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Pierre COLMEZ
ÉLÉMENTS D"ANALYSE ET
D"ALGÈBRE
Pierre COLMEZ
C.M.L.S., École Polytechnique, 91128 Palaiseau Cedex, France.ÉLÉMENTS D"ANALYSE ET D"ALGÈBRE
Pierre COLMEZ
SYNOPSIS
Introduction...................................................................... 1 Vocabulaire Mathématique..................................................... 9 I. Représentations des groupes finis...........................................245 II. Espaces de Banach...........................................................283 III. Intégration..................................................................315 IV. Transformée de Fourier.....................................................351 V. Fonctions holomorphes......................................................377 VI. La formule de Cauchy et celle des résidus (de Cauchy).................403 VII. Séries de Dirichlet.........................................................427 A. Le théorème des nombres premiers........................................459 B. Volume deSLn(R)=SLn(Z)...................................................481 C. Groupes finis et représentations : exemples...............................497 D. Fonctions d"une variablep-adique..........................................513 E. Irrationalité d"une infinité de(2n+ 1)....................................531 F. Le problème des nombres congruents......................................541 G. Introduction au programme de Langlands................................559 H. Problèmes corrigés...........................................................595TABLE DES MATIÈRES
Introduction....................................................................................... 1
Vocabulaire Mathématique...................................................................... 91. Grammaire élémentaire........................................................................ 10
2. Structures algébriques......................................................................... 17
3. Groupes finis................................................................................... 40
4. Polynômes..................................................................................... 51
5. Algèbre linéaire................................................................................ 65
6. Déterminants.................................................................................. 76
7. Matrices ...................................................................................... 79
8. Fragments de théorie des corps (commutatifs)................................................. 94
9. Systèmes d"équations..........................................................................106
10. Réduction des endomorphismes...............................................................116
11. Topologie.....................................................................................135
12. Compacité....................................................................................146
13. Connexité.....................................................................................155
14. Complétude...................................................................................159
15. Séries numériques.............................................................................164
16. Convergence de fonctions.....................................................................174
17. Espaces vectoriels normés.....................................................................176
18. Espaces préhilbertiens........................................................................181
19. Tératologie...................................................................................193
20. Construction de nombres.....................................................................200
21. Corrigé des exercices..........................................................................212
I. Représentations des groupes finis............................................................245
I.1. Représentations et caractères.................................................................247
I.2. Décomposition des représentations...........................................................254
I.3. Construction de représentations..............................................................270
II. Espaces de Banach............................................................................283 II.1. Espaces de Banach..........................................................................283II.2. Espaces de Hilbert...........................................................................299
II.3. Exercices....................................................................................307
TABLE DES MATIÈRESvii
II.4. Espaces de Banachp-adiques................................................................310III. Intégration....................................................................................315
III.1. Intégrale de Lebesgue.......................................................................315
III.2. Quelques espaces fonctionnels..............................................................329
III.3. Intégrales multiples.........................................................................335
III.4. Construction de l"intégrale de Lebesgue....................................................343
IV. Transformée de Fourier.....................................................................351
IV.1. Intégrales dépendant d"un paramètre.......................................................351
IV.2. Transformée de Fourier dansL1............................................................354
IV.3. Formules d"inversion........................................................................359
IV.4. Transformée de Fourier dansL2............................................................370
V. Fonctions holomorphes.......................................................................377 V.1. Fonctions holomorphes et fonctions analytiques complexes..................................377 V.2. Exemples de fonctions holomorphes.........................................................383V.3. Premières propriétés des fonctions holomorphes.............................................385
V.4. La formule intégrale de Cauchy et ses conséquences.........................................389
V.5. Construction de fonctions holomorphes......................................................396V.6. Inversion globale et image ouverte...........................................................400
VI. La formule de Cauchy et celle des résidus (de Cauchy).................................403 VI.1. Homotopie de lacets et formule de Cauchy..................................................403VI.2. Indice d"un lacet par rapport à un point....................................................410
VI.3. La formule des résidus de Cauchy...........................................................416
VII. Séries de Dirichlet..........................................................................427
VII.1. Séries de Dirichlet.........................................................................427
VII.2. Séries de Dirichlet et transformée de Mellin................................................431
VII.3. La fonction zêta de Riemann..............................................................437
