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UTCPS91
Examen M´edian P14
Dur´ee : 2h, documents autoris´es : AUCUN
CHAQUE EXERCICE DOIT
ˆETRE R´EDIG´E SUR UNE COPIE S´EPAR´EE!Exercice 1. Tir ballistique sans et avec frottement (≈7 points)Un obus sph´erique de masse m assimil´e `a un point mat´erielMest lanc´e dans l"air avec une vitesse
?v0depuis le pointO, origine du cart´esien(O,?ex,?ey,?ez)li´e au r´ef´erentiel terrestre suppos´e galil´een.
La vitesse?v0fait un angleαavec l"horizontaleOxdans le planOxz. Le champ de pesanteur?gest suppos´e uniforme etOzest la verticale ascendante.Pour l"instant on n´eglige tout frottement.
a.D´eterminer l"´equation de la trajectoire.b.D´eterminer la fl`eche de la trajectoire (altitude maximale atteinte). Pour quel angleαla fl`eche
est-elle maximale?c.D´eterminer la port´eeD(distance entreOet le point de chute sur le plan horizontalz= 0). Pour
quel angleαla port´ee D est-elle maximale? Calculer pour cet angle la port´ee et la fl`eche de la trajectoire.Donn´ees :g= 9,81m.s-2,??v0?= 30m.s-1etm= 1kg.
On suppose, cette fois, que l"obus est soumis `a une force de frottement (traduisant la r´esistance de
l"air) du type:?F=-λ?ven plus de son poids. d.D´eterminer les composantes(vx(t),vz(t))du vecteur vitesse?v. e.D´eterminer les composantes(x(t),z( t))du vecteur position--→OM. f.Montrer que la trajectoire tend vers une asymptote verticale donton pr´ecisera la position. g.D´eterminer et calculer la fl`eche de la trajectoire. h.Tracer l"allure de la trajectoire. Donn´ees :g= 9,81m.s-2,??v0?= 30m.s-1,m= 1kg,α= 45degr´es etλ= 0,1kg.s-1. 1UTCPS91
Exercice 2. Electromagn´etisme (≈7 points) Les 3 probl`emes d"´electromagn´etisme qui suivent sontind´ependants. Les Probl`emes 1 et 2 sont trait´es directement sur la feuille d"´enonc´e. Dans tous les cas, les forces de frottement sont n´eglig´ees.Probl`eme 1 :
La trajectoire parabolique repr´esent´eefigure 1peut correspondre au d´eplacement : i) d"un ´electron dans un champ ´electrique uniforme. ii) d"un ´electron dans un champ magn´etique uniforme. iii) d"un proton dans un champ ´electrique uniforme. iv) d"un proton dans un champ magn´etique uniforme. a.Entourer la (ou les) r´eponse(s) possible(s).b.Repr´esentersur la figure 1la force subie par la particule en un point quelconque de la trajectoire.
c. Ecrire ci-dessousl"expression vectorielle de la force responsable de cette trajectoire parabolique :
F=Figure1 - Trajectoire parabolique.
Probl`eme 2 :
La trajectoire parabolique repr´esent´eefigure 2peut correspondre au d´eplacement : i) d"un ´electron dans un champ ´electrique uniforme. ii) d"un ´electron dans un champ magn´etique uniforme. iii) d"un proton dans un champ ´electrique uniforme. iv) d"un proton dans un champ magn´etique uniforme. a.Entourer la (ou les) r´eponse(s) possible(s).b.Repr´esentersur la figure 2la force subie par la particule en un point quelconque de la trajectoire.
c. Ecrire ci-dessousl"expression vectorielle de la force responsable de cette trajectoire circulaire :
F= 2UTCPS91
Figure2 - Trajectoire circulaire.
Probl`eme 3 :
Dans le r´ef´erentiel du laboratoireOxyz, on consid`ere une particule de massemet de chargeq, ayant
une vitesse initiale nulle et se trouvant au pointO`a l"instantt= 0. On ´etablit `a cet instant deux
champs uniformes et ind´ependants du temps :?B=B?e zet?E=E?ey. a.Ecrire la formule de Lorentz donnant la force subie par la particulelorsqu"elle est soumise aux champs?Eet?B.b.Ecrire le PFD (Principe Fondamental de la Dynamique) appliqu´e `acette particule (n´egliger le
poids). c.En d´eduire le syst`eme d"´equations diff´erentielles suivantes :¨x=ωy
¨y=K-ωx
¨z= 0
avecKetωdeux constantes `a ´ecrire en fonction deq,m,EetB. d.Montrer que le mouvement de la particule se fait dans le planz= 0.e.Montrer que les solutions des deux premi`eres ´equations diff´erentielles coupl´ees sont :
x(t) =L(ωt-sin(ωt)) y(t) =L(1-cos(ωt)) avecLune constante `a ´ecrire en fonction deKetω.f.La trajectoire correspondant `a ces ´equations param´etriques est une cyclo¨ıde repr´esent´ee sur la
figure 3. Quelles sont les coordonn´ees du pointP(rep´er´e sur lafigure 3) en fonction deL? g.D´eterminer l"expression du vecteur vitesse?vde la particule. h.Repr´esenter sur lafigure 3le vecteur vitesse de la particule `a l"instantt=π/ω.i.D´eterminer l"expression de la norme de la vitesse de la particule. Pour quelles valeurs detla norme
est-elle maximum? j.Exprimer la valeur de la vitesse `a l"instantt=π/ωen fonction deLetωpuis en fonction deE etB.k.Mais au fait!... La trajectoire repr´esent´eefigure 3correspond-elle `a celle d"une charge positive
ou n´egative? (justifier tr`es bri`evement la r´eponse). 3UTCPS91
Figure3 - Cyclo¨ıde.
Exercice 3. Masse sur une tige oblique en rotation (≈6 points)Une tigeOPrigide est soud´ee sur un plateau tournant `a vitesse angulaireconstanteω. Cette tige
forme un angle constantαavec l"axe vertical. Un point mat´eriel de massempouvant glissersansfrottementest en ´equilibre sur la tige : la distance?--→OM?est constanteet on noted=?--→OM?.
a.D´eterminer le vecteur position--→OMdans la base cylindrique(?eρ,?eθ,?ez).
b.En d´eduire la vitesse et l"acc´el´eration dans la base cylindrique.c.En utilisant le principe fondamental de la dynamique dans le r´ef´erentiel terrestre suppos´e galil´een :
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