Fonctions discontinues

D´edou

Mars 2011

N´egation

Tout ´enonc´eAa unen´egationAqui est l"´enonc´e "oppos´e". Si un ´enonc´e est vrai, sa n´egation est fausse, et vice-versa. En particulier la n´egation de l"´enonc´e Vrai est l"´enonc´e Faux. Pour les autres ´enonc´es, il y a d"autres r`egles qui permettent de calculer la n´egation. On va faire le tour de ces r`egles.

N´egation d"une ´egalit´e

La n´egation dex=yest not´eex?=y.x=y=y?=x.Icixetydoivent ˆetre du mˆeme type (r´eel, fonction, ...).

Exemple

La n´egation de

⎷x

2=xest⎷x

2?=x.

N´egation d"une in´egalit´e

La n´egation dex≤yestyN´egation d"un "et" ou d"un "ou" La n´egation deAetBestAouB:AetB=AouB.Et vice-versa : AouB=AetB.IciAetBdoivent ˆetre des ´enonc´es.

Exercice

Exo 1

Calculer la n´egation deAet(BouC).

N´egation d"un "implique"

L"´enonc´eA?Best un raccourci pourAouB.La n´egation deA?Best doncAetB:A?B=AetB.Exo 2

Calculer la n´egation de (AouB)?(AetB).

N´egation d"un "quelque soit"

La n´egation de?x?E,Aest?x?E,A:?x?E,A=?x?E,A.Et vice-versa : ?x?E,A=?x?E,A.Exemple La n´egation de?x?R,f(x) =f(-x) est?x?R,f(x)?=f(-x).Exo 3

Calculer la n´egation de?x?R,f(x)≤M.

Fonction discontinue

D´efinition

La fonctionf:R→Rest discontinue ena, si elle n"y est pas continue, c"est-`a-dire si ???R?+,?η?R?+,?x?R,|x-a|< ηet|f(x)-f(a)| ≥?.Rappel de la continuit´e ???R?+,?η?R?+,?x?R,|x-a|< η? |f(x)-f(a)|< ?.

Exemple

Montrons que la fonction "partie enti`ere"Eest discontinue en 1.Rappel de la discontinuit´e ???R?+,?η?R?+,?x?R,|x-1|< ηet|E(x)-1| ≥?.On doit donner?et on donne?:=12 . Et apr`es, pour toutη, on doit donnerx, on donnex:= 1-η2 . Et on doit v´erifier |x-1|< ηet|E(x)-1| ≥?. Les deux sont faciles (bien voir queE(x) est n´egatif ou nul).

On aurait mˆeme pu prendre?:= 1.

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