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Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome A Page 1
Note de cours rédigée par Simon Vézina
Chapitre 2.7 - La dynamique du mouvement circulaireLes forces de rôle centripètes
Une force centripète est le nom que porte une force ayant une composante orientée vers le centre
d'une trajectoire circulaire contribuant ainsi à produire une accélération centripète. Puisqu'une
force centripète n'est pas proprement une force mais plutôt un qualificatif/étiquette, on peut affirmer
qu'une force peut jouer le rôle de force centripète dans un problème de dynamique si elle est
correctement orientée. Voici quelques exemples de forces qui jouent le rôle de force centripète :Un satellite en orbite autour de la terre
Force centripète :
Force gravitationnelle
rr mMGF gˆ2-=v) gFv r vv Cav Un looping tête renversée dans un rollercoasterForce centripète :
Force gravitationnelle
gmFgvv=) et force normale ( nv) gmv r nv Cav vvUne balançoire (pendule)
Force centripète :
Tension (Tv) et force
gravitationnelle ( gmv)Force tangentielle :
Force gravitationnelle
gmv) gmv r Tv Cav Tav vv Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome A Page 2Note de cours rédigée par Simon Vézina
Situation 1 : Un bloc tournoie au bout d'une corde. On attache un bloc de 2 kg avec une corde à un
crochet fixé au centre d'une table à air (frottement négligeable). On fait tourner le bloc sur une
trajectoire circulaire dont le rayon est égal à 0,5 m et on observe que le bloc prend 3 secondes pour
faire un tour. On désire déterminer le module de la tension dans la corde. Schéma des forces : Solution graphique : (amFvv=∑) ac T r′ r mVue du haut (normale annule le poids)
Tv amv gmv nv amFvv=∑ où amgmnTvvvv=++Développons notre 2e loi de Newton selon l'axe r' afin d'obtenir une expression pour l'accélération
'ra sachant que le bloc demeure sur la trajectoire circulaire (Craa=') : ''rrmaF=∑ ⇒ 'rmaT= (Décomposition selon l'axe 'r) ⇒ r vmT2 = (Remplacer r vaa Cr 2 À partir de la définition de la vitesse, évaluons le module de la vitesse : t xv ( )Trvπ2= (Remplacer rxπ2=Δ et Tt=Δ)
( )35,02π=v (Remplacer valeurs numériques)
⇒ m/s05,1=v (Simplifier) Évaluons la tension dans la corde à partir de l'expression de la tensionT et le module de la vitesse v :
r vmT2 ( )5,005,12 2 =T (Remplacer valeurs numériques) ⇒ N41,4=T (Simplifier) Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome A Page 3Note de cours rédigée par Simon Vézina
Situation 2 : Un bloc entraîné par la rotation d'un disque. Un disque de métal de 50 cm de rayon tourne autour d'un axe vertical à 40 tours par minutes. Un petit bloc est situé à mi-chemin entre le centre et le bord du disque et il tourne avec le disque sans glisser. On désire déterminer le coefficient de frottement statique minimal qui doit exister entre le bloc et le disque pour rendre ce mouvement possible.Schéma des forces :
Solution graphique : (amFvv=∑)
Cav gmv
sfv r′ nv y r gmv sfv nv amv amFvv=∑ où amfgmnvvvv=++Développons la 2
e loi de Newton selon l'axe y afin d'évaluer une expression pour la force normale n : yymaF=∑ ⇒ 0=-mgn (0=ya) ⇒ mgn= (Isoler la normale)Développons la 2
e loi de Newton selon l'axe y afin d'évaluer une expression pour le coefficient sμ sachant que le bloc demeure sur sa trajectoire circulaire (Craa=') : ''rrmaF=∑ ⇒ r vmf s 2 = (Remplacer r vaa Cr 2 ⇒ ( )r mvn s 2 =μ (Remplacer ( )nffsssμ==max) ⇒ ( )r mvmg s2=μ (Remplacer mgn=) ⇒ grvs2=μ (Simplifier m et isoler sμ) On peut évaluer la vitesse à l'aide de la période et de la définition de la vitesse :1s666,0s60
min1 min tours40-=?=f (Fréquence) et s5,1666,011===fT (Période)Évaluons la vitesse :
t xv ( )5,12/5,022ππ==Trv ⇒ m/s05,1=v
Évaluons le coefficient :
grvs2=μ ⇒ () ( )( )2/5,08,905,1 2 =sμ ⇒ 45,0=sμ Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome A Page 4Note de cours rédigée par Simon Vézina
Situation A : Un bloc entraîné par la rotation d'un disque en accélération. Un disque de métal de
rayon R = 1,5 m initialement immobile tourne autour d'un axe vertical de plus en plus vite avec uneaccélération constante. Un bloc de 5 kg situé à une distance d = 0,2 m du bord du disque tourne avec le
disque sans glisser avec une accélération tangentielle de 0,2 m/s2. On désire évaluer le module du
frottement statique exercé par le disque sur le bloc après 4 secondes de rotation.Évaluons la vitesse tangentielle du bloc après 4 secondes à l'aide des équations du MUA :
tavv xxx+=0 ⇒ ()()()42,00+=xv ⇒ m/s8,0=xvÉvaluons l'accélération radiale
'ra requise pour permettre au bloc de demeurer sur la trajectoire circulaire (Craa=') :
Craa=' ⇒
