Exercices sur les barycentres - SUJETEXA[PDF] barycentre formule
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Exercices sur le barycentreExercice 1 :Rappels sur les vecteursABCDest un quadrilatère quelconque,Ile milieu de [AD] etJcelui de [BC].1)Ecrire!IJcommelasommede!ABetdedeux autres vecteurs que l"on précisera.2)Décomposer le même!IJen utilisant!DC.3)En déduire que 2!IJ=!AB+!DC.Exercice 2 :Rappels sur les vecteursABCDest un parallélogramme de centreO,Iest le milieu de [AB] etJle point telque!DJ=!OC.1)Exprimer!OIen fonction de!BC.2)Justifier les égalité :!BC=!OD+!OC=!OJ.3)Quel théorème vous permet de conclure queO,IetJsont alignés?Exercice 3 :Rappels sur les vecteursABCest un triangle,Eest tel que!AE=13!BC,Iest tel que!CI=23!CBetFest telque!AF=13!AC. Démontrer queI,EetFsont alignés.Exercice 4 :Rappels sur les vecteursABCDest un parallélogramme,M,N,Qsont tels que :!DM=45!DA;!AN=34!AB;!CQ=23!CDLa parallèle à (MQ) menée parNcoupe (BC) enP. Il s"agit de trouver le coecientkde colinéarité tel que!BP=k!AD. Considérons le repère (A;!AB;!AD.1)Calculer les coordonnées des pointsM,NetQ.2)Justifier qyePa pour coordonnées (1;k).3)En déduire que les vecteurs!MQet!NPsont colinéaires et calculerk.paul milan1/819 avril 2011
exercicesExercice 5 :Rappels sur les vecteursSur la figure c-contre,Iest le milieu de[BC],JetKsont les points tels que :!AJ=13!ACet!AK=14!BCOn considère le repère (A;!AB;!AC.Calculer les coordonnées deI,JetKpuisprouver queI,JetKsont alignés.Exercice 6 :Barycentre de deux pointsAetBsont deux points tels queAB=6 cm. Construire (s"il existe) le barycentre de(A;), (B;) dans chacun des cas suivants :1)=4,=12)=2,=13)=2,=24)=110,=15Exercice 7 :Barycentre de deux pointsAetBsont deux points tels queAB=9 cm. Construire (s"il existe) le barycentre de(A;), (B;) dans chacun des cas suivants :1)=4,=52)=8,=53)=11,=24)=12,=125)=1,=56)=0,=2011Exercice 8 :Barycentre de deux pointsLes pointsAetBsont donnés etGest défini par la condition indiquée. Déterminerdeux réelettels queGsoit le barycentre de (A;), (B;).1)!AB=2!GB2)2!GB3!AB=!03)2!AB+!GA2!GB=!0paul milan2/819 avril 2011
exercicesExercice 9 :Barycentre de deux pointsPour les exercices suivants, les pointsA,BetCsont indiqués sur la figure. Dans lesdeux cas suivants, trouver deux réelsettels que :êAsoit le barycentre de (B;), (C;);êBsoit le barycentre de (A;), (C;);êCsoit le barycentre de (A;), (B;).1)2)Exercice 10 :Barycentre de trois pointsABCest un triangle de centre de gravitéG.G0est le symétrique deGpar rapport aumilieu de [BC].1)Prouver queGest le milieu de [G0A].2)Justifier que :!G0G=!G0B+!G0C3)Exprimer!G0Aen fonction de!G0Bet!G0Cpuis en déduire queG0est un barycentredeA,BetCaectés de coecients que l"on précisera.Exercice 11 :Barycentre de trois pointsABCest un triangle. Construire (s"il existe) le barycentreGde (A;), (B;), (C;
).Construire d"abord un barycentre de deux points, puis utiliser la règle d"associativité.1)=3,=2,
=12)=1,=1, =33)=12,=13, =164)=2,=1,=2Exercice 12 :Barycentre de trois pointsABCest un triangle;Iest le barycentre de (A;2), (B;1).Jcelui de (B;1), (C;2) etGle barycentre de (A;2), (B;1), (C;2). Le but de l"exercice est de localiserGà l"intersec-tion de deux droites.1)Quel théorème permet de justifier l"alignement deA,JetG, puis celui deC,IetG?2)En déduire queGest à l"intersection de (AJ) et de (CI). Placer alorsG.3)Démontrer que (BG) et (AC) sont parallèles.Exercice 13 :Barycentre de trois pointspaul milan3/819 avril 2011
exercicesABCest un triangle. Les pointsIetJsont repérés sur la figure ci-contre, dont lesgraduations sont régulières.Gest le milieude [CI]. Le but de l"exercie est de montrerqueA,GetJsont alignés.1)ExprimerIcomme un barycentre deAet deB, puisJcomme un barycentre deBetdeC.2)On noteG0le barycentre de (A;1), (B;2), (C;3). Quel théorème permet de justufierqueG0est le milieu de [IC]? En déduire deG0=G.3)Démontrer queA,GetJsont alignés.Exercice 14 :Barycentre de trois pointsABCest un triangle de centre de gravitéG. Le but de l"exercice est de déterminerl"ensembledes pointsMdu plan tels que le vecteurs!MA+!MB+!MCest colinéaireà!AB.1)Exprimer!MA+!MB+!MCen fonction de!MG.2)Justifier l"armation :"Dire queMappartient àéquivaut à dire que!GMest colinéaire à!AB"3)En déduireet le construire.Exercice 15 :Barycentre de trois pointsPour les exercices suivants, trouver trois réels,et
