 i 1 i1 i 1 i1 ( Somme d"une série géométrique de raison strictement inférieure à 1. ) __________________________ Probabilités Chapitre 4 Page 3 L"espérance mathématique de X est :E(X) =
i.q .pi 1 i1 (q )".pi i0= +¥∑ ( le terme de rang 0 est nul ; dérivation par rapport à q ) p. (q )" p.( q )"i i0 i i0= +¥∑ ∑= ( il est possible ici de permuter dérivation et sommation ) p.(11 q)"- ( limite d"une série géométrique de raison strictement inférieure à 1)
p.1 (1 q) p p 1 p2 2-= =.Pour calculer
la variance de X on a besoin de dériver 2 fois qi i1= +¥∑ par rapport à q. ( )" )"q (q i(i-1)qi i1 i i1 i-2 i1= +¥∑ ∑ ∑= == i .q i.q2 i 2 i1 i 2 i1 +¥∑ ∑- = i .qE(X) pq2 i 2 i1Par ailleurs :
( )"q (q1 q)" (1
(1 q))"2 (1 q)2 pi i1 2 3 3D"où :
i .q .p2 i 2 i1 +¥∑= + +2 pE(X) q=2 p1 pq2 2V(X) =
( )i .q .p (E(X))2 i 1 i1 2- +¥∑- = q.( )i .q .p1 p2 i 2 i1 2 +¥∑- = 2q p 1 p 1 p2 2+ - = q p2Résumons :
Soient p et q deux réels de somme 1 tels que : 0 < p£ 1.
Une variable aléatoire X suit la loi géométrique de paramètre p notée G (p) si elle prend ses valeurs dans
N* avec les probabilités ainsi définies :
("iÎIN*) P(X = i) = qi-1p.Alors : E(X) = 1
p et V(X) = q p2.4 Les lois binomiales négatives.
On considère une succession potentiellement infinie d"épreuves de Bernoulli identiques, indépendantes,
de probabilités de succès p (0 < p£1) et d"échec q = 1 - p.
On désigne par X le numéro de l"épreuve conduisant au succès N°k (kÎN*).
La probabilité que ce numéro soit i (k
£ i) est : P(X = i) = Ci
k 11pkqi-k.
X est la somme de k variables géométriques, indépendantes, de même paramètre p. D"où les calculs de
E(X) et de V(X).
__________________________Probabilités Chapitre 4 Page 4 Résumons : Soient p et q deux réels de somme 1 tels que : 0 < p
£ 1. Soit k un entier strictement positif.
Une variable aléatoire X suit la loi binomiale négative de paramètres k et p notée Bn(k, p) si elle prend
ses valeurs dans {k, k+1, k+2, ...} avec les probabilités ainsi définies : ("iÎ{k, k+1, k+2, ...}) P(X = i) = Ci k 11pkqi-k.
Alors : E(X) = k
p et V(X) = kq p2. )p,nn( àobéit X+X tesindépendan X ,X )p,n( àobéit X )p,n( àobéit X2121212211+⇒
nnnBBB Pour k = 1, on retrouve les lois géométriques.Exercices.
1. Il y a 10 oeufs dans mon réfrigérateur. 3 sont cuits, 7 sont crus. Je prends au hasard 4 oeufs.
X est le nombre d"oeufs cuits parmi ces 4.
Donner, sous forme de tableau, la loi de probabilité de X et sa fonction de répartition.Donner l"espérance mathématique de X et sa variance. 2. Parmi 10 billets de tombola, dont 3 exactement sont gagnants, on tire 3 billets au hasard.
X est le nombre de billets gagnants obtenus.
Donner, sous forme de tableau, la loi de probabilité de X et sa fonction de répartition.Calculer l"espérance mathématique de X et la variance de X. 3. Le barillet d"un revolver peut contenir jusqu"à six balles. En fait, il en contient 2. Leurs positions sont aléatoires.
On va tirer trois fois. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : A : Les deux balles seront tirées au cours des trois coups. B : La première balle sera tirée au troisième coup.C : La deuxième balle sera tirée au troisième coup. 4. Un examen oral porte sur 10 chapitres. L"examinateur a prévu 10 questions par candidat, une sur chaque chapitre. Il
propose un tirage au sort de 5 questions parmi les 10. On est admis dès que l"on répond correctement à au moins 3
questions parmi les 5. Dans le cas contraire, on est ajourné.Le candidat Lucien n"a révisé que 6 chapitres. Sur ces 6 chapitres, il est incollable. En revanche, il est incapable de
répondre à toute question extérieure à ces 6 chapitres. Quelle est la probabilité que Lucien soit admis ?5. Lors d"une loterie, on émet N numéros, dont K sont gagnants.
