[PDF] Fonction logarithme népérien

Propriété : La fonction logarithme népérien est dérivable sur 0;+????? et (lnx)' = 1 x . lnx ? lna x ? a = 1 a . 2) Variations Propriété : La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur 0;+????? .
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Propriété : La fonction logarithme népérien est dérivable sur 0;+????? et (lnx)' = 1 x . lnx ? lna x ? a = 1 a . 2) Variations Propriété : La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur 0;+????? .
Les limites du logarithme népérien existent en 0 et + ? (plus l'infini): La fonction logarithme népérien admet une limite en 0 qui est égale à - ?. lim x ? 0 ln (x) = - ? La fonction logarithme népérien admet une limite en + ? qui est égale à + ?.
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terminale-specialite_main_N_policesOk.pdf 28014/04/2020 16:23 terminale-specialite_main_N_policesOk.pdf 28114/04/2020 16:23

On aĴ ribue l'invention des logarithmes au mathématicien écossais John Napier. Il les a intro-

duits par des considérations cinématiques. Henry Briggs en comprend l'intérêt pour eě ectuer de

grands calculs et introduit les logarithmes décimaux. Ils sont utilisés pour des unités de mesures

en physique comme le décibel ou pour la notion de ph en chimie. Cependant, en mathématiques, les logarithmes népériens restent les plus utiles. ■Un mathématicien Henry Briggs est un mathématicien et astronome anglais qui travaille à Londres puis Oxford. Dès qu'il apprend la découverte des logarithmes par John

Napier

en 1614, il se rend à Édimbourg où il rencontre Napier à deux reprises et le convainc d'adopter les logarithmes de base dix. Il a en eě et compris leur intérêt pour eě ectuer de grands calculs, si utiles en astronomie. Encore fallait-il dresser des tables donnant les logarithmes des nombres avec une grande précision. Il se lance dans ceĴ e tâche considérable. Il en publie une première avec six décimales en 1617, avec quatorze en 1624, suivie d'une table à quinze décimales pour les fonctions trigonométriques et ce, pour

chaque centième de degré !LE SAVIEZ-VOUS ?John Napier était aussi un théologien militant.

Protestant convaincu, il écrivit un ouvrage, réimprimé une trentaine de fois, qui condamnait le catholicisme qu'il craignait de voir réintroduit dans son pays. Il ne doutait pas que son nom resterait à la postérité, non pas pour les logarithmes mais pour la profondeur de sa pensée religieuse.Chapitre 9

Fonction

logarithme népérien

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COMP´ETENCES

?les incontournables ?Maˆıtriser les r`egles de calcul avec la fonction logarithme ?pour calculer la somme, la diff´erence de logarithmes ?pour calculer le logarithme d"un produit, d"un quotient, d"une puissance ?D´emontrer des ´egalit´es comprenant des logarithmes ?en utilisant les propri´et´es alg´ebriques de la fonction logarithme ?en utilisant une m´ethode classique ?Calculer les limites de fonctions comportant des logarithmes ?en utilisant les limites de la fonction logarithme ?en utilisant la croissance compar´ee ?en transformant l"expression de la fonction ?R´esoudre des ´equations et in´equations comportant des logarithmes ?en utilisant les propri´et´es alg´ebriques de la fonction logarithme ?en utilisant sa stricte croissance. ?au moyen d"un changement de variable ´Etudier une fonction s"exprimant `a l"aide de la fonction logarithme n´ep´erien ?en utilisant les propri´et´es de la fonction logarithme ?en utilisant la m´ethode de d´erivation ?en utilisant une fonction auxiliaire ?et plus si affinit´es ?Utiliser les propri´et´es de la fonction logarithme n´ep´erien ?pour ´etudier des suites ?pour d´ecouvrir la constante d"Euler ??274CHAPITRE 9

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nn 274 CHAPITRE 9

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terminale-specialite_main_N_policesOk.pdf 28214/04/2020 16:23 ??R´esum´e de cours ?D´efinition et r`egles de calcul

D´efinition

Depuis la sp´ecialit´e suivie en classe de premi`ere, nous savons que la fonction exponentielle est

strictement croissante et continue surR. De plus lim x→-∞ e x = 0 et lim x→+∞ e x =+∞,donc`a l"aide

du th´eor`eme des valeurs interm´ediaires dans le cas d"une fonction strictement monotone, pour tout

r´eelx?]0,+∞[, il existe une unique solution r´eelle de l"´equatione y =xd"inconnuey. Th´eor`eme-D´efinition 9.1.-Pour tout r´eelx>0, l"´equation exp(y)=x, d"inconnuey?R,

admet une solution r´eelle unique, appel´eelogarithme n´ep´eriendexet not´ee ln(x). On note

ln :R →R x?→ln(x) la fonction qui `atoutr´eel strictement positif associe son logarithme n´ep´erien. Attention!ln(x)estd´efini seulement pourx>0 mais il peut prendre toute valeur r´eelle.

