Quels sont les outils de l’analyse des mathématiques?
- Elle est aussi l’occasion de découvrir la beauté des mathématiques, de l’in?niment grand (les limites) à l’in?niment petit (le calcul de dérivée). L’outil central abordé dans ce tome d’analyse, ce sont les fonctions. Vous en connaissez déjà beaucoup, racine carrée, sinus et cosinus, logarithme, exponentielle...
Quels sont les outils de la première année de mathématiques?
- La première année pose les bases et introduit les outils dont vous aurez besoin par la suite. Elle est aussi l’occasion de découvrir la beauté des mathématiques, de l’in?niment grand (les limites) à l’in?niment petit (le calcul de dérivée). L’outil central abordé dans ce tome d’analyse, ce sont les fonctions.
Comment pratiquer les mathématiques?
- En?n, vous devrez passer autant de temps à pratiquer les mathématiques : il est indispensable de résoudre activement par vous-même des exercices, sans regarder les solutions! Pour vous aider, vous trouverez sur le site Exo7 toutes les vidéos correspondant à ce cours, ainsi que des exercices corrigés.
Quels sont les deux chapitres de l’étude de fonctions?
- En ?n de volume, deux chapitres explorent les applications des études de fonctions au tracé de courbes paramétrées et à la résolution d’équations différentielles.
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UNIVERSITE DE LIEGE
Facult´e des Sciences
ANALYSE MATHEMATIQUE
Notes du cours des premiers Bacheliers
en sciences math´ematiques ou en sciences physiquesJean SCHMETS
Ann´ee acad´emique 2004-2005
iiIntroduction
Ce livre contient la premi`ere partie du cours d"analyse math´ematique que j"enseigne en premi`ere candidature en sciences math´ematiques ou en sciences physiques. La deuxi`eme partie concerne le calcul int´egral et fait l"objet d"un volume s´epar´e. Comme tout cours d"initiation `a l"analyse, il d´eveloppe essentiellement une de- scription de l"espace euclidienRnde dimensionnainsi qu"une ´etude de la continuit´e, de la d´erivabilit´e et de la primitivabilit´e des fonctions, et se termine avec la con-sid´eration des ´equations diff´erentielles lin´eaires `a coefficients constants et de quelques
´equations diff´erentielles ordinaires.
En r´edigeant ces notes, j"ai d´esir´e rencontrer le souhait ´emis par les ´etudiants de
disposer d"un texte proche de la mati`ere enseign´ee. Je n"ai pu cependant m"empˆecher d"y inclure quelques compl´ements th´eoriques (parfois pr´esent´es sous la forme d"exe- rcices). Ces notes sont compl´et´ees par unCahier d"Exercices. C"est la raison pour laquelle elles ne contiennent pas beaucoup d"exemples et exercices, malgr´e l"impor- tance que je leur accorde. Les textes plac´es entre les symboles "? →" et "← ?" font appel `a de la mati`ere ult´erieure et sont `a r´eserver pour une deuxi`eme lecture.J. Schmets
iv 0. Introduction Quelques rep`eres chronologiques de math´ematiciens cit´es1600 1650 1700 1750 1800 1850 1900PascalBlaise (1623-1662)
NewtonIsaac (1642-1727)
LeibnizGottfried Wilhelm (1646-1716)
RolleMichel (1652-1719)
BernoulliJacques (1654-1705)
HospitalGuillaume de L" (1661-1704)
De MoivreAbraham (1667-1754)
TaylorBrook (1685-1731)
MaclaurinColin (1698-1746)
EulerLeonhard (1707-1783)
ClairautHermann (1713-1765)
LagrangeJoseph (1736-1813)
LaplacePierre de (1749-1827)
LegendreAdrien-Marie (1752-1833)
GaussCarl-Friedrich (1777-1855)
BolzanoBernhard (1781-1848)
CauchyAugustin (1789-1857)
v1800 1850 1900 1950 2000AbelNiels (1802-1829)
JacobiCarl (1804-1851)
MorganAugustus De (1806-1871)
HesseOtto (1811-1874)
WeierstrassKarl (1815-1897)
HeineEduard (1821-1881)
RiemannBernhard (1826-1866)
HermiteCharles (1822-1901)
LevyMaurice (1838-1910)
SchroederErnst (1841-1902)