VII.4. FonctionsLde Dirichlet...................................................................444 VII.5. Autres exemples...........................................................................451 VII.6. Formes modulaires.........................................................................452A. Le théorème des nombres premiers.........................................................459
A.1. Introduction.................................................................................459
A.2. Les fonctions et 1........................................................................463A.3. Formules explicites..........................................................................466
A.4. Démonstration du théorème des nombres premiers..........................................474
A.5. Compléments................................................................................477
B. Volume deSLn(R)=SLn(Z)...................................................................481B.1. Volume d"objets arithmétiques...............................................................481
B.2. La mesure de Haar deSLn(R)..............................................................491 C. Groupes finis et représentations : exemples...............................................497 C.1. p-Groupes...................................................................................497C.2. Représentations du groupe symétriqueSn...................................................499
viiiTABLE DES MATIÈRES C.3. Représentations deGL2(F).................................................................503 D. Fonctions d"une variablep-adique...........................................................513D.1. Analyses fonctionnelles réelle etp-adique....................................................513
D.2. Fonctionsk-fois uniformément dérivables....................................................515
D.3. Fonctions localement analytiques surZp.....................................................519D.4. La fonction zêtap-adique....................................................................523
E. Irrationalité d"une infinité de(2n+ 1).....................................................531
E.1. Indépendance linéaire de nombres réels......................................................531
E.2. Transcendance deet indépendance linéaire des(n).......................................533 F. Le problème des nombres congruents.......................................................541 F.1. Courbes elliptiques et nombres congruents...................................................541F.2. Équations diophantiennes....................................................................551
G. Introduction au programme de Langlands.................................................559G.1. La conjecture d"Artin........................................................................561
G.2. Le théorème de Kronecker-Weber revisité...................................................572
G.3. Le programme de Langlands................................................................588H. Problèmes corrigés...........................................................................595
H.1. Exercices d"examen..........................................................................596H.2. Table des caractères deA5..................................................................610
H.3. Représentations deGL2(F3)................................................................616H.4. Table des caractères deGL3(F2)............................................................621
H.5. Coefficients de Fourier des fonctions continues...............................................629
H.6. Fonctions d"Hermite et transformée de Fourier dansL2......................................631
H.7. Transformée de Fourier et convolution.......................................................635
H.8. Loi d"addition sur une courbe elliptique.....................................................639
H.9. Coefficients de Fourier des fonctions analytiques.............................................645
H.10. Prolongement analytique d"intégrales et de séries...........................................647
H.11. La fonctionde Dedekind.................................................................654H.12. Irrationalité de(3)........................................................................665
H.13. Le critère de Borel.........................................................................670
H.14. Le théorème de Mordell-Weil...............................................................673
TABLE DES MATIÈRES DÉTAILLÉE
Introduction.................................................................................................. 1
Bibliographie sommaire.................................................................................. 3
Préface de la seconde édition............................................................................. 5
Notations standard....................................................................................... 7
Vocabulaire Mathématique................................................................................. 9
1. Grammaire élémentaire................................................................................... 10
1.1. Coefficients binomiaux............................................................................... 11
1.2. L"anneauZdes entiers relatifs....................................................................... 11
1.3. Parallélisme entre logique élémentaire et langage ensembliste....................................... 14
1.4. Ensembles dénombrables............................................................................ 15
2. Structures algébriques.................................................................................... 17
2.1. Lois de composition................................................................................. 17
2.2. Exemples de structures algébriques.................................................................. 18
2.3. Sous-trucs de trucs.................................................................................. 22
2.4. Morphismes.......................................................................................... 23
2.5. Noyau et image...................................................................................... 25
2.6. Produits et sommes.................................................................................. 26
2.7. Relations d"équivalence.............................................................................. 28
2.8. L"anneauZ=DZdes entiers relatifs moduloD....................................................... 31
2.9. Quotients d"espaces vectoriels et deA-modules..................................................... 34
2.10. Anneaux quotients, idéaux......................................................................... 35
2.11. Groupes quotients.................................................................................. 37
3. Groupes finis............................................................................................. 40
3.1. Groupes cycliques................................................................................... 40
3.2. Groupes abéliens finis............................................................................... 43
3.3. Le théorème de Lagrange et ses variantes........................................................... 44
3.4. Le groupe symétriqueSn............................................................................ 45
3.5. Les théorèmes de Sylow............................................................................. 50
4. Polynômes................................................................................................ 51