On tire au hasard et sans remise n numéros.
On désigne par X le nombre de numéros gagnants parmi les n numéros tirés.Donner la loi de probabilité de X, son espérance mathématique et sa variance. 6. Une urne contient exactement 6 boules. 4 sont blanches et 2 sont noires.
On effectue successivement 6 tirages aléatoires d"une boule sans remise. On désigne par X le nombre de tirages nécessaires pour obtenir deux boules blanches.Donner la loi de probabilité de X, son espérance mathématique et sa variance. 7. On dispose de cinq pièces d"un euro. Deux ont été frappées en France. Les trois autres ont été frappées en Allemagne. Les probabilités demandées seront soigneusement justifiées. 7.1. On suppose, dans cette question seulement, que l"on choisit simultanément deux pièces parmi les cinq, au hasard, avec
équiprobabilité. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de pièces frappées en France parmi les deux pièces
choisies.a) Donner (sous forme de tableau) la loi de probabilité de X. Calculer son espérance mathématique et sa variance.
b) L"inégalité de Bienaymé-Tchébychev fournit un majorant de la probabilité P(X = 2). Quel est ce majorant ? 7.2. On suppose, dans cette question seulement, que l"on effectue plusieurs tirages successifs d"une pièce parmi les cinq pièces,
au hasard, avec équiprobabilité, sans remise. On désigne par Y la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires
pour obtenir les deux pièces frappées en France. Donner (sous forme de tableau) la loi de probabilité de Y. __________________________Probabilités Chapitre 4 Page 5
7.3. On suppose, dans cette question seulement, que l"on effectue plusieurs tirages successifs d"une pièce parmi les cinq pièces,
au hasard, avec équiprobabilité, avec remise. Il est donc possible d"obtenir plusieurs fois la même pièce.
On qualifiera de français tout tirage d"une pièce frappée en France. On qualifiera d"allemand tout tirage d"une pièce frappée en
Allemagne.
a) Quelle est la probabilité que le troisième tirage soit le premier tirage allemand ?b) Quelle est la probabilité que, parmi les cinq premiers tirages, il y ait plus de tirages français que de tirages allemands ?
c) Quelle est la probabilité que le cinquième tirage soit le troisième tirage français ? 8. Une population est constituée de six filles et de quatre garçons.
Partie A
On choisit au hasard, successivement, cinq personnes dans cette population sans les extraire de la population. Il est donc
possible de choisir plusieurs fois une même personne.8.1. Quelle est la probabilité que l"on choisisse au moins trois fois une fille ?
8.2. Quelle est la probabilité que le premier choix portant sur une fille soit le troisième choix ?
8.3. Quelle est la probabilité que le troisième choix portant sur une fille soit le cinquième choix ?
Partie B
Répondre aux mêmes questions en supposant, cette fois, que chaque personne choisie est extraite
de la population et ne peut donc pas être choisie une nouvelle fois. 9. On dispose de dix jetons portant respectivement les numéros 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4.
On effectue successivement dix tirages aléatoires d"un jeton, avec équiprobabilité. I On désigne par X la variable aléatoire égale au numéro obtenu lors du premier tirage. I.1. Donner la loi de probabilité de X, son espérance mathématique et sa variance.I.2. L"inégalité de Bienaymé-Tchébychev fournit un majorant de la probabilité P(X = 4). Quel est ce majorant ?
II On suppose, dans cette partie seulement, que les tirages se font avec remise. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants. A : En cinq tirages, on obtient au moins deux fois le numéro 2. B : On obtient le numéro 3 pour la première fois lors du quatrième tirage. C : On obtient le numéro 1 pour la troisième fois lors du septième tirage.D : Le numéro obtenu lors du troisième tirage est au moins égal à la somme des deux numéros obtenus lors des deux
premiers tirages. IIICalculer les probabilités des événements A, B, C, D définis dans la partie II en supposant cette fois que les tirages se font sans
remise.10. Un sac contient exactement dix jetons. Quatre jetons sont blancs. Les six autres jetons sont noirs.