SchwarzHerman (1843-1921)
CantorGeorg (1845-1918)
LorentzHendrick (1853-1928)
PicardEmile (1856-1941)
CesaroE. (1859-1906)
JensenJohann (1859-1925)
H olderLudwig (1859-1937)MinkowskiHermann (1864-1909)
SteinitzErnst (1871-1928)
BorelEmile (1871-1956)
BernsteinFelix (1878-1956)
HalmosPaul (1914-)
vi 0. IntroductionChapitre 1
Th´eorie na¨ıve des ensembles
1.1 Introduction
Les processus fondamentaux des math´ematiques sont a) introduire desobjetsditsmath´ematiques, b) d´emontrer que certainesrelationsentre ces objets sont vraies; on dit que ce sont desth´eor`emes. Les objets math´ematiques sont les nombres, les fonctions, les fonctions con- tinues, les fonctions d´erivables, les fonctions int´egrables, ... Les relations sont les assertions (qui peuvent donc ˆetre vraies ou fausses) qu"on peut formuler sur ces objets. Les vraies outh´eor`emessont celles qu"ond´emontre, c"est-`a-dire qu"on peut d´eduire logiquement d"un certain nombre d"axiomes. Les axiomes sont la formula-tion math´ematique des propri´et´es "´evidentes" des ˆetres auxquels on d´esire appliquer
les math´ematiques. Il ne faut pas voir dans ce qui pr´ec`ede des d´efinitions correctes du point de vue logique mais seulement une introduction imag´ee qui se pr´ecisera au fur et `a mesure des ´etudes. En fait, la logique math´ematique et la th´eorie formelle des ensembles constituent des domaines fort abstraits et demandent de longs d´eveloppements. Il n"est donc pas possible de les voir, en premi`ere candidature, comme introduction `a un cours d"analyse math´ematique. Cependant la logique math´ematique et les propri´et´es de la th´eorie des ensembles sont fondamentales en math´ematiques et tout au long de ce cours, nous allons les utiliser. La m´ethode utilis´ee consiste, si cela est possible, `a introduire les notions de mani`ere d´efinitive et d"en ´etudier les propri´et´es de mani`ere rigoureuse. En cas d"impossibilit´e, le fait est mentionn´e clairement, le vocabulaire correct est intro-duit et les r`egles d"utilisation sont pr´ecis´ees, r´eservant la justification `a une ´etude
ult´erieure.2 1. Th´eorie na¨ıve des ensembles
1.2 Quelques locutions et symboles
En ce qui concerne la logique math´ematique, nous allons nous limiter `a introduire un vocabulaire correct et les r`egles d"utilisation de ce vocabulaire.Soient des relationsR,S.
a) La "n´egation deR" est d´esign´ee g´en´eralement par l"assemblage "/R", c"est-`a- dire "Rsuperpos´e de/". On recourt aussi souvent `a des notations diff´erentes telle que "nonR", "¬R". Une relation est fausse si sa n´egation est vraie; elle est vraie si sa n´egation est fausse. b) "RouS" est une relation qui est vraie si l"une au moins des relationsR,S est vraie. Par exemple, siRest la relation "5 est strictement inf´erieur `a 6" et siSest la relation "5 est ´egal `a 6", la relation "RouS" est la relation "5 est inf´erieur ou ´egal `a 6" et est donc vraie. En logique et en math´ematique, le motouest toujours pris au sens non disjonctif. Il faut donc recourir `a une p´eriphrase pour traduire le ou disjonctif de la langue fran¸caise. Ces m´ethodes fondamentales de construction de relations permettent d"en intro- duire d"autres qui jouent un rˆole tout aussi important. a) "RetS" est une relation qui est vraie si les deux relationsR,Ssont vraies. En fait, "RetS" est d´efini comme ´etant la relation "RetS" = "¬(¬Rou¬S)". Par exemple, siRest la relation "rest un multiple de 2" et siSest la relation "rest un multiple de 3", la relation "RetS" est vraie si "rest un multiple de 6".Cela ´etant, on a
"¬(RetS)" = "¬Rou¬S" et "¬(RouS)" = "¬Ret¬S". b) "R?S" qui se lit "RimpliqueS" est la relation "R?S" = "Sou¬R".Elle exprime que siRest vrai, alorsSest vrai.
