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Probabilités et statistique Travaux dirigés - univ-rennes1fr UFR MathématiquesProbabilités et statistiquepour la théorie de l"information

Travaux dirigés

Rennes

Septembre 2019Master de mathématiques

La notation utilisée dans ce recueil d"exercices est celle introduite dans le cours dont les notes sont accessibles à l"URL : Ces notes sont mises à jour au fur et mesure de la progression dans le semestre. Des informations utiles relatives à l"organisation du cours sont disponibles au journal de bord :

Les quatre types de dénombrement

1.

On rappel leles quatr etypes de dénombr ement:

W

1=fw= (w1,...,wn);wi2 f1,...,Mg,i=1,...,ng.

cardW1=Mn. -ntirages discernables à choisir parmiMpossibilités sans remise (02=fw= (w1,...,wn);wi2 f1,...,Mg,i=1,...,n;wi6=wj,pouri6=jg. cardW2=M!(Mn)!. W

3=fw= [w1,...,wn];wi2 f1,...,Mg,i=1,...,n;wi6=wj,pouri6=jg.

cardW3=M!n!(Mn)!=CnM. -ntirages indiscernables à choisir parmiMpossibilités avec remise (n>0,M> 0) : W

4=fw= [w1,...,wn];wi2 f1,...,Mg,i=1,...,ng.

cardW4=Cnn+M1.

Pour chacun de ces quatres types,

(a) démont rerles formules des car dinaux, (b) donner un ex empleconcr etd"application.

Événements et ensembles

2. Sous quelles conditions les événements AetBsatisfont l"égalitéA=A[B? L"éga- litéA=A\B? 3. Soit (Ai)i2Iune collection d"ensembles. Déterminer([i2IAi)cet(\i2IAi)c. 4. La figur esuivante décrit u ncir cuitélectrique entr eles points 1 et 2 comportant les fusiblesa,b1,b2etb3qui peuvent tomber en panne.1ab 2b 1b 32
NoterA(resp.Bi) les événements : " le fusiblea(resp. le fusiblebi) est en panne », pouri=1,2,3 etCl"événement "le courant passe de 1 à 2». DéterminerCcetCen termes des événementsA,B1,B2etB3. 1

5.Une cible est constituée de 10 disques concent riquesde rayons rk,k=1,...,10.

L"événementAksignifie " le projectile a touché la cible à l"intérieur du disque de rayonrk», pourk=1,...,10. Quelle est la signification des événementsBetC définis par

B=[5k=1AketC=\10k=1Ak?

6.

20 chevaux sont au départ d"une course. T rouverle nombr ede tier cés,de quartés,

de quintés dans l"ordre et dans le désordre.

Probabilités élémentaires

7. Un ouvrage de 4 volumes est placé dans un or drealéatoir esur le rayonnage d"une bibliothèque. Quelle est la probabilité que les 4 volumes soient placés dans l"ordre (ascendant ou descendant)?Rép. : 1/12. 8. T outesles faces d"un cube en bois sont peintes. Ensuite le cube est découpé (selon des plans parallèles à ses faces) en 1000 cubes identiques. Un petit cube est choisi au hasard; quelle est la probabilité qu"il comporte exactement 2 faces peintes?

Rép. : 0,096.

9. Dix livr essont placés dans un or drealéatoir esur un rayonnage. Quelle est la pr o- babilité que trois livres spécifiques se retrouvent côte-à-côte?Rép. : 1/15. 10. Un sac contient 5 bâtonnets de longueurs 1, 3, 5, 7 et 9. On en extrait 3. Quelle est la probabilité que l"on puisse construire un triangle ayant ces bâtonnets comme côtés?Rappel : La longueur d"un côté d"un triangle ne peut pas excéder la somme des longueurs des autres côtés. 11. Supposons qu"un entier entr e1 et 1000 est choisi au hasar d.Quelle est la pr obabilité que les 2 derniers digits décimaux de son cube soient 1?Suggestion : Il n"est pas nécessaire de consulter une table des cubes des tous les entiers entre 1 et 1000. Rép. : 0,01. 12. Quelle est la pr obabilitéqu"au moins deux étudiants suivant un cours auquel N étudiants sont inscrits (N2) aient leur anniversaire le même jour? On néglige les années bissextiles et on suppose que tous les jours de l"année sont équiprobables en tant que jour de naissance. 13. Une tombola comporte Mtickets dontn(avecM2n) sont gagnants. Une per- sonne achètentickets. Quelle est la probabilité pour qu"elle gagne au moins un lot? 14. On gagne (au pr emierrang) une l oteriesi l"on coche 6 bons numér osparmi les 49 que comporte une grille. Quelle est la probabilité de gagner cette loterie au premier rang?

Algèbres, tribus, espaces probabilisés

15. Soit Aune algèbre surW(fini) et soientA,BetCtrois événements quelconques de A. Exprimer les événements suivants. ParmiA,B,C (a)Aseul se produit, 2 (b)AetBse produisent etCne se produit pas, (c) les tr oisévé nementsse pr oduisent, (d) l"u nau moins des événements se pr oduit, (e) au moin sdeux des événements se pr oduisent,quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2