On s"apprête à effectuer une succession de tirages aléatoires d"un jeton, avec équiprobabilité. On qualifie de blanc tout tirage
d"un jeton blanc.Partie I
On suppose, dans cette partie seulement, qu"après chaque tirage on remettra dans l"urne le jeton obtenu.
I.1. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de tirages blancs parmi les trois prochains tirages. Donner, sous
forme de tableau, la loi de probabilité de X. Préciser son espérance mathématique et sa variance.
I.2. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants. A : Parmi les huit prochains tirages, il y aura au plus trois tirages blancs. B : Le premier tirage blanc sera le troisième tirage. C : Le troisième tirage blanc sera le huitième tirage. D : Le troisième tirage blanc sera réalisé au plus tôt lors du huitième tirage.Partie II (indépendante de la partie I)
On suppose, dans cette partie seulement, qu"après chaque tirage on ne remettra pas dans l"urne le jeton obtenu.
Répondre aux mêmes questions que dans la partie I.11. Malgré son grand âge, Pépé part encore à la chasse avec son vieux fusil et son chien presque sourd.
La détonation est le seul bruit qui émeuve encore le chien.Le fusil s"enraye aléatoirement. En moyenne, il s"enraye deux fois sur trois. Quand le fusil s"enraye, le chien n"entend rien.
On s"intéresse aux trois prochains tirs. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
A : Au cours des trois prochains tirs, le chien sursautera deux fois. B : Le premier sursaut du chien aura lieu lors du troisième tir.C : Le deuxième sursaut du chien aura lieu lors du troisième tir. 12. Les îles Curtines bénéficient d"un climat agréable. Chaque jour d"été, la probabilité qu"il fasse beau est 0,9,
indépendamment du temps qu"il a fait les jours précédents.Vous décidez d"y passer le mois de juillet. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
__________________________Probabilités Chapitre 4 Page 6
A Il fera beau le 14 juillet.
B Il fera beau du 1
er au 14 juillet (compris). C Le premier jour maussade du mois de juillet sera le 14 juillet.D Le quatrième jour maussade du mois de juillet sera le 14 juillet. 13. On considère une succession potentiellement infinie d"épreuves de Bernoulli identiques, indépendantes, de même
probabilité de succès p. X n est le nombre de succès après n épreuves (nÎN*).Y est le rang du premier succès. Y
n est le rang du succès N°n (nÎN*). Y1 est donc égal à Y.Donner les lois de probabilités de X
n, Y, Yn, leurs espérances mathématiques et leurs variances. 14. Un examen est constitué de 4 questions choisies aléatoirement parmi 8.
A chacune on doit répondre par oui ou par non. Pour être reçu, il faut donner au moins 2 bonnes réponses.
Le candidat Sylvain connaît les réponses à 4 des 8 questions. Pour lui, ce sont les bonnes questions.
14.1. On désigne par X le nombre de bonnes questions qui seront posées à Sylvain.
Donner, sous forme de tableau, la loi de probabilité de X.14.2. Sylvain répondra correctement à toute bonne question. Il répondra au hasard à toute autre question.
Quelle est la probabilité que Sylvain soit reçu ?15. On tire plusieurs fois en direction d"une cible. A chaque tir, on a une chance sur 3 d"atteindre la cible.
On désigne par X le nombre de tirs nécessaires pour toucher la cible une fois et par Y le nombre de tirs nécessaires pour toucher la cible 3 fois.15.1. Donner les lois de probabilité de X et de Y.
15.2 Même question avec les contraintes suivantes :
le nombre de tirs est limité à 9 ; si la cible n"est pas atteinte après 9 tentatives alors X = 10 ;si la cible est atteinte au plus 2 fois après 9 tentatives, alors Y = 10. 16. On s"apprête à jouer un grand nombre de fois à pile ou face avec une pièce bien équilibrée.
n est un entier strictement positif.On désigne par S
n le nombre de " pile » que l"on obtiendra après n parties et par Mn la moyenne Sn/n.On désigne par X
n le nombre de jeux nécessaires pour obtenir exactement n fois " pile ».16.1. Calculer (sous forme de fraction irréductible) la probabilité de chacun des événements suivants :
S1 = 1 ; X1 = 1 ; S10 = 5 ; S5 £ 2 ; S6 ³ 3 ; 3 < S8 < 6 ; X1 = 3 ;
M5 = 0,6 ; M4 > 0,5 ; 0,4 < M6 < 0,6 ; X3 = 5 ; X3 > 5.
