[PDF] Chapitre 27 – La dynamique du mouvement circulaire - Physique

L'accélération d'un véhicule est en effet égale à la différence entre sa vitesse initiale, ou vitesse de départ (notée v1) et sa vitesse d'arrivée v2 en m/s. Le tout est divisé par la durée t de cette accélération en secondes. La formule de calcul de l'accélération est ainsi : a = (v1?v2) / t.
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L'accélération d'un véhicule est en effet égale à la différence entre sa vitesse initiale, ou vitesse de départ (notée v1) et sa vitesse d'arrivée v2 en m/s. Le tout est divisé par la durée t de cette accélération en secondes. La formule de calcul de l'accélération est ainsi : a = (v1?v2) / t.
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Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome A Page 1

Note de cours rédigée par Simon Vézina

Chapitre 2.7 - La dynamique du mouvement circulaire

Les forces de rôle centripètes

Une force centripète est le nom que porte une force ayant une composante orientée vers le centre

d'une trajectoire circulaire contribuant ainsi à produire une accélération centripète. Puisqu'une

force centripète n'est pas proprement une force mais plutôt un qualificatif/étiquette, on peut affirmer

qu'une force peut jouer le rôle de force centripète dans un problème de dynamique si elle est

correctement orientée. Voici quelques exemples de forces qui jouent le rôle de force centripète :

Un satellite en orbite autour de la terre

Force centripète :

Force gravitationnelle

rr mMGF gˆ2-=v) gFv r vv Cav Un looping tête renversée dans un rollercoaster

Force centripète :

Force gravitationnelle

gmFgvv=) et force normale ( nv) gmv r nv Cav vv

Une balançoire (pendule)

Force centripète :

Tension (Tv) et force

gravitationnelle ( gmv)

Force tangentielle :

Force gravitationnelle

gmv) gmv r Tv Cav Tav vv Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome A Page 2

Note de cours rédigée par Simon Vézina

Situation 1 : Un bloc tournoie au bout d'une corde. On attache un bloc de 2 kg avec une corde à un

crochet fixé au centre d'une table à air (frottement négligeable). On fait tourner le bloc sur une

trajectoire circulaire dont le rayon est égal à 0,5 m et on observe que le bloc prend 3 secondes pour

faire un tour. On désire déterminer le module de la tension dans la corde. Schéma des forces : Solution graphique : (amFvv=∑) ac T r′ r m

Vue du haut (normale annule le poids)

Tv amv gmv nv amFvv=∑ où amgmnTvvvv=++

Développons notre 2e loi de Newton selon l'axe r' afin d'obtenir une expression pour l'accélération

'ra sachant que le bloc demeure sur la trajectoire circulaire (Craa=') : ''rrmaF=∑ ⇒ 'rmaT= (Décomposition selon l'axe 'r) ⇒ r vmT2 = (Remplacer r vaa Cr 2 À partir de la définition de la vitesse, évaluons le module de la vitesse : t xv ( )Trv

π2= (Remplacer rxπ2=Δ et Tt=Δ)

( )35,02

π=v (Remplacer valeurs numériques)

⇒ m/s05,1=v (Simplifier) Évaluons la tension dans la corde à partir de l'expression de la tension

T et le module de la vitesse v :

r vmT2 ( )5,005,12 2 =T (Remplacer valeurs numériques) ⇒ N41,4=T (Simplifier) Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome A Page 3

Note de cours rédigée par Simon Vézina

Situation 2 : Un bloc entraîné par la rotation d'un disque. Un disque de métal de 50 cm de rayon tourne autour d'un axe vertical à 40 tours par minutes. Un petit bloc est situé à mi-chemin entre le centre et le bord du disque et il tourne avec le disque sans glisser. On désire déterminer le coefficient de frottement statique minimal qui doit exister entre le bloc et le disque pour rendre ce mouvement possible.