tels queGsoit le barycentre de(A;), (B;), (C; ).1)2)3)4)paul milan4/819 avril 2011exercicesExercice 16 :Barycentre denpointsPour les exercices suivants, justifier de l"existence du barycentreG, puis le construire.1)ABCDest un rectangle etGle barycentre de (A;1), (B;2), (C;2), (D;2).2)ABCDest un parallélogramme etGbarycentre de (A;2), (B;3), (C;2), (D;2).3)ABCDest un quadrilatère etGest le barycentre de (A;1), (B;3), (C;2), (D;2).Exercice 17 :Barycentre denpointsLa figure ci-contre indique uneconstruction du barycentreGde (A;1),(B;3), (C;1), (D;1). Justifier cette construc-tion.Exercice 18 :Barycentre denpointsABCDest un rectangle, construire le barycentreGde (A;), (B;), (C;
), (D;) danschacun des cas suivants :1)=2,=3, =1,=12)=3,=2, =1,=33)=18,=38,=14,=12Exercice 19 :Coordonnées du barycentre1)Placer les pointsA(1;3) etB(2;1).2)Calculer les coordonnées des pointsM, barycentre de (A;1), (B;3) etN, barycentrede (A;2), (B;1).3)Calculer le les coordonnées du milieuIde [AB].4)Trouver le réelktel que!MI=k!MN5)En déduire deux réelsettels queIsoit le barycentre de (M;), (N;).Exercice 20 :Coordonnées du barycentre1)Placer les pointsA(2;1),B(1;4) etC(3;2).2)Calculer les coordonnées du centre de gravitéGdu triangleABC.paul milan5/819 avril 2011
exercices3)Calculer les coordonnées deG0, barycentre de (A;2), (B;3), (C;1).4)les pointsO,GetG0sont-ils alignés?Exercice 21 :Ensemble de points[AB] est un segment de longueur 5 cm. On se propose de trouver l"ensembledespointMtels que :jj2!MA+3!MBjj=101)On poseGle barycentre de (A;2), (B;3). Réduire la somme 2!MA+3!MB.2)En déduire la nature de. Construire alors.Exercice 22 :Ensemble de pointsABCest un triangle rectangle isocèle enAtel queAB=4 cm. On se propose detrouver l"ensembledes pointsMtels que :jj !MA+!MB+2!MCjj=41)On poseGle barycentre de (A;1), (B;1), (C;2). Réduire la somme!MA+!MB+2!MC.2)En déduire la nature de.3)Montrer quepasse par le pointC. ConstruireGpuis.Exercice 23 :Ensemble de pointsABCest un triangle équilatéral de côté 5 cm.1)ConstruireG,barycentrede(A;1),(B;1),(C;1),etprouverqueABCGestunlosange.2)Quel est l"ensembledes pointsMtels que :jj!MA!MB+!MCjj=5p323)Vérifier que le milieu de [AC] appartient à. Tracer.Exercice 24 :Ensemble de pointsABCest un triangle rectangle enA,Iest le milieu de [BC],est le cercle de centreApassant parI.Gest le point diamétralement opposé àI.1)Prouver que le pointGest le barycentre de (A;4), (B;1), (C;1).2)Trouver deux réelsbetctels queAest le barycentre de (G;2), (B;b), (C;c).3)Quel est l"ensemble des pointsMdu plan tels que :jj2!MG+!MB+!MCjj=2jj!BCjjpaul milan6/819 avril 2011
exercicesExercice 25 :Centre d"inertiePour chacune des plaques homogènes suivantes, construire le centre d"inertie.Exercice 26 :Centre d"inertieUne plaque homogènePest constituéepar un carréOABCde côté 8 cm dont on aretiré le carréBIJKde côté 4 cm.Trouver la position du centre d"inertiede la plaque par deux méthodes.Exercice 27 :Centre d"inertieUne rondelle a la forme d"un disqueévidé suivant le schéma ci-contre pour le-quelOP=3OO0.1.Trouverlapositionducentred"inertieIde la rondelle évidée.2.On noteMla masse de la rondelleévidée. Quelle massemdoit-on pla-cerenPafinquel"ensembleconstituéde la rondelle et du point "massique"PaitOpour centre d"inertie?paul milan7/819 avril 2011
exercicesExercice 28 :Centre d"inertieOn considère une plaque homogènecomposée d"un carré de côté 10 cm sur-montéd"unrectangledehauteur10cmetdelongueur`(exprimée en cm) tel que`>10(figure ci-contre)Déterminer la longueur maximale`maxpourlaquellelaplaqueresteenéquilibresurla base [AB].paul milan8/819 avril 2011
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