=rva r2 ' (Remplacer r va C2=) ⇒ ( )xRvar-= 2 (Remplacer xRr-=) ( ) ( )2,05,18,0 2 -=ra (Remplacer les valeurs numériques) ⇒ 2 'm/s4923,0=ra (Évaluer l'accélération radiale)Puisque c'est uniquement le frottement qui permet de générer l'accélération tangentielle, évaluons la
partie tangentielle du frottement statique à partir de la 2e loi de Newton selon l'axe x : xxmaF=∑ ⇒ xxmaf= ⇒ ()()2,05=xf ⇒ N1=xfPuisque c'est uniquement le frottement qui permet de générer l'accélération radiale, évaluons la partie
radiale du frottement statique à partir de la 2e loi de Newton selon l'axe r' : ''rrmaF=∑ ⇒ ''rrmaf= ⇒ ()()4923,05'=rf ⇒ N4615,2'=rfPuisque les deux composantes du frottement
tangentiel et radial sont perpendiculaires, évaluons le module du frottement statique à l'aide du théorème de Pythagore : 2 '2 rxfff+= ⇒ ( ) ( )224615,21+=f ⇒ N657,2=f Décomposition de la force de frottement vue de haut : xfv vv r 'rav xav 'rfv 'rfv xfv θ fvTriangle
décomposition force de frottement : tan rxff=θ où Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome A Page 5Note de cours rédigée par Simon Vézina
Situation 3 : Un virage surélevé. Dans un virage de 50 m de rayon, on a relevé le bord extérieur d'une
piste de course afin que la chaussée fasse un angle de 20o avec l'horizontale. On désire calculer le
module maximal de la vitesse à laquelle une voiture de 1200 kg peut négocier le virage sans déraper. Il
y a un coefficient de frottement statique de 0,8 entre les pneus et la chaussée.Schéma de la situation :
v rVue de haut Vue de côté
mg f n y r′ aC aC vSchéma des forces :
mg f n r′ y n cosθ n sinθ f sinθθ f cosθ
Solution graphique :
gmv sfv amv nv amFvv=∑ où amfgmnsvvvv=++Appliquons la 2
e loi de Newton selon l'axe y afin d'évaluer la normale n: yymaF=∑ ⇒ ()()ymamgfn=--θθsincos (Remplacer ∑yF) ⇒ ()()0sincos=--mgfnθθ (Remplacer 0=ya) ⇒ ()()()0sincos=--mgnnsθμθ (Remplacer ( )nffsssμ==max) ⇒ ()()[]mgns=-θμθsincos (Factoriser n) ⇒ ( ) ( )θμθsincoss mgn-= (1) (Isoler n) ( ) ( ) ( )°-°=20sin8,020cos8,91200n (Remplacer valeurs numériques) ⇒ N17656=n (Calcul) (P.S. N11760=>mgn)Appliquons la 2
e loi de Newton selon l'axe r' afin d'évaluer la vitesse sous la forme de 2v : ''rrmaF=∑ ⇒ ()()'sincosrmanf=+θθ (Remplacer ∑'rF) =+rvmnf 2 sincosθθ (Remplacer r vaa Cr 2 ⇒ ( ) ( )( )θθsincos2nfm rv+= (2) (Isoler 2v) Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome A Page 6Note de cours rédigée par Simon Vézina Remplaçons maintenant le frottement dans l'expression
(2) lorsque le frottement est statique maximale et évaluons la vitesse maximale de la voiture sans déraper : ( ) ( )( )θθsincos2nfm rv+= ⇒ ( ) ( ) ( )( )θθμsincos2nnm rv s+= (Remplacer ( )nffsssμ==max) ⇒ ( ) ( )( )θθμsincos2+=sm rnv (3) (Factoriser n) ( )( ) ( ) ( )( )°+°=20sin20cos8,0120050176562v (Remplacer valeurs numériques) ⇒ 7,8042=v (Calcul) ⇒ m/s37,28=v (Choisir la valeur positive) ⇒ km/h1,102=v (Expression en km/h)Équation générale :
( ) ( )θμθθθμsincossincos 2 ss grv-+= (À partir de (3) et (1))Exercices
2.7.1 Une trajectoire le long d'une table horizontale. On attache un bloc de 2 kg avec une corde
à un crochet fixé au centre d'une table à air (frottement négligeable). On fait tourner le bloc sur une
trajectoire circulaire dont le rayon vaut 0,5 m. (a) Si le bloc fait 10 tours par minute, quelle est la
tension dans la corde? (b) Si la corde peut supporter une tension maximale de 5 N avant de se rompre,
quel est le nombre maximal de tours par minute que peut faire le bloc?2.7.3 La tension au point le plus haut et au point le plus bas. Une balle de 0,5 kg attachée à une
corde de masse négligeable tourne sur un cercle vertical de 50 cm de rayon. Au point le plus haut du
cercle, elle se déplace à 2,44 m/s; au point le plus bas du cercle, elle se déplace à 5,06 m/s. Calculez
le module de la tension dans la corde à ces deux endroits.2.7.11 Le rayon de l'orbite géostationnaire. Un satellite de communication géostationnaire tourne
autour de la Terre dans le plan de l'équateur avec une période de 24h : ainsi, il demeure toujours au-
dessus du même point du globe. Quel est le rayon de son orbite? (La masse de la Terre est égale à
kg1098,524Terre×=m.)
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome A Page 7Note de cours rédigée par Simon Vézina
Solutions
2.7.1 Une trajectoire le long d'une table horizontale. On attache un bloc de 2 kg avec une corde à un
crochet fixé au centre d'une table à air (frottement négligeable). On fait tourner le bloc sur une
trajectoire circulaire dont le rayon vaut 0,5 m. (a) Si le bloc fait 10 tours par minute, quelle est la
tension dans la corde? (b) Si la corde peut supporter une tension maximale de 5 N avant de se rompre,
quel est le nombre maximal de tours par minute que peut faire le bloc?Circonférence de la trajectoire :
()m14,35,022===ππrCPériode du mouvement :
1tour167,060
10 60min1* min -===ss nbf ⇒ ( )s6167,011===fT