Introduction : 1 La fonction Logarithme Décimal log x - Ducros Prof PDF La fonction logarithme décimale

La fonction logarithme décimale se note comme suit : log(x) = ln(x)/ln(10). Ses propriétés algébriques sont similaires à celles du logarithme népérien, noté lui, "ln". Pour tout x > 0 et pour tout y ? R, log(x) = y <=> x = 10^y ou encore log(10^y) = y.

Qu'est-ce que la fonction logarithme décimal ?

La fonction logarithme décimal transforme un produit en une somme, cela va permettre de simplifier les calculs. 1. Généralités a. Définition La fonction qui à tout nombre x strictement positif associe log x est appelée fonction logarithme décimal . Pour trouver des valeurs, il faudra utiliser la touche log de votre calculatrice. b.

Comment calculer les logarithmes ?

Sur la règle à calcul sont placés les logarithmes des nombres de 1 à 10. Pour effectuer le produit de x y = 436 × 1,63, on effectue, grâce à la règle à calcul, le produit 4,36 × 1,63 en ajoutant les longueurs correspondant à log (4,36) et log (1,63), on obtient environ 7,1.

Qu'est-ce que la fonction logarithme?

Comme on vient de le voir, la fonction logarithme est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Elle est donc très utile pour résoudre les équations comportant des puissances. Par exemple, la solution de l'équation est .

Comment déduire la valeur d'un logarithme ?

Les propriétés arithmétiques des logarithmes permettent de déduire la valeur de tout logarithme pourvu que soient connus les logarithmes de tous les nombres compris entre 1 et 10 (exclu). En effet, tout nombre x peut s'écrire sous la forme a × 10 n où a est un nombre compris entre 1 et 10 (exclu).

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314.02 : Fonctions logarithmes Fonctions 1-3

Analyse

Leçon 1 :

Les Fonctions Logarithmes

Introduction :

FH ŃOMSLPUH SURSRVH GH GpŃRXYULU SXLV GH PUMYMLOOHU VXU OHV GLIIpUHQPHV IRQŃPLRQV ORJMULPOPHV HQ O·RŃŃXUUHQŃH OHV IRQŃPLRQV

logarithme népérien et logarithme décimal (plus utilisé en physique).

I·pPXGH SRUPHUM HQPUH MXPUH VXU OHV GLIIpUHQPHV SURSULpPpV GH ŃHV IRQŃPLRQV MLQVL TXH VXU OHXUV YMULMPLRQV HP OHXUV PUMŃpVB

HO V·MSSXLHUM HQILQ VXU GHV H[HPSOHV GH OM YLH SURIHVVLRQQHOOH RX GHV H[HPSOHV GHV MXPUHV PMPLqUHV GMQs lesquelles on est

susceptible de retrouver de telles fonctions.

Les pré-requis sont pauvres PUMŃp G·XQH IRQŃPLRQ pPXGH G·XQH IRQŃPLRQ VHQV GH YMULMPLRQ"

1. La fonction Logarithme Décimal log x

e Activité 1 :

On se propose dans cette première activité de découvrir les premières propriétés ainsi que de tracer la fonction logarithme

décimal déterminée par la touche log de la calculatrice.

1. Utiliser la touche évoquée pour remplir le tableau suivant :

x -15,5 -3 -1 0 0,2 0,5 1 10 15,2 100 1000 log (x)

2. Que remarque-t-on pour tous les nombres négatifs ?

3. Que remarque-t-on pour tous les nombres compris entre 0 et 1 ?

4. Que remarque-t-on pour tous les nombres supérieurs à 1 ?

5. Ecrire les nombres suivants en base 10 :

0= 10= 0,001= 0,01 = 0,1= 1000=

6. Placer les résultats trouvés par ordre croissant dans le tableau suivant :

x log (x)

7. Que remarque-t-on ? Compléter alors la phrase suivante :

Pour tout n entier relatif, log (10n) =

Important :

Les caractéristiques de la fonction logarithme décimal http://ducros.prof.free.fr

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Définition :

log de la calculatrice.

Propriétés :

1) La fonction logarithme Décimal vérifie :

Log (1) = 0

Pour tout n entier relatif, on a log (10n) = n

2) La fonction logarithme décimal est strictement croissante

sur son intervalle de définition, on a donc les propriétés suivantes : log a = log b équivaut à a = b log a < log b équivaut à a < b

3) On montre aussi facilement que cette fonction :

si 0 1 alors log x > 0 On en déduit la représentation graphique suivante : e Activité 2 :

Dans cette deuxième activité, nous allons déterminer les principales propriétés de calculs de cette nouvelle fonction : le

Logarithme Décimal.

