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Dév elo ppe r un produit.
Ch VII Distributivité simple. Distributivité double.
I dentités remarquables.
1. Développer un produit
Un rectangle mesure 5 cm sur 2 cm.
On augmente sa longueur de a cm.
Quelle est l'aire A du nouveau rectangle ?
A = 2 x ( 5 + a )
On distribue le facteur 2
A = 10 + 2 x a
A = 10 + 2a
Donc 2 x ( 5 + a ) = 10 + 2a
pr odui t somme
Un produit est composé de facteurs.
Une somme est composée de termes.
Définition : Développer un produit, c'est le transformer en une somme.
2. Savoir développer à l'aide de la distributivité simple.
A) La distributivité simple
a ( b + c ) = ab + ac Pour multiplier une somme par un nombre, on multiplie chacun de ses termes par ce nombre.
B) Exemples
A = - 4 ( 3x - 8 ) B = 3x ( - 2x + 5 )
= - 12x + 32 = - 6x 2 + 15x
C = ( 2x + 1 ) - ( - 3x + 9 ) D = 4y
2 - 5 ( 2y - 7 ) = 1( 2x + 1 ) - 1( - 3x + 9 ) = 4y 2 - 10y + 35 = 2x + 1 + 3x - 9 = 5x - 8
C) Application au calcul mental
12 x 2,5 = 12 x ( 2 + 0,5 )
= 12 x 2 + 12 x 0,5 = 24 + 6 = 30 4,75 1,9 2,5 2 5 2 5 a 4,75 1,9 2,5 2 5 2 5 a
10 2a
3. Savoir développer à l'aide de la distributivité double.
Quelle est l'aire A du rectangle ?
A = ( a + 2 ) ( b + 3 )
On distribue a et ensuite on distribue 2
A = ab + 3a + 2b + 6
A) La distributivité double
( a + b ) ( c + d ) = ac + ad + bc + bd Pour multiplier deux sommes entre elles, on multiplie chaque terme de la 1ère somme par chaque terme de la 2 ème somme.
B) Exemples
A = ( 3x + 5 ) ( 2x - 4 ) B = ( - 7a + 1,5 ) ( - 2a - 10 )
A = 6x
2 - 12x + 10x - 20 B = 14a 2 + 70a - 3a - 15
A = 6x
2 - 2x - 20 B = 14a 2 + 67a - 15
C = ( 2x + 5 )
2
D = ( 5 a - 8 )
2 C = ( 2x + 5 ) x ( 2x + 5 ) D = ( 5a - 8 ) x ( 5a - 8 )
C = 4x
2 + 10x + 10x + 25 D = 25a 2 - 40a - 40a + 64
C = 4x
2 + 20x + 25 D = 25a 2 - 80a + 64 E = ( 3y + 6 ) ( 3y - 6 ) F = ( 5w - 7 ) ( 5w + 7 )
E = 9y
2 - 18y + 18y - 36 F = 25w 2 + 35w - 35w - 49
E = 9y
2 - 36 F = 25 w 2 - 49 Nous allons voir trois formules qui permettent de développer plus rapidement les quatre derniers calculs ci-dessus. Ces formules s'appellent les identités remarquables.
4. Les trois identités remarquables.
A) Carré d'une somme de deux termes
On augmente le côté d' un carré.
Quelle est l'aire A du nouveau carré ?
A = ( a + b )
2
A = ( a + b ) ( a + b )
A = a 2 + ab + ba + b 2 A = a 2 + ab + ab + b 2 A = a 2 + 2ab + b 2 a a b b a 2 abb 2 ab 3 4 1,5 2,2 a b 2 5 a c d ab3a2b6 3 2 ( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 c arr é de la somme carré double carré de 2 termes du 1er terme produit du 2ème terme
B) Carré d'une différence de deux termes
On diminue le côté d' un carré.
Quelle est l'aire A du nouveau carré ?
A = ( a - b )
2
A = ( a - b ) ( a - b )
A = a 2 - ab - ba + b 2 A = a 2 - ab - ab + b 2 A = a 2 - 2ab + b 2 ( a + b ) 2 = a 2 - 2ab + b 2 c arr é de la différence carré double carré de 2 t ermes du 1er terme produit du 2ème te rm e C) Produit de la somme de deux termes par leur différence.
Soit le produit A = ( a + b ) ( a - b )
Utilisons la distributivité :
A = ( a + b ) ( a - b )
A = a 2 - ab + ba - b 2 A = a 2 - b 2 ( a + b ) ( a - b ) = a 2 - b 2 pr oduit de la somme de 2 termes carré carré pa r leur différence du 1er terme du 2ème te rme Remarque : ( a + b ) x ( a - b ) = ( a - b ) x ( a + b ) Dans une multiplication, on peut changer l'ordre des facteurs. 3 1,5 1,5 a b 2 5 a a b (a - b) 2 b 2
5. Savoir utiliser une identité remarquable pour développer.
A) Développer un produit littéral
• ( x + 3 ) 2 = x 2 + 2 x x x 3 + 3 2
1 ère i den tité avec a = x et b = 3
= x 2 + 6x + 9 • ( 4y + 5 ) 2 = (4y) 2 + 2 x 4y x 5 + 5 2
1 ère identité avec a = 4y et b = 5
= 16y 2 + 40y + 25 ne pas oublier les ( ) autour de 4y 1 2 x + 4 ) 2 1 2 x) 2 + 2 x 1 2 x x 4 + 4 2
1 ère identité avec a =
1 2 x et b = 4 1 4 x 2 + 4x + 16 • ( x - 8 ) 2 = x 2 - 2 x x x 8 + 8 2
2 ème identité avec a = x et b = 8
= x 2 - 16x + 64 • ( 3y - 7 ) 2 = (3y) 2 - 2 x 3y x 7 + 7 2
2 ème identité avec a = 3y et b = 7
= 9y 2quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47
calculs révisions identités remarquables - FR Maths