Proposition 9.2.-Ainsi, par d´efinition

•Pour tout r´eelx>0,e

ln(x) =x•Pour tout r´eelx?R,ln(e x )=x.

Vocabulaire :exp :R→R

etln :R →Rsont des fonctionsr´eciproquesl"unedel"autre.

R`egles de calcul avec la fonction logarithme

Th´eor`eme 9.3." Relation fonctionnelle fondamentale ".

Pour tout (x,y)?R

×R ,ln(x×y) = ln(x) + ln(y) Retenez que :le logarithme d"un produit de nombres strictement positifs est la somme de leurs

logarithmes.`A partir de cette relation fondamentale, les autres r`egles de calcul se d´eduisent ais´ement :

Th´eor`eme 9.4.- R`egles de calcul pour les logarithmes -.

•ln(1) = 0 et ln(e)=1.

•Pour tout (x,y)?R

×R ,ln(x×y) = ln(x) + ln(y).

•Pour tout (x,y)?R

×R ,ln(x/y) = ln(x)-ln(y).

•Pour toutx?R

,ln(1/x)=-ln(x).

•Pour toutx?R

,n?Z,ln(x n )=nln(x).

•Pour toutx?R

,ln(⎷x)= 1 2 ln(x).

FONCTION LOGARITHME N´EP´ERIEN275??

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FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN 275 nn

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?´Etude de la fonction logarithme n´ep´erien D´eriv´ee et sens de variation de la fonction logarithme Th´eor`eme 9.5."La fonction ln est d´erivable (et donc continue) surR et

Pour tout r´eelx?R

,ln (x)=1 x.

Proposition 9.6.-Par cons´equent, ln :R

→Rest une fonction strictement croissante :

•Pour tout (x,y)?R

×R ,ln(x) = ln(y)?x=y.

•Pour tout (x,y)?R

×R ,ln(x)0?x>1etln(x)<0?x<1.

Limites de la fonction logarithme

Th´eor`eme 9.7." Limites de la fonction logarithme ".Pour tout r´eela>0

•lim

x→0 ln(x)=-∞ •lim x→a ln(x) = ln(a)•lim x→+∞ ln(x)=+∞ Th´eor`eme 9.8.- Croissances compar´ees -.Pour tout entier naturelnnon nul

•lim

x→+∞ ln(x) x n =0•lim x→0 x n ln(x)=0 `A l"aide de la d´eriv´ee de la fonction ln en 1, on obtient la limite suivante :

Th´eor`eme 9.9.- Comportement en 1

•lim

x→0 ln(1 +x) x=1•limx→1 ln(x) x-1=1 ??276CHAPITRE 9

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nn 276 CHAPITRE 9

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Tableau de variations et graphe

x0+∞ ln (x)= 1 x ln(x) €L"axe des ordonn´ees est asymptote verticale `ala courbeC ln repr´esentative de la fonction logarithme n´ep´erien.

•La tangente `aC

ln en1apour´equationy=x-1.

•La tangente `aC

ln au pointe,apour´equationy=x/e.

123450

-1 -21 2 C ln O e Les courbes repr´esentatives des fonctions ln et exp sont sym´etriques par rapport `alapremi`ere bissec- trice, la droite d"´equationy=x.

Pour tout couple (x,y)?R

×R,ona:

M(x, y)?C

ln ?y=ln(x)?x=e y ?M(y, x)?C exp

1234-1-20

-1 -21 234
y=x C ln C exp xy yx M(x,y

M(y,x)

O y x

D´eriv´ee d"une fonction compos´ee

Proposition 9.10."Soituune fonction d´erivable sur un intervalleIet `a valeurs strictement positives. La fonctionfd´efinie parf(x) = ln(u(x)) est d´erivable surI,et:

Pour tout r´eelx?I,f

(x)=u (x) u(x)

En cons´equence, siuest une fonction d´erivable strictement positive sur un intervalleIalors les

fonctionsuet ln(u)ontmˆeme sens de variation surI.

FONCTION LOGARITHME N´EP´ERIEN277??

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FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN 277 nn

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??D´emonstrations D´eriv´ee de la fonction logarithme n´ep´erien Th´eor`eme 9.5."La fonction ln est d´erivable (et donc continue) surR et

Pour tout r´eelx?R

,ln (x)=1 x.

