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Oraux 2
1 Sujet 1
SoitEun espace vectoriel de dimension finiensur la corpsK. Quels sont les endomorphismes deEdont le rang et la trace valent 1 ?
Solution:
D"apr`es le th`eor`eme du rang, puisque rg(f) = 1, ker(f) est un hyperplanH. Soit (e1,e2,...,en-1) une base de H, qu"on compl`ete parenen une baseB= (e1,e2,...,en-1,en) deE. Mat
B(f) =(
((((0...0a1
0...0a2............
0...0an)
))))et tr(f) =an= 1 alorsχf(X) =Xn-1(X-1), Spec(f) ={0,1} E f
0=H. Soitvune base de la droite vectorielleEf
1 alors Mat
B(f) =(
((((0...0 0
0...0 0
0...0 1)
))))etfest la projection sur la droiteEf
1= Vect(v) de
directionH.
2 Sujet 2
SoitA?Mn(C), nilpotente. Montrer queAn= 0
Solution:Aest nilpotente donc il existep?Ntel queAp= 0 Soitλ?Cune valeur propre deA.Xpest un polynˆome annulateur deAdoncλp= 0 et doncλ= 0. Donc Spec(A) ={0}. Le polynˆome caract´eristique deAest scind´e dansR[X] , donc est ´egal `aXncar 0 est sa seule racine. OrχAest un polynˆome annulateur deA, doncAn= 0 1
3 Sujet 3
CCP SoitA=(
(1 0 0 0 3-2
0 2-1)
Aest elle diagonalisable ? inversible ? orthogonale ?
Montrer queAest semblable `aB=(
(1 0 0 0 1 1
0 0 1)
CalculerAnpourn?N
Solution:
En d´eveloppant suivant la premi`ere colonne (ou premi`ere ligne), det(A)=? ????3-2 2-1? ????= 1?= 0 DoncAest inversible. Elle n"est pas orthogonale car ses colonnes ne forment pas une base orthonormale deR3.
A(x) =?
??????1-x0 0
0 3-x-2
0 2-1-x?
??????= (1-x)? ????3-x-2
2-1-x?
????= (1-x).[(x+1)(x-3)+4]
A(x) = (1-x).(x2-2x+ 1) =-(x-1)3
1 est valeur propre triple deA.
SiA´etant diagonalisable, il existerait une matriceP?GL3(R) telle que A=P.( (1 0 0 0 1 0
0 0 1)
).P-1=I3, ce qui n"est pas le cas. rg(A-1.I3) = rg( (0 0 0 0 2-2
0 2-2)
)= 1 donc dim(EA1) = 3-1 = 2
Recherchons les vecteurs propres deA.
SoitV=(
(x y z) )?R3.A.V= 1.V??(A-I3).V= 0 ??2y-2z= 0??y=z
Les deux vecteursV1=(
(1 0 0) )etV2=( (0 1 1) )forment une base deEA1. Il n"y a pas de troisi`eme vecteur propre ind´ependant puisqueAn"est pas diagonalisable. Pour obtenir la troisi`eme colonne deBrecherchons un vecteurV3=( (x y z) )deR3tel que A.V
3=V2+V3
A.V
3=V2+V3??(A-I3).V3=V2??(
(0 0 0 0 2-2
0 2-2)
(x y z) (0 1 1) ??2y-2z= 1
Prenons par exempley=12
etz= 0 2
AlorsV3=(
(0 12 0) Soitfl"endomorphisme canoniquement associ´e `a la matriceA.Aest la matrice defdans la base canonique (e1,e2,e3) deR3. PuisqueA.V1=V1, A.V2=V2etA.V3=V2+V3, la matrice defdans la base (V1,V2,V3) estB.
SoitP=(
(1 0 0 0 1 12
0 1 0)
)la matrice de passage de (e1,e2,e3) `a (V1,V2,V3). La formule de changement de base pour un endomorphisme nous donne :B=P-1.A.P doncAest semblable `aB.
4 Sujet 4
SoientAetBdeux matrices deMn(K).
A qeulle condition la matriceM=?A+B A-B
A-B A+B?
est elle inversible .
Solution:
En ajoutant `a une colonne une combinaison lin´eaire d"autres colonnes, on ne change pas le rang d"une matrice. Ajoutons `a lan+1 i`eme colonne deMla premi`ere, `a la (n+2)ela deuxi`eme, ..., `a la (n+k)e colonne lake:
M=?A+B A-B
A-B A+B?
-→?A+B2A
A-B2A?
a mˆeme rang que?A+B A
A-B A?
Soustrayons la (n+k)ecolonne `a lake:?A+B A
A-B A?
-→?B Aquotesdbs_dbs3.pdfusesText_6
PSI* ORAUX 2017 - PSI Fabert