Exercices sur le barycentre

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Premi`ereSExercices sur le barycentre

Exercice 1 :

Rappels sur les vecteurs

ABCDest un quadrilatère quelconque,I

le milieu de [AD] etJcelui de [BC]. 1)

Ecrire !IJcommelasommede!ABetde

deux autres vecteurs que l"on précisera. 2)

Décomposer le même !IJen utilisant!DC.

En déduire que 2 !IJ=!AB+!DC.Exercice 2 :

Rappels sur les vecteurs

ABCDest un parallélogramme de centreO,Iest le milieu de [AB] etJle point tel que!DJ=!OC. 1)

Exprimer

!OIen fonction de!BC. 2)

Justifier les ég alité:

!BC=!OD+!OC=!OJ. 3) Quel théorème v ouspermet de conclure que O,IetJsont alignés?

Exercice 3 :

Rappels sur les vecteurs

ABCest un triangle,Eest tel que!AE=13

!BC,Iest tel que!CI=23 !CBetFest tel que !AF=13 !AC. Démontrer queI,EetFsont alignés.

Exercice 4 :

Rappels sur les vecteurs

ABCDest un parallélogramme,M,N,Qsont tels que : DM=45 !DA;!AN=34 !AB;!CQ=23 !CD La parallèle à (MQ) menée parNcoupe (BC) enP. Il s"agit de trouver le coecient kde colinéarité tel que!BP=k!AD. Considérons le repère (A;!AB;!AD. 1)

Calculer les coordonnées des points M,NetQ.

Justifier qye Pa pour coordonnées (1;k).

En déduire que les v ecteurs

!MQet!NPsont colinéaires et calculerk.paul milan1/819 a vril2011 exercicesPremi`ereSExercice 5 :

Rappels sur les vecteurs

Sur la figure c-contre,Iest le milieu de

[BC],JetKsont les points tels que : AJ=13 !ACet!AK=14 !BC

On considère le repère (A;!AB;!AC.

Calculer les coordonnées deI,JetKpuis

prouver queI,JetKsont alignés.Exercice 6 :

Barycentre de deux points

AetBsont deux points tels queAB=6 cm. Construire (s"il existe) le barycentre de (A;), (B;) dans chacun des cas suivants :

1)=4,=1

2)=2,=13)=2,=2

4)=110

,=15

Exercice 7 :

Barycentre de deux points

AetBsont deux points tels queAB=9 cm. Construire (s"il existe) le barycentre de (A;), (B;) dans chacun des cas suivants :

1)=4,=5

2)=8,=5

3)=11,=24)=12

,=12

5)=1,=5

6)=0,=2011

Exercice 8 :

Barycentre de deux points

Les pointsAetBsont donnés etGest défini par la condition indiquée. Déterminer deux réelettels queGsoit le barycentre de (A;), (B;). 1) !AB=2!GB2)2 !GB3!AB=!03) 2 !AB+!GA2!GB=!0paul milan2/819 a vril2011 exercicesPremi`ereSExercice 9 :

Barycentre de deux points

Pour les exercices suivants, les pointsA,BetCsont indiqués sur la figure. Dans les deux cas suivants, trouver deux réelsettels que :

êAsoit le barycentre de (B;), (C;);

êBsoit le barycentre de (A;), (C;);

êCsoit le barycentre de (A;), (B;).

1)2)

Exercice 10 :

Barycentre de trois points

ABCest un triangle de centre de gravitéG.G0est le symétrique deGpar rapport au milieu de [BC]. 1)

Prouv erque Gest le milieu de [G0A].

Justifier que : !G0G=!G0B+!G0C

Exprimer

!G0Aen fonction de!G0Bet!G0Cpuis en déduire queG0est un barycentre deA,BetCaectés de coecients que l"on précisera.

Exercice 11 :

Barycentre de trois points

ABCest un triangle. Construire (s"il existe) le barycentreGde (A;), (B;), (C; Construire d"abord un barycentre de deux points, puis utiliser la règle d"associativité.

1)=3,=2,

2)=1,=1,

=33)=12 ,=13 =16

4)=2,=1,

Exercice 12 :

Barycentre de trois points

ABCest un triangle;Iest le barycentre de (A;2), (B;1).Jcelui de (B;1), (C;2) etG le barycentre de (A;2), (B;1), (C;2). Le but de l"exercice est de localiserGà l"intersec- tion de deux droites. 1) Quel théorème permet de justifier l"alignement de A,JetG, puis celui deC,IetG? 2) En déduire que Gest à l"intersection de (AJ) et de (CI). Placer alorsG. 3) Démontrer que ( BG) et (AC) sont parallèles.

Exercice 13 :

Barycentre de trois pointspaul milan3/819 a vril2011 exercicesPremi`ereSABCest un triangle. Les pointsIetJ sont repérés sur la figure ci-contre, dont les graduations sont régulières.Gest le milieu de [CI]. Le but de l"exercie est de montrer queA,GetJsont alignés.1)Exprimer Icomme un barycentre deAet deB, puisJcomme un barycentre deBet deC. 2) On note G0le barycentre de (A;1), (B;2), (C;3). Quel théorème permet de justufier queG0est le milieu de [IC]? En déduire deG0=G. 3)

Démontrer que A,GetJsont alignés.