c) "R?S" qui se lit "Rsi et seulement siS" est la relation "R?S" = "R?SetS?R".1.3. Ensembles 3
1.3 Ensembles
1.3.1 D´efinition
En ce qui concerne les ensembles, nous allons recourir `a la "th´eorie na¨ıve des ensembles". Le point de vue na¨ıf consiste `a introduire la notion d"ensemble de mani`ere vague, puis d"en donner les propri´et´es sans d´emonstration. Cette mani`ere vague peut d´efinir un ensemble comme ´etant une notion fondamentale qui jouitde propri´et´es particuli`eres ou comme ´etant la collection des ˆetres math´ematiques
qui v´erifient une propri´et´e. (Remarquons de suite que cette deuxi`eme mani`ere de proc´eder n"est en aucune sorte une d´efinition: elle d´efinirait la notion "ensemble" par une autre "collection" qui n"a pas ´et´e d´efinie auparavant.) Cependant cette notion d"ensemble n"est pas que formelle; elle proc`ede en fait d"une base intuitive. Pour s"en assurer, il suffit de consid´erer l"ensemble des nombres r´eels, l"ensemble des nombres complexes, ... Un ensemble est d´etermin´e par ses ´el´ements qui sont donn´es indiff´eremment a) d"une mani`ere explicite, c"est-`a-dire par un symbole individuel tel que 1, 2, 3, ... b) par un symbole g´en´erique affect´e d"indices variant dans des ensembles: on trouve par exemplexj,xj,k, ... c) par un symbole g´en´erique seulement s"il n"est pas n´ecessaire de les distinguer.Un ensemble est donn´e indiff´eremment
a) de mani`ere explicite en donnant la liste compl`ete de ses ´el´ements plac´es entre ac- colades et s´epar´es par un symbole appropri´e (tr`es souvent une virgule): par exemple {1,2,3}. Bien sˆur, cette mani`ere explicite ne peutˆetre utilis´ee que pour les ensembles"finis"; aussi on accepte ´egalement de sugg´erer la liste des ´el´ements de l"ensemble en
recourant aux trois points de suspension. Ainsi,{a,b,...,z}repr´esente l"ensemble des lettres de l"alphabet et{1,2,3,...}repr´esente l"ensemble des nombres entiers sup´erieurs ou ´egaux `a 1. (Les trois points de suspension doivent ´evidemment avoir une signification claire.) Unsingletonest un ensemble contenant un et un seul ´el´ement. Siaest cet ´el´ement, le singleton peut donc ˆetre not´e{a}. b) en pla¸cant entre accolades le symbole g´en´erique suivi d"un symbole appropri´e(tr`es souvent ":") puis la propri´et´e qui caract´erise ses ´el´ements. On obtient de la
sorte une formule du genre{x:P}qui se lit "ensemble desxtels queP"; c) par un symbole (g´en´eralement une lettre majuscule) s"il n"est pas n´ecessaire d"en d´etailler les ´el´ements. En particulier, certains symboles r´ef`erent `a des ensembles pr´ecis; on trouve notamment: N= ensemble des nombres entiers sup´erieurs ou ´egaux `a 0, N