Schéma des forces :

Solution graphique : (amFvv=∑)

Cav gmv

sfv r′ nv y r gmv sfv nv amv amFvv=∑ où amfgmnvvvv=++

Développons la 2

e loi de Newton selon l'axe y afin d'évaluer une expression pour la force normale n : yymaF=∑ ⇒ 0=-mgn (0=ya) ⇒ mgn= (Isoler la normale)

Développons la 2

e loi de Newton selon l'axe y afin d'évaluer une expression pour le coefficient sμ sachant que le bloc demeure sur sa trajectoire circulaire (Craa=') : ''rrmaF=∑ ⇒ r vmf s 2 = (Remplacer r vaa Cr 2 ⇒ ( )r mvn s 2 =μ (Remplacer ( )nffsssμ==max) ⇒ ( )r mvmg s2=μ (Remplacer mgn=) ⇒ grvs2=μ (Simplifier m et isoler sμ) On peut évaluer la vitesse à l'aide de la période et de la définition de la vitesse :

1s666,0s60

min1 min tours40-=?=f (Fréquence) et s5,1666,011===fT (Période)

Évaluons la vitesse :

t xv ( )5,12/5,022

ππ==Trv ⇒ m/s05,1=v

Évaluons le coefficient :

grvs2=μ ⇒ () ( )( )2/5,08,905,1 2 =sμ ⇒ 45,0=sμ Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome A Page 4

Note de cours rédigée par Simon Vézina

Situation A : Un bloc entraîné par la rotation d'un disque en accélération. Un disque de métal de

rayon R = 1,5 m initialement immobile tourne autour d'un axe vertical de plus en plus vite avec une

accélération constante. Un bloc de 5 kg situé à une distance d = 0,2 m du bord du disque tourne avec le

disque sans glisser avec une accélération tangentielle de 0,2 m/s2. On désire évaluer le module du

frottement statique exercé par le disque sur le bloc après 4 secondes de rotation.

Évaluons la vitesse tangentielle du bloc après 4 secondes à l'aide des équations du MUA :

tavv xxx+=0 ⇒ ()()()42,00+=xv ⇒ m/s8,0=xv

Évaluons l'accélération radiale

'ra requise pour permettre au bloc de demeurer sur la trajectoire circulaire (

Craa=') :

Craa=' ⇒ 

=rva r2 ' (Remplacer r va C2=) ⇒ ( )xRvar-= 2 (Remplacer xRr-=) ( ) ( )2,05,18,0 2 -=ra (Remplacer les valeurs numériques) ⇒ 2 'm/s4923,0=ra (Évaluer l'accélération radiale)

Puisque c'est uniquement le frottement qui permet de générer l'accélération tangentielle, évaluons la

partie tangentielle du frottement statique à partir de la 2e loi de Newton selon l'axe x : xxmaF=∑ ⇒ xxmaf= ⇒ ()()2,05=xf ⇒ N1=xf

Puisque c'est uniquement le frottement qui permet de générer l'accélération radiale, évaluons la partie

radiale du frottement statique à partir de la 2e loi de Newton selon l'axe r' : ''rrmaF=∑ ⇒ ''rrmaf= ⇒ ()()4923,05'=rf ⇒ N4615,2'=rf

Puisque les deux composantes du frottement

tangentiel et radial sont perpendiculaires, évaluons le module du frottement statique à l'aide du théorème de Pythagore : 2 '2 rxfff+= ⇒ ( ) ( )224615,21+=f ⇒ N657,2=f Décomposition de la force de frottement vue de haut : xfv vv r 'rav xav 'rfv 'rfv xfv θ fv

Triangle

décomposition force de frottement : tan rxff=θ où Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome A Page 5

Note de cours rédigée par Simon Vézina

Situation 3 : Un virage surélevé. Dans un virage de 50 m de rayon, on a relevé le bord extérieur d'une

piste de course afin que la chaussée fasse un angle de 20o avec l'horizontale. On désire calculer le

module maximal de la vitesse à laquelle une voiture de 1200 kg peut négocier le virage sans déraper. Il

y a un coefficient de frottement statique de 0,8 entre les pneus et la chaussée.

Schéma de la situation :

v r

Vue de haut Vue de côté

mg f n y r′ aC aC v

Schéma des forces :

mg f n r′ y n cosθ n sinθ f sinθ

θ f cosθ

Solution graphique :

gmv sfv amv nv amFvv=∑ où amfgmnsvvvv=++

Appliquons la 2

e loi de Newton selon l'axe y afin d'évaluer la normale n: yymaF=∑ ⇒ ()()ymamgfn=--θθsincos (Remplacer ∑yF) ⇒ ()()0sincos=--mgfnθθ (Remplacer 0=ya) ⇒ ()()()0sincos=--mgnnsθμθ (Remplacer ( )nffsssμ==max) ⇒ ()()[]mgns=-θμθsincos (Factoriser n) ⇒ ( ) ( )θμθsincoss mgn-= (1) (Isoler n) ( ) ( ) ( )°-°=20sin8,020cos8,91200n (Remplacer valeurs numériques) ⇒ N17656=n (Calcul) (P.S. N11760=>mgn)