Exercice 14 :

Barycentre de trois points

ABCest un triangle de centre de gravitéG. Le but de l"exercice est de déterminer l"ensembledes pointsMdu plan tels que le vecteurs!MA+!MB+!MCest colinéaire

à!AB.

Exprimer

!MA+!MB+!MCen fonction de!MG. 2)

Justifier l"a rmation :

"Dire queMappartient àéquivaut à dire que!GMest colinéaire à!AB" 3)

En déduire et le construire.

Exercice 15 :

Barycentre de trois points

Pour les exercices suivants, trouver trois réels,et tels queGsoit le barycentre de (A;), (B;), (C; 1) 2)3) 4) paul milan4/819 a vril2011 exercicesPremi`ereSExercice 16 :

Barycentre denpoints

Pour les exercices suivants, justifier de l"existence du barycentreG, puis le construire.

1)ABCDest un rectangle etGle barycentre de (A;1), (B;2), (C;2), (D;2).

2)ABCDest un parallélogramme etGbarycentre de (A;2), (B;3), (C;2), (D;2).

3)ABCDest un quadrilatère etGest le barycentre de (A;1), (B;3), (C;2), (D;2).

Exercice 17 :

Barycentre denpoints

La figure ci-contre indique une

construction du barycentreGde (A;1), (B;3), (C;1), (D;1). Justifier cette construc- tion.Exercice 18 :

Barycentre denpoints

ABCDest un rectangle, construire le barycentreGde (A;), (B;), (C; ), (D;) dans chacun des cas suivants :

1)=2,=3,

=1,=1

2)=3,=2,

=1,=33)=18 ,=38 =14 ,=12

Exercice 19 :

Coordonnées du barycentre

Placer les points A(1;3) etB(2;1).

2) Calculer les coordonnées des points M, barycentre de (A;1), (B;3) etN, barycentre de (A;2), (B;1). 3) Calculer le les coordonnées du milieu Ide [AB]. 4)

T rouverle réel ktel que!MI=k!MN

5) En déduire deux réels ettels queIsoit le barycentre de (M;), (N;).

Exercice 20 :

Coordonnées du barycentre

Placer les points A(2;1),B(1;4) etC(3;2).

2) Calculer les coordonnées du centre de gra vitéGdu triangleABC.paul milan5/819 a vril2011 exercicesPremi`ereS3)Calculer les coordonnées de G0, barycentre de (A;2), (B;3), (C;1). 4) les points O,GetG0sont-ils alignés?

Exercice 21 :

Ensemble de points

[AB] est un segment de longueur 5 cm. On se propose de trouver l"ensembledes pointMtels que : jj2!MA+3!MBjj=10 1) On pose Gle barycentre de (A;2), (B;3). Réduire la somme 2!MA+3!MB. 2)

En déduire la nature de . Construire alors.

Exercice 22 :

Ensemble de points

ABCest un triangle rectangle isocèle enAtel queAB=4 cm. On se propose de trouver l"ensembledes pointsMtels que : jj !MA+!MB+2!MCjj=4 1) On pose Gle barycentre de (A;1), (B;1), (C;2). Réduire la somme!MA+!MB+ 2!MC. 2)

En déduire la nature de .

Montrer que passe par le pointC. ConstruireGpuis.

Exercice 23 :

Ensemble de points

ABCest un triangle équilatéral de côté 5 cm. 1) Construire G,barycentrede(A;1),(B;1),(C;1),etprouverqueABCGestunlosange. 2)

Quel est l"ensemble des pointsMtels que :

jj !MA!MB+!MCjj=5p3 2 3) Vérifier que le milieu de [ AC] appartient à. Tracer.

Exercice 24 :

Ensemble de points

ABCest un triangle rectangle enA,Iest le milieu de [BC],est le cercle de centreA passant parI.Gest le point diamétralement opposé àI. 1) Prouv erque le point Gest le barycentre de (A;4), (B;1), (C;1). 2) T rouverdeux réels betctels queAest le barycentre de (G;2), (B;b), (C;c). 3) Quel est l"ensemble des points Mdu plan tels que : jj2!MG+!MB+!MCjj=2jj!BCjjpaul milan6/819 a vril2011 exercicesPremi`ereSExercice 25 :

Centre d"inertie

Pour chacune des plaques homogènes suivantes, construire le centre d"inertie.Exercice 26 :

Centre d"inertie

Une plaque homogènePest constituée

par un carréOABCde côté 8 cm dont on a retiré le carréBIJKde côté 4 cm.

Trouver la position du centre d"inertie

de la plaque par deux méthodes.Exercice 27 :

Centre d"inertie

Une rondelle a la forme d"un disque

évidé suivant le schéma ci-contre pour le- quelOP=3OO0. 1.

T rouverlapositionducentred"inertie

Ide la rondelle évidée.

On note Mla masse de la rondelle

évidée. Quelle massemdoit-on pla-

cerenPafinquel"ensembleconstitué de la rondelle et du point "massique" PaitOpour centre d"inertie?paul milan7/819 a vril2011 exercicesPremi`ereSExercice 28 :

Centre d"inertie

On considère une plaque homogène

composée d"un carré de côté 10 cm sur- montéd"unrectangledehauteur10cmetde longueur`(exprimée en cm) tel que`>10 (figure ci-contre)

Déterminer la longueur maximale`max

la base [AB].paul milan8/819 a vril2011quotesdbs_dbs20.pdfusesText_26

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Barycentres : Résumé de cours et méthodes 1 Barycentre de