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NOM : BARYCENTRES 1ère S
Exercice 1
ABCDest un quadrilatère etGest le barycentre de(A; 1),(B; 1),(C; 3)et(D; 3).
Construire le pointG. Expliquer.
IllustrationD. LE FUR 1/ 50
NOM : BARYCENTRES 1ère S
Exercice 2
ABCest un triangle.
1)Gest le barycentre de(A; 1),(B; 2)et(C; 3). Construire le pointG. Expliquer.
2)G0est le barycentre de(A; 1),(B; 3)et(C;3). Construire le pointG0. Expliquer.
3)Démontrer que(AG0)est parallèle à(BC).
IllustrationD. LE FUR 2/ 50
NOM : BARYCENTRES 1ère S
Exercice 3
Best le milieu de[AC].
Démontrer que le barycentre de(A; 1)et(C; 3)est confondu avec celui de(B; 2)et(C; 2).
IllustrationD. LE FUR 3/ 50
NOM : BARYCENTRES 1ère S
Exercice 4
Dans le triangleABC,Eest le milieu de[AB]etGest le barycentre de(A;2),(B;2)et(C; 15).
Démontrer queG,CetEsont alignés.
IllustrationD. LE FUR 4/ 50
NOM : BARYCENTRES 1ère S
Exercice 5
On considère un triangleABCet l"on désigne parGle barycentre de(A; 1),(B; 4)et(C;3).
1)Construire le barycentreIde(B; 4)et(C;3).
2)Montrer que!GA+!GI=!0.
En déduire la position deGsur(AI).
IllustrationD. LE FUR 5/ 50
NOM : BARYCENTRES 1ère S
Exercice 6
ABCest un triangle. On noteGle barycentre de(A; 2),(B; 1)et(C; 1). Le but de cet exercice est de déterminer la position précise du pointG.
1)SoitIle milieu de[BC]. Montrer que!GB+!GC= 2!GI.
2)En déduire queGest le barycentre deAetImunis de coefficients que l"on précisera.
3)Conclure.
IllustrationD. LE FUR 6/ 50
NOM : BARYCENTRES 1ère S
Exercice 7
Une balance est constituée d"une masseMet d"un plateau fixé aux extrémités d"une tige. Pour peser une masse
m, le vendeur place à une position précise un crochet sur la tige. Cette balance a l"avantage pour le commerçant
de ne pas manipuler plusieurs masses.
1)Pour chacun des cas suivants, où faut-il fixer le crochetGsur le segment[AB]pour réaliser l"équilibre?
(M= 2kg)On pourra reproduire ces schémas à l"échelle de son choix.
2)Le pointGest tel que!AG=23
!AB. Quelle est la massempesée? (M= 2kg)D. LE FUR 7/ 50
NOM : BARYCENTRES 1ère S
Exercice 8
ABCDest un quadrilatère. On noteGson isobarycentre. Le but de cet exercice est de préciser la position deG.
1)On noteIle milieu de[AB]etJle milieu de[CD].
Montrer queGest le barycentre deIetJmunis de coefficients que l"on précisera.
2)Conclure et faire une figure.
IllustrationD. LE FUR 8/ 50
NOM : BARYCENTRES 1ère S
Exercice 9
1)Placer dans un repère les pointsA(1 ; 2),B(3 ; 4)etC(2 ; 5).
SoitGle barycentre des points pondérés(A; 3),(B; 2)et(C;4).
2)Quelles sont les coordonnées deG? PlacerG.
3)La droite(BG)passe-t-elle par l"origine du repère? Justifier.
IllustrationD. LE FUR 9/ 50
NOM : BARYCENTRES 1ère S
Exercice 10
Étant donné un triangleABCetkun rél non nul donné, on définit les pointsDetEpar les relations :
!AD=k!ABet!CE=k!CA.
1)Faire une figure illustrant ces données lorsquek=13
, puis lorsquek=1.
2)Démontrer queDest le barycentre de(A; 1k)et(B;k).
3)Démontrer queEest le barycentre de(C; 1k)et(A;k).
4)En déduire que pour tout pointMdu plan, on a :
MD+!ME=!MA+!MC+k!CB= 2!MB0+k!B0C0
oùB0etC0sont les milieux respectifs de[AC]et[AB].