4.1. Polynômes en une variable.......................................................................... 51
4.2. Anneaux euclidiens et principaux................................................................... 54
4.3. Polynômes en plusieurs variables.................................................................... 60
4.4. Polynômes symétriques.............................................................................. 62
4.5. Anneaux noethériens................................................................................ 63
5. Algèbre linéaire........................................................................................... 65
xTABLE DES MATIÈRES DÉTAILLÉE5.1. Espaces vectoriels.................................................................................... 65
5.2. Morphismes d"espaces vectoriels..................................................................... 66
5.3. Familles libres, familles génératrices, bases.......................................................... 68
5.4. Espaces vectoriels de dimension finie................................................................ 70
5.5. Dualité............................................................................................... 74
6. Déterminants............................................................................................. 76
6.1. Formes multilinéaires alternées...................................................................... 76
6.2. Déterminant denvecteurs.......................................................................... 77
6.3. Déterminant d"un endomorphisme................................................................... 78
7. Matrices ................................................................................................. 79
7.1. Matrices à coefficients dans un corps................................................................ 79
7.2. Produit de matrices................................................................................. 80
7.3. Le théorème fondamental de l"algèbre linéaire....................................................... 80
7.4. Matrice d"une application linéaire................................................................... 81
7.5. Matrices carrées..................................................................................... 83
7.6. Déterminant d"une matrice carrée................................................................... 84
7.7. Matrices à coefficients dans un anneau.............................................................. 88
7.8. Matrices par blocs................................................................................... 92
8. Fragments de théorie des corps (commutatifs)........................................................... 94
8.1. Sous-extensions finies................................................................................ 94
8.2. Algébricité, transcendance........................................................................... 96
8.3. Extensions algébriques, clôture intégrale............................................................ 97
8.4. Constructions à la règle et au compas............................................................... 99
8.5. Degré de transcendance.............................................................................100
8.6. Constructions d"extensions algébriques..............................................................101
8.7. Corps finis...........................................................................................103
8.8. La clôture algébrique d"un corps....................................................................104
9. Systèmes d"équations.....................................................................................106
9.1. Systèmes linéaires...................................................................................106
9.2. Systèmes d"équations polynomiales..................................................................110
10. Réduction des endomorphismes.........................................................................116
10.1. Généralités.........................................................................................116
10.2. Modules de torsion surK[X]et réduction des endomorphismes....................................119
10.3. Modules de torsion sur les anneaux principaux....................................................125
10.4. Modules sur les anneaux principaux................................................................127
10.5. Extension des scalaires.............................................................................131
11. Topologie................................................................................................135
11.1. Espaces topologiques...............................................................................136
11.2. Espaces métriques..................................................................................137
11.3. Continuité..........................................................................................139
11.4. Sous-espaces, produits, quotients...................................................................140
11.5. Espaces séparés.....................................................................................142
11.6. Intérieur, adhérence, densité.......................................................................144
11.7. Suites dans un espace topologique..................................................................145
12. Compacité...............................................................................................146
12.1. Espaces compacts..................................................................................146
12.2. Compacité et suites.................................................................................147
12.3. Propriétés de base des compacts...................................................................148
12.4. La droite réelle achevée.............................................................................153
12.5. L"espace topologiqueT=R=Z.....................................................................154
TABLE DES MATIÈRES DÉTAILLÉExi
13. Connexité...............................................................................................155
13.1. Ensembles connexes................................................................................155
13.2. Connexité par arcs.................................................................................157
14. Complétude.............................................................................................159
14.1. Suites de Cauchy...................................................................................159
14.2. Principales propriétés des espaces complets........................................................160
14.3. Complétion d"un espace métrique..................................................................162
15. Séries numériques.......................................................................................164
15.1. Séries à termes positifs.............................................................................164
15.2. Séries standard.....................................................................................166
15.3. Séries absolument convergentes....................................................................167
15.4. Séries entières......................................................................................169
15.5. L"exponentielle complexe...........................................................................170
