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BANQUE PROBABILITÉS - mathscpgefileswordpresscom Banqueépreuveoral edemathématiquessess ion2018,CCP-MPMi seàjou r:18/09/17

BANQUEPROBABILITÉ S

EXERCICE95probabilités

Uneurnec ontientdeux boulesblanchesethu itboulesnoires.

1.Unjou eurtiresuccessiveme nt,a vecremise,cinqboulesdanscetteurne.

Pourchaque bouleblanchetirée, ilgagne2pointset pourchaquebouleno iretirée,ilperd3p oints. Onn oteXlavariab lealéatoirereprésen tantlenomb redeboulesblanchestirées. Onnote Ylenom bredepointsobtenu sparlejou eursurune partie.

2.Danscettequ estion,onsupp osequelescinqtiragessuc ces sifssefontsansremise.

(a)DéterminerlaloideX. (b)DéterminerlaloideY.

EXERCICE96probabilités

Onadm et,danscetexercic e,que:8q2N,

X k>q k q x kq convergeet8x2]1,1[, +1 X k=q k q x kq 1 (1x) q+1

Soitp2]0,1[etr2N

Ondé poseunebactériedansu neenceintef erméeàl'instantt=0(letemp sestexpriméen secondes).

Onen voieunrayonlaserpar seconde danscetteen ceinte. Lepre mierrayonlaserest envoyéàl'ins tantt=1. Labac tériealaprobabilitépd'êtretouchéeparl erayonlaser.

Lestirsde laser sontindé pendants.

Labac térienemeurtquelorsq u'elleaété touchéerfoisparlera yonlase r. SoitXlavariab lealéatoireégaleàlad uréedevie delabacté rie.

1.DéterminerlaloideX.

2.ProuverqueXadmetuneesp éranceetlacalculer.

EXERCICE97probabilités

Soit(X,Y)uncoupl edevariables aléa toiresàvaleursdansN 2 dontlaloiest donnéepar:

8(j,k)2N

2 ,P((X,Y)=(j,k))= (j+k) 1 2 j+k ej!k!

Lesvariable sXetYsont-ellesindépendantes?

2.ProuverqueE

2 X+Y existeetlacalculer.

EXERCICE98probabilités

Unesecré tairee

ff ectue,unepremièrefois ,unappelté léphoniqueversncorrespondantsdistincts.

Onadm etquelesnappelsconstituentnexpériencesindépendantesetque,pour chaqueappel,laprobabilité

d'obtenirlecorrespondant demandéestp(p2]0,1[). SoitXlavariab lealéatoirereprésen tantlenomb redecorrespondantsobtenus.

1.DonnerlaloideX.Justifier.

CCBY -NC-SA3.0FRPage26

Banqueépreuveoral edemathématiquessess ion2018,CCP-MPMi seàjou r:18/09/17

2.Lase crétairerappelleunesecon defois,danslesmême sconditions,c hacundesnXcorrespondantsqu'elle

n'apaspujo indreau cours delapremièreséried'a ppels.Onn oteYlavariab lealéatoirereprésen tantle

nombredepersonnesjoi ntes aucoursdelasecondeséri ed'appels. (b)ProuverqueZ=X+Ysuituneloi binomial edontondéter mineraleparamètre. ni ki n i k i n k (c)Déterminerl'espéranceet lavariancedeZ.

EXERCICE99probabilités

1.Rappelerl'inégalitédeBiena ymé-Tchebych ev.

2.Soit(Y

n )unesuit edevariables aléa toiresmutuellementindépendantes,demêmel oietadmettantun momentd'ordre2. OnposeS n n X k=1 Y k

Prouverque:8a2]0,+1[,P

S n n E(Y 1 >a 6 V(Y 1 na 2

3.Application

One ff ectuedestiragessu ccessifs,a vecremis e,d'unebouledansuneurnecontenant2boule srougeset3 boulesnoires. obtenuesresteracompriseentre0,35et0,45?

Indication:considérerlasuite(Y

i )deva riablesaléatoiresdeBernoullioù Y i mesurel'issuedu i

ème

tirage.

EXERCICE100probabilités

Soit2]0,+1[.

SoitXuneva riablealéatoirediscrèteàval eursdansN

Onsu pposeque8n2N

,P(X=n)= n(n+1)( n+2)

1.Décomposerenélémentssimplesla fractionrationne lleRdéfinieparR(x)=

1 x(x+1)( x+2)

2.Calculer.

3.ProuverqueXadmetuneesp érance,puislacalculer.

4.Xadmet-elleunev ariance?Justifier.

EXERCICE101probabilités

Dansunez onedésertique, unanimalerreen tretroispointsd'eauA,BetC.

Àl'instantt=0,ilsetrouveaupointA.

Quandilaépuis él'eau dup ointoùilsetrouve,ilparta vecéquip robabilitérejoin drel'undesde ux autres points

d'eau.quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2