5)SoitIle milieu de[DE]. Déduire de la question précédente queI,B0etC0sont alignés.
IllustrationD. LE FUR 10/ 50
NOM : BARYCENTRES 1ère S
Exercice 11
ABCest un triangle. SoitGle barycentre de(A; 1),(B; 3)et(C;3). Démontrer que les droites(AG)et(BC)sont parallèles.
IllustrationD. LE FUR 11/ 50
NOM : BARYCENTRES 1ère S
Exercice 12
ABCest un triangle. On considère le barycentreA0de(B; 2)et(C;3), le barycentreB0de(A; 5)et(C;3) et le barycentreC0de(A; 5)et(B; 2). Démontrer que les droites(AA0),(BB0)et(CC0)sont concourantes. Indication : on pourra considérer le barycentreGde(A; 5),(B; 2)et(C;3).
IllustrationD. LE FUR 12/ 50
NOM : BARYCENTRES 1ère S
Exercice 13
ABCest un triangle de centre de gravitéG. On noteI,J,M,N,RetSles points définis par :!AI=13 !AB;!AJ=23 !AB; AM=13 !AC;!AN=23 !AC; BR=13 !BC;!BS=23 !BC. Démontrer que les droites(IS),(MR)et(NJ)sont concourantes enG.
IllustrationD. LE FUR 13/ 50
NOM : BARYCENTRES 1ère S
Exercice 14
SoitABCun triangle équilatéral de côté3cm.
1)Placer, en justifiant, le barycentreZde(A; 1),(B; 3)et(C;3).
2)Montrer que les droites(AZ)et(BC)sont parallèles.
IllustrationD. LE FUR 14/ 50
NOM : BARYCENTRES 1ère S
Exercice 15
SoitABCun triangle isocèle enAtel queBC= 8cmetBA= 5cm. SoitIle milieu de[BC].
1)Placer le pointFtel que!BF=13
!BAet montrer queFest le barycentre des pointsAetBpondérés par des réels que l"on déterminera.
2)Pétant un point du plan, réduire chacune des sommes suivantes :
12 !PB+12 !PC; !PA+ 2!PB; 2 !PB2!PA.
3)Déterminer et représenter l"ensemble des pointsMdu plan vérifiant :
12 !MB+12 !MC !MA+ 2!MB
4)Déterminer et représenter l"ensemble des pointsMdu plan vérifiant :
!NB+!NC
2!NB2!NA
IllustrationD. LE FUR 15/ 50
NOM : BARYCENTRES 1ère S
Exercice 16
SoitABCun triangle.Yest le milieu de[BC].
1)Placer, en justifiant, le barycentreUde(A; 4)et(C; 1)puis placer le barycentreEde(A; 4)et(B; 1).
2)SoitGle barycentre de(A; 4),(B; 1)et(C; 1). Montrer queGest aussi barycentre de(E; 5)et(C; 1).
3)Démontrer que les droites(EC),(AY)et(BU)sont concourantes.
IllustrationD. LE FUR 16/ 50
NOM : BARYCENTRES 1ère S
Exercice 17
Dans un repère(O;!i ;!j), placer les pointsA(2 ; 1),B(1 ; 5),C(5 ; 7)etG(1 ;52
1)Déterminer les coordonnés de l"isobarycentreIdes pointsBetC.
2)Déterminer les coordonnées du centre de gravitéHdu triangleABC.
3)Existe-t-il un réelktel queGsoit barycentre de(A; 1)et(B;k)? Justifier.
IllustrationD. LE FUR 17/ 50
NOM : BARYCENTRES 1ère S
Exercice 18
SoitABCun triangle etGun point vérifiant :
!AB4!GA2!GB3!GC=!0: Le pointGest-il le barycentre des points pondérés(A; 5),(B; 1)et(C; 3)? Justifier.
IllustrationD. LE FUR 18/ 50
NOM : BARYCENTRES 1ère S
Exercice 19
SoientAetBdeux points distincts etGle barycentre de(A;),(B;)avec+6= 0.
Démontrer l"équivalence :
G2[AB]()etsont de mêmes signes.