Appliquons la 2

e loi de Newton selon l'axe r' afin d'évaluer la vitesse sous la forme de 2v : ''rrmaF=∑ ⇒ ()()'sincosrmanf=+θθ (Remplacer ∑'rF) =+rvmnf 2 sincosθθ (Remplacer r vaa Cr 2 ⇒ ( ) ( )( )θθsincos2nfm rv+= (2) (Isoler 2v) Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome A Page 6

Note de cours rédigée par Simon Vézina Remplaçons maintenant le frottement dans l'expression

(2) lorsque le frottement est statique maximale et évaluons la vitesse maximale de la voiture sans déraper : ( ) ( )( )θθsincos2nfm rv+= ⇒ ( ) ( ) ( )( )θθμsincos2nnm rv s+= (Remplacer ( )nffsssμ==max) ⇒ ( ) ( )( )θθμsincos2+=sm rnv (3) (Factoriser n) ( )( ) ( ) ( )( )°+°=20sin20cos8,0120050176562v (Remplacer valeurs numériques) ⇒ 7,8042=v (Calcul) ⇒ m/s37,28=v (Choisir la valeur positive) ⇒ km/h1,102=v (Expression en km/h)

Équation générale :

( ) ( )θμθθθμsincossincos 2 ss grv-+= (À partir de (3) et (1))

Exercices

2.7.1 Une trajectoire le long d'une table horizontale. On attache un bloc de 2 kg avec une corde

à un crochet fixé au centre d'une table à air (frottement négligeable). On fait tourner le bloc sur une

trajectoire circulaire dont le rayon vaut 0,5 m. (a) Si le bloc fait 10 tours par minute, quelle est la

tension dans la corde? (b) Si la corde peut supporter une tension maximale de 5 N avant de se rompre,

quel est le nombre maximal de tours par minute que peut faire le bloc?

2.7.3 La tension au point le plus haut et au point le plus bas. Une balle de 0,5 kg attachée à une

corde de masse négligeable tourne sur un cercle vertical de 50 cm de rayon. Au point le plus haut du

cercle, elle se déplace à 2,44 m/s; au point le plus bas du cercle, elle se déplace à 5,06 m/s. Calculez

le module de la tension dans la corde à ces deux endroits.

2.7.11 Le rayon de l'orbite géostationnaire. Un satellite de communication géostationnaire tourne

autour de la Terre dans le plan de l'équateur avec une période de 24h : ainsi, il demeure toujours au-

dessus du même point du globe. Quel est le rayon de son orbite? (La masse de la Terre est égale à

kg1098,524

Terre×=m.)

Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome A Page 7

Note de cours rédigée par Simon Vézina

Solutions

2.7.1 Une trajectoire le long d'une table horizontale. On attache un bloc de 2 kg avec une corde à un

crochet fixé au centre d'une table à air (frottement négligeable). On fait tourner le bloc sur une

trajectoire circulaire dont le rayon vaut 0,5 m. (a) Si le bloc fait 10 tours par minute, quelle est la

tension dans la corde? (b) Si la corde peut supporter une tension maximale de 5 N avant de se rompre,

quel est le nombre maximal de tours par minute que peut faire le bloc?

Circonférence de la trajectoire :

()m14,35,022===ππrC

Période du mouvement :

1tour167,060

10 60
min1* min -===ss nbf ⇒ ( )s6167,011===fT

Vitesse tangentielle :

( )m/s524,0614,3===TCv

Accélération centripète :

22

2m/s549,05,0524,0===rvaC

(a) Tension dans la corde : ()()549,02===CCmaFT ⇒ N10,1=T

Vitesse maximale à 5 N de tension :

r vmmaFT CC 2 ( )m/s118,125,05===mTrv

Évaluer la période :

T

Cv= ⇒ ()

( )s810,2118,114,3===vCT (b) La fréquence :

1356,0810,211-===sTf ⇒ min

60356,0

mins s toursf?= ⇒ tours/min35,21min=fquotesdbs_dbs18.pdfusesText_24