D´emonstration?

Conform´ement au programme, nous admettons que la fonction ln est d´erivable sur ]0;+∞[entantque

fonction r´eciproque de la fonction exponentielle.

Comme les fonctions ln et exp sont r´eciproques l"une de l"autre, on a : pour tout r´eelx>0,f(x)=e

ln(x) La fonction ln ´etant d´erivable sur ]0;+∞[,fest aussi d´erivable sur ]0;+∞[.

Pour tout r´eelx>0, calculonsf

(x)dedeuxmani`eres diff´erentes : ?f (x)=ln (x)×e ln(x) =xln (x) ?on a aussif(x)=xdoncf (x)=1

On en d´eduit que pour tout r´eelx>0,xln

(x) = 1 , par suite ln (x)=1 x.

Croissances compar´ees

Th´eor`eme 9.8." Croissances compar´ees ".Pour tout entier naturelnnon nul

•lim

x→+∞ ln(x) x n =0•lim x→0 x n ln(x)=0

D´emonstration?

Conform´ement au programme, nous ne traitons ici que les cas o`un=1.Lecasg´en´eral s"en d´eduit ais´ement

par comparaison.

•Montrons que lim

x→+∞ ln(x) x=0.Pour´etudier cette limite, nous allons effectuer une composition de limite.

Posonsy(x)=ln(x)-----→

x→+∞ +∞. Or par croissances compar´ees entreyete y au voisinage de +∞,nous savons que y e y y→+∞

0. Par composition, il s"ensuit quey(x)

e y(x) x→+∞

0, c"est-`a-dire que

ln(x) e ln(x) x→+∞ 0.

Commee

ln(x) =x, nous avons bien ´etabli que lim x→+∞ ln(x) x=0.

•Montrons que lim

x→0 xln(x)=0.Pour´etudier cette limite, nous allons utiliser une composition de limites.

Posonsy(x)=ln(x)---→

x→0 -∞. Or nous savons (th´eor`eme 6.7)queye y x→-∞ 0. Par composition des limites, il en r´esulte quey(x)e y(x) x→0

0, c"est-`a-dire quexln(x)---→

x→0 0.?

278CHAPITRE 9

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nn 278 CHAPITRE 9

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D´emonstration?

terminale-specialite_main_N_policesOk.pdf 28714/04/2020 16:23 ??Approfondissements, algorithmes ?Les fonctions puissances d"exposantαr´eel D´efinition des fonctions puissances d"exposantα

D´efinition :Soitαun r´eel. La fonctionp

est la fonction d´efinie surR par : p (x)=x =exp(αln(x))

Remarque :pourn?N,onsaitque:ln(x

n )=nln(x). En prenant l"exponentielle, on retrouve : x n

=exp(nln(x)). La d´efinition des puissances d"exposant r´eel prolonge celle des puissances d"ex-

posant entier.

Exemple :

x=x 1 2 Propri´et´es des fonctions puissances d"exposantα

Th´eor`eme 9.11.-Soit (α,β)?R

2 ;(x,y)?R ×R

•ln(x

)=αln(x) •x ×x =x •x ×y =(x×y)

•(x

=x •x x =x •x y x y terminale-specialite_main_N_policesOk.pdf 28714/04/2020 16:23

•Par d´efinitionx

=pα(x)=exp(αln(x)). En prenant le logarithme, il vient ln(x )=αln(x). •x ×x =exp(αln(x))×exp(βln(x)) = exp(αln(x)+βln(x)) = exp((α+β)ln(x)) =x •x ×y =exp(αln(x))×exp(αln(y)) = exp(αln(x)+αln(y)) = exp(α(ln(x)+ln(y))).

Comme ln(x)+ln(y)=ln(x×y), il vientx

×y =exp(αln(x×y)) = (x×y) •x ×y =exp(βln(x )) = exp(βαln(x)) =x x x =exp(αln(x))×exp(-βln(x)) = exp(αln(x)-βln(x)) = exp((α-β)ln(x)) =x x y =exp(αln(x))×exp(-αln(y)) = exp(αln(x)-αln(y)) = expÄαlnÄ x y x y Th´eor`eme 9.12.- Limites des fonctions puissances -.Soitα?R etx?R ?Siα>0 alors lim x→0 x = 0 et lim x→+∞ x ?Siα<0 alors lim x→0 x =+∞et lim x→+∞ x =0

D´emonstration?

´Ecrivonsx

=exp(αln(x)). Les limites se d´eduisent de celles de l"exponentielle, au moyen du changement de variabley(x)=αln(x).

Lorsqueα>0

Limite en 0 :

y(x)----→quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47