IllustrationD. LE FUR 19/ 50
NOM : BARYCENTRES 1ère S
Exercice 20
SoitABCDun carré etKle barycentre des points pondérés(A; 2),(B;1),(C; 2)et(D; 1). On noteIle barycentre des points pondérés(A; 2)et(B;1), etJcelui de(C; 2)et(D; 1).
1)PlacerIetJen justifiant.
2)Réduire l"écriture des vecteurs suivants :
2!KA!KBet2!KC+!KD.
En déduire queKest le barycentre de(I; 1)et(J; 3).
3)PlacerKen justifiant.
IllustrationD. LE FUR 20/ 50
NOM : BARYCENTRES 1ère S
Exercice 21
On considère un segment[AB]de médiatrice(d). SoientCetDdeux points de(d)etGl"isobarycentre deA,B,CetD.
Démontrer queGest sur(d).
IllustrationD. LE FUR 21/ 50
NOM : BARYCENTRES 1ère S
Exercice 22
A B C DI J GABCDest un quadrilatère.Gest le centre de gravité du triangleABC.IetJsont les milieux respectifs de[AB]et[BC].
Lest le barycentre de(A; 1)et(D; 3)etKcelui de
(C; 1)et(D; 3). Le but de l"exercice est de démontrer que les droites (IK),(JL)et(DG)sont concourantes. Pour cela, on utilisera le pointHbarycentre de(A; 1), (B; 1),(C; 1)et(D; 3).
1)Placer, en justifiant, les pointsLetK.
2)Démontrer queHest le barycentre deGetDmu-
nis de coefficients que l"on précisera.
3)Démontrer queHest le barycentre deJetLmu-
nis de coefficients que l"on précisera.
4)Démontrer queHest le barycentre deIetKmu-
nis de coefficients que l"on précisera.
5)Conclure.
IllustrationD. LE FUR 22/ 50
NOM : BARYCENTRES 1ère S
Exercice 23
ABCDEest une pyramide à base carréeBCDE.
SoitGl"isobarycentre deA,B,C,DetE.
On noteOle centre du carréBCDE, c"est-à-dire l"intersection des diagonales(CE)et(BD).
1)Démontrer queOest l"isobarycentre deBCDE.
2)Démontrer queGest le barycentre de(O; 4)et(A; 1).
3)SoitG1le centre de gravité du triangleABEetIle milieu de[CD]. Démontrer queGest sur(G1I).
Pour cet exercice, une figure est recommandée.
IllustrationD. LE FUR 23/ 50
NOM : BARYCENTRES 1ère S
Exercice 24
ABCest un triangle de centre de gravitéG.
On noteI,JetKles milieux respectifs de[BC],[AC]et[AB].
On définit les pointsP,Q,R,S,UetVpar :!AP=13
!AB;!AQ=23 !AB; AR=13 !AC;!AS=13 !AC; BU=13 !BC;!BV=23 !BC. On note :A0= (QU)\(SV);B0= (SV)\(RP);A0= (RP)\(QU).A B C P QR S U VG IJKA 0B
0C01)Démontrer queAQA0Sest un parallélogramme.
2)En déduire que!AA0= 2!AG, puis queGest le milieu de[AA0].
3)On démontre, de même, queGest le milieu de[BB0]et de[CC0]. Démontrer queGest le centre de gravité
du triangleA0B0C0
IllustrationD. LE FUR 24/ 50
NOM : BARYCENTRES 1ère S
Exercice 25
ABCDest un tétraèdre etGest le barycentre de(A; 4),(B; 1),(C; 1)et(D; 1). On noteHle centre de gravité du triangleBCD, c"est-à-dire l"isobarycentre deB,CetD.
1)Démontrer queGest le barycentre de(H; 3)et(A; 4).
2)Situer le pointGsur la droite(AH).
Pour cette figure, une figure est recommandée.
IllustrationD. LE FUR 25/ 50
NOM : BARYCENTRES 1ère S
Exercice 26
A B C P QR S U V
GABCest un triangle de centre de gravitéG.
On définit les pointsP,Q,R,S,UetVpar :!AP=13
quotesdbs_dbs5.pdfusesText_10