1) Remplir le tableau suivant :

a b a b log (a b) log a + log b 3 4 0,2 3

1,5 2,9

3 = 125

2) Calculer log (125) puis 3 log(5)

3) Calculer (2,6)4 puis log ((2,6)4) puis 4 log(2,6)

4) Quelle propriété de calcul pouvons nous alors écrire :

Propriétés Opératoires:

Quels que soient les nombres strictement positifs a et b, la fonction logarithme népérien vérifie :

log (ab) = log a + log b

De la même manière, on montre que :

log(a b )= log a - log b

Si a = 1, alors on a :

log (1 b ) = - log b Enfin pour tout entier n positif, négatif ou fractionnaire, on a : log (an) = n log a e Activité 3 : millième).

X = log (3

5) + log (10

Y = log (4

9) log (3

7) http://ducros.prof.free.fr

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2. La fonction Logarithme Népérien ln x

e Activité 4 : Tout réel strictement positif a un logarithme népérien. Pour obtenir le Logarithme Népérien ln de la calculatrice. x, le nombreln x log x . x = 0,4 x = 0,8 x = 2 x = 3 x = 4 x = 5

2) Que remarque-t-on ?

3) Compléter la proposition suivante :

Pour tout x > 0, on a Ln x = k

où k est un nombre strictement positif dont 2,303 est la valeur arrondie au millième.

Propriété Fondamentale:

Pour tout x > 0, on a Ln x = k log x

où k est un nombre strictement positif dont 2,303 est la valeur arrondie au millième. Comme k > 0, on en déduit immédiatement que : - le logarithme Népérien a le même sens de variation que le Logarithme Décimal.

- Le Logarithme Népérien a les mêmes propriétés opératoires que le Logarithme Décimal :

Ln (ab) = Ln a + Ln b

De la même manière, on montre que :

Ln (a b )=Ln a - Ln b

Si a = 1, alors on a :

Ln (1 b ) = - Ln b Enfin pour tout entier n positif, négatif ou fractionnaire, on a :

Ln (an) = n Ln a

Définition :

Ln de la calculatrice.

Propriétés :

1) La fonction logarithme Népérien vérifie :

Ln (1) = 0

2) La fonction logarithme Népérien est strictement

croissante sur son intervalle de définition, on a donc les propriétés suivantes :

Ln a = Ln b équivaut à a = b

Ln a < Ln b équivaut à a < b

3) On montre aussi facilement que cette fonction :

si 0 1 alors Ln x > 0 On en déduit la représentation graphique suivante :quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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Qu'est-ce que la fonction logarithme décimal ?

Comment calculer les logarithmes ?

Qu'est-ce que la fonction logarithme?

Comment déduire la valeur d'un logarithme ?

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Leçon 1 :

Les Fonctions Logarithmes

Introduction :

1. La fonction Logarithme Décimal log x

1. Utiliser la touche évoquée pour remplir le tableau suivant :

2. Que remarque-t-on pour tous les nombres négatifs ?

3. Que remarque-t-on pour tous les nombres compris entre 0 et 1 ?

4. Que remarque-t-on pour tous les nombres supérieurs à 1 ?

5. Ecrire les nombres suivants en base 10 :

0= 10= 0,001= 0,01 = 0,1= 1000=

6. Placer les résultats trouvés par ordre croissant dans le tableau suivant :

7. Que remarque-t-on ? Compléter alors la phrase suivante :

Pour tout n entier relatif, log (10n) =

Important :

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Définition :

Propriétés :

1) La fonction logarithme Décimal vérifie :

Log (1) = 0

Pour tout n entier relatif, on a log (10n) = n

2) La fonction logarithme décimal est strictement croissante

3) On montre aussi facilement que cette fonction :

Logarithme Décimal.

1) Remplir le tableau suivant :

1,5 2,9

3 = 125

2) Calculer log (125) puis 3 log(5)

3) Calculer (2,6)4 puis log ((2,6)4) puis 4 log(2,6)

4) Quelle propriété de calcul pouvons nous alors écrire :

Propriétés Opératoires:

De la même manière, on montre que :

Si a = 1, alors on a :

X = log (3

5) + log (10

Y = log (4

9) log (3

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2. La fonction Logarithme Népérien ln x

2) Que remarque-t-on ?

3) Compléter la proposition suivante :

Pour tout x > 0, on a Ln x = k

Propriété Fondamentale:

Pour tout x > 0, on a Ln x = k log x

Ln (ab) = Ln a + Ln b

De la même manière, on montre que :

Si a = 1, alors on a :

Ln (an) = n Ln a

Définition :

Ln de la calculatrice.

Propriétés :

1) La fonction logarithme Népérien vérifie :

Ln (1) = 0

2) La fonction logarithme Népérien est strictement

Ln a = Ln b équivaut à a = b

Ln a < Ln b équivaut à a < b

3) On montre aussi facilement que cette fonction :