16.2. Donner l"espérance mathématique et la variance de S
1, S10, M10, X1, X10, Sn , Mn.
16.3. A l"aide de l"inégalité de Bienaymé-Tchébychev, donner un entier n tel que P(0,4 < M
n < 0,6) ³ 0,9. 17. Une urne contient 1 boule blanche et 9 boules noires. On tire au hasard une boule de l"urne, puis on la remet dans l"urne. On recommence encore 4 fois. On a donc effectué 5 tirages aléatoires successifs d"une boule avec remise. On qualifie de blancs les tirs de la boule blanche et de noirs les autres. a) On désigne par X le nombre de tirs blancs.Donner, sous forme de tableau, la loi de probabilité de X. Donner son espérance mathématique et sa variance.
b) On désigne par Y le rang (1, 2, 3, 4 ou 5) du premier tir blanc. Si tous les tirs sont noirs, on attribue à Y la valeur 6.
Donner, sous forme de tableau, la loi de probabilité de Y.c) On désigne par Z le rang (3, 4 ou 5) du troisième tir noir. S"il y a strictement moins de 3 tirs noirs, on attribue à Z la valeur
6.Donner, sous forme de tableau, la loi de probabilité de Z. 18. Un lot de 50 cylindres de béton contient 8 cylindres défectueux, et seulement 8.
On teste 8 cylindres choisis au hasard parmi les 50 cylindres. On acceptera le lot si au moins 7 des 8 cylindres testés sont corrects.On désigne par a la probabilité d"accepter le lot. (Cette probabilité est très voisine de 0,6218.)
1) Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X qui donne le nombre de cylindres défectueux parmi les
cylindres testés ?2) Préciser la probabilité a à l"aide de combinaisons.
3) On approche X par une variable aléatoire binomiale Y. Est-ce légitime ? Préciser la loi de probabilité suivie par Y. Calculer
P(Y £ 1). 19. Une urne contient 3 boules blanches et 5 boules noires. A On tire au hasard et sans remise 4 boules de l"urne. On désigne par X le nombre de boules blanches obtenues parmi les 4 boules tirées. Donner, sous forme de tableau, la loi de probabilité de X et sa fonction de répartition. Calculer l"espérance mathématique de X et la variance de X. __________________________Probabilités Chapitre 4 Page 7
BL"urne contenant à nouveau les 8 boules, on effectue cette fois 4 tirages aléatoires successifs
d"une boule, avec remise (après chaque tirage d"une boule, on note la couleur de la boule et on remet la boule dans l"urne avant le tirage suivant). On désigne par Y le nombre de tirages d"une boule blanche, parmi les 4 tirages. Donner, sous forme de tableau, la loi de probabilité de Y et sa fonction de répartition. Calculer l"espérance mathématique de Y et la variance de Y. C L"urne contenant les 8 boules, on effectue une succession potentiellement infinie de tirages aléatoires d"une boule que l"on remet dans l"urne avant le tirage suivant.Les tirages sont numérotés 1, 2, 3, ...
1) On désigne par Z le numéro du premier tirage d"une boule blanche.
Donner la loi de probabilité de Z (par une formule), son espérance mathématique et sa variance.
Trouver le plus petit entier i tel que : P(Z £ i) ³ 0,9.2) On désigne par T le numéro du cinquième tirage d"une boule blanche.
Donner la loi de probabilité de T (par une formule), son espérance mathématique et sa variance.
D L"urne contenant les 8 boules, on effectue une succession de tirages aléatoires d"une boule que l"on ne remet pas dans l"urne. La succession de tirages prend fin quand l"urne est vide.Les tirages sont numérotés de 1 à 8.
1) On désigne par U le numéro du premier tirage d"une boule blanche.
Donner (sous forme de tableau) la loi de probabilité de U et sa fonction de répartition.2) On désigne par V le numéro du troisième tirage d"une boule blanche.
Donner (sous forme de tableau) la loi de probabilité de V et sa fonction de répartition. 20. Un rat perdu dans un labyrinthe peut choisir entre 4 passages, dont un seul permet de sortir.
Les 3 autres passages ramènent la rat à sa position actuelle. AOn suppose que le rat n"a aucune mémoire et qu"il effectue au hasard les tentatives de sortie, jusqu"au succès.