15.6. Sommation de séries divergentes...................................................................172
16. Convergence de fonctions................................................................................174
16.1. Convergence simple.................................................................................174
16.2. Convergence uniforme..............................................................................175
17. Espaces vectoriels normés...............................................................................176
17.1. Corps normés.......................................................................................176
17.2. Normes et applications linéaires continues.........................................................177
17.3. La norme d"un opérateur...........................................................................177
17.4. Normes équivalentes................................................................................178
17.5. Norme spectrale d"un opérateur....................................................................179
17.6. La boule unité d"un espace vectoriel normé........................................................180
17.7. Applications bilinéaires continues..................................................................181
18. Espaces préhilbertiens...................................................................................181
18.1. Produits scalaires...................................................................................182
18.2. Orthogonalité.......................................................................................182
18.3. Unitarité............................................................................................185
18.4. Opérateur autoadjoint, matrice hermitienne.......................................................189
19. Tératologie..............................................................................................193
19.1. Fonctions continues dérivables nulle part...........................................................193
19.2. L"escalier du diable.................................................................................194
19.3. L"ensemble triadique de Cantor....................................................................195
19.4. La courbe de Peano................................................................................196
19.5. Ensembles connexes non connexes par arcs........................................................198
20. Construction de nombres................................................................................200
20.1. Entiers naturels.....................................................................................200
20.2. Entiers relatifs, nombres rationnels.................................................................201
20.3. Nombres réels, nombres complexes.................................................................202
20.4. Nombresp-adiques.................................................................................203
21. Corrigé des exercices....................................................................................212
I. Représentations des groupes finis......................................................................245
I.1. Représentations et caractères...........................................................................247
1. Représentations de groupes, exemples.................................................................247
2. Caractère d"une représentation, exemples.............................................................250
3. Morphismes de représentations........................................................................252
I.2. Décomposition des représentations......................................................................254
1. Décomposition en somme directe de représentations irréductibles....................................255
2. Le lemme de Schur et ses conséquences immédiates...................................................257
xiiTABLE DES MATIÈRES DÉTAILLÉE3. Orthogonalité des caractères..........................................................................258
4. Applications du théorème principal...................................................................260
5. Le cas des groupes commutatifs.......................................................................262
6. Table des caractères d"un groupe fini..................................................................265
I.3. Construction de représentations........................................................................270
1. Restriction et inflation................................................................................270
2. Constructions tensorielles de représentations..........................................................271
3. Représentations induites...............................................................................274
4. Exercices..............................................................................................279
II. Espaces de Banach......................................................................................283
II.1. Espaces de Banach.....................................................................................283
1. Convergence normale, séries sommables...............................................................284
2. Espaces de suites......................................................................................286
3. Espaces de fonctions continues........................................................................287
4. Équations différentielles linéaires......................................................................290
5. Complétion d"espaces vectoriels normés...............................................................295
6. Applications linéaires continues entre espaces de Banach.............................................296
7. Le dual d"un espace de Banach........................................................................299
II.2. Espaces de Hilbert.....................................................................................299
1. Espaces de Hilbert.....................................................................................300
2. Le théorème de projection sur un convexe............................................................304
3. Le dual d"un espace de Hilbert........................................................................305
II.3. Exercices...............................................................................................307
1. Espaces de Banach....................................................................................307
2. Espaces de Hilbert.....................................................................................308
3. Séries de Fourier.......................................................................................309
II.4. Espaces de Banachp-adiques..........................................................................310
1. Définition et exemples.................................................................................310
2. Bases orthonormales...................................................................................311
3. Le dual d"un espace de Banachp-adique..............................................................312
III. Intégration...............................................................................................315
III.1. Intégrale de Lebesgue.................................................................................315