Quelle est la probabilité pour que le rat trouve la sortie lors de la 5ème tentative ?
Quelle est la probabilité pour que le rat n"ait toujours pas trouvé la sortie après 4 tentatives ?
Quelle est la probabilité pour que le rat ne trouve pas la sortie ? BOn suppose maintenant que le rat est doué d"une mémoire lui évitant d"essayer plus d"une fois un même passage qui ne permet
pas de sortir. On suppose aussi qu"il ne se décourage pas avant le succès. Quel est le nombre de tentatives le plus probable ? C On suppose cette fois que le labyrinthe est plus compliqué : l"unique bon passage sur les 4 ne conduit à la sortie que lorsqu"il est emprunté pour la 3ème fois.
Les deux premières fois, il ramène le rat à sa position actuelle. Le rat persiste tant que sa logique lui laisse un espoir. Ensuite, il se laisse mourir.1) S"il n"a aucune mémoire, quelle est la probabilité pour qu"il sorte lors de la 12
ème tentative ?
2) S"il est doué d"une mémoire lui interdisant l"emprunt de tout passage
l"ayant ramené à sa position précédente, quelle est la probabilité pour qu"il se laisse mourir ? 21. Dans un lot de n pièces de 10 francs, il y a exactement x pièces fausses. 21.1. Dans cette question seulement, on fait les hypothèses suivantes :
n=5 ; x=2 ; on effectue une succession potentiellement infiniede tirages aléatoires d"une pièce avec remise dans le lot de la pièce tirée. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
A : La pièce obtenue lors du premier tirage est fausse. B : Au cours des 4 premiers tirages, on obtient exactement 2 pièces fausses. C : Lors des 3 premiers tirages, on n"obtient que des vraies pièces. D : Le quatrième tirage est le premier tirage d"une fausse pièce.E : Le cinquième tirage est le troisième tirage d"une vraie pièce. 21.2. Dans cette question seulement, on fait les hypothèses suivantes :
n=5 ; x=2 ; on effectue une succession de 5 tirages aléatoires d"une pièce sans remise dans le lot de la pièce tirée. Calculer la probabilité de chacun des événements envisagés dans la question 1. 21.3. Dans cette question seulement, on fait les hypothèses suivantes :
n=100 000 ; x=5 000 ; on tire simultanément et aléatoirement 8 pièces. Calculer la probabilité que, parmi les 8 pièces tirées, il y ait exactement une fausse pièce. 22. Une urne contient 10 boules exactement : 5 blanches et 5 incolores.
__________________________Probabilités Chapitre 4 Page 8
On dispose par ailleurs d"un dé cubique équilibré possédant 4 faces blanches et 2 faces noires.
On qualifie de blancs les jets après lesquels la face supérieure est blanche.22.1. On tire au hasard et simultanément 5 boules de l"urne.
a) On désigne par X le nombre de boules blanches obtenues. Donner la loi de probabilité de X, son espérance mathématique et sa variance.b) Si parmi les boules tirées se trouve une boule incolore, on jette le dé ; si le jet est blanc, on remplace la boule incolore par
une boule blanche ; sinon, on conserve la boule incolore. On procède de la même façon pour chacune des boules incolores tirées.On désigne par Y le nombre de boules blanches obtenues soit directement soit par la méthode décrite.
Déterminer P(Y < 3).
22.2. On jette le dé un grand nombre de fois.
n est un entier strictement positif. On désigne par S n le nombre de jets blancs obtenus après n tirs, par M n la moyenne Sn/n et par Xn le nombre de jets nécessaires pour obtenir n jets blancs. a) Donner les lois de probabilités de S n, Mn et Xn. Donner aussi leurs espérances mathématiques et leurs variances. b) A l"aide de l"inégalité de Bienaymé-Tchébychev, trouver un entier n tel que : P( 3017 £ Mn £ 30
23) ³ 0,9.
22.3. L"urne contenant à nouveau les 10 boules, on effectue successivement 10 tirages aléatoires d"une boule sans remise. On
désigne par Z le rang d"apparition de la 3 ème boule blanche. Donner la loi de probabilité de Z, son espérance mathématique et sa variance. __________________________Probabilités Chapitre 4 Page 9 Réponses.
1. x 0 1 2 3P(X = x) 5
30 1530 9
30 1
30
P(X £ x) 5
30 2030 29