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Matrice d'une application linéaire Faculté des Sciences Économiques et Sociales - Université de Lille

Licence 3 SIAD

Algèbre linéaire

Matrice d"une application linéaire

M. Pelini, V. Ledda

2 janvier 2018

Table des matières1 Définitions1 Définitions2

1.1 L"ensembleMn;p1.1 L"ensembleMn;p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

1.2 Matrice d"une application linéaire1.2 Matrice d"une application linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

1.3 Exemples1.3 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

1.4 Que se passe-t-il si on change de base?1.4 Que se passe-t-il si on change de base?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

1.5 Bijection entreL(E;F) etMn;p1.5 Bijection entreL(E;F) etMn;p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

2 L"espace vectorielMn;p2 L"espace vectorielMn;p6

2.1 Addition de matrices2.1 Addition de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

2.2 Multiplication par un réel2.2 Multiplication par un réel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

2.3 L"espace vectorielMn;p2.3 L"espace vectorielMn;p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

3 Multiplication de matrices3 Multiplication de matrices7

3.1 Définition3.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

3.2 Recherche des coefficients de la matrice produit3.2 Recherche des coefficients de la matrice produit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

3.3 Exemple3.3 Exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

3.4 Propriétés3.4 Propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

3.5 Puissance d"une matrice carrée3.5 Puissance d"une matrice carrée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

3.6 Le produit matriciel est-il commutatif?3.6 Le produit matriciel est-il commutatif?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

3.7 Écriture matricielle d"une application linéaire3.7 Écriture matricielle d"une application linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

4 Rang d"une matrice4 Rang d"une matrice10

4.1 Définition4.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

4.2 Calcul du rang4.2 Calcul du rang. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

4.3 Transposition de matrices4.3 Transposition de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

Matrice d"une application linéaireChapitre 41 Définitions

1.1 L"ensembleMn;pDéfinition 1.On appelle matrice réelle ànlignes,pcolonnes un ensemble denpnombres réels donnés sous

la forme d"un tableau.

Une telle matrice est dite de taille(n;p).M =

0

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB@a

11a1j::: a1n:::::::::

::: aij::: a n1anj::: ann1

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCA ième ligne

jème colonne Remarque 1.On noteaijle terme situé à l"intersection de la ligneiet de le colonnej. On donne toujours l"indice de ligne puis l"indice de colonne.

La matrice M sera noté de manière abrégée M = (aij)16i6n;16j6pou, plus simplement, M = (aij)n;p.Définition 2.On noteMn;pl"ensemble des matrices de tailles(n;p).Exemple 1.M =0BBBBB@1435

2 0;5 101

CCCCCAest une matrice de taille (2;3) donc M2 M2;3

Cas Particuliers :

Si n= 1,

M

1;pdésigne l"ensemble des matrices à une ligne etpcolonnes.

On les appellentmatrices lignes. L=a11a12::: a1p

Si p= 1,

M n;1désigne l"ensemble des matrices ànlignes et une colonne.

On les appellentmatrices colonnes. C =0

BBBBBBBBBBBBB@a

11 a 21:::
a n11

CCCCCCCCCCCCCA

Si n=p,

On parlera dematrice carréed"ordren. L"ensembleMn;nse noteMn.

Les termes en position (i;i) (lesaii, 16i6n) sont alors appêléstermes diagonaux.Définition 3.SoitM2 Mn,M =aij.

On appelletracedeM, on noteTr(M), la somme des termes diagonaux de la matrice. tr(M) =n X i=1a ii2 M. Pelini, V. Ledda Matrice d"une application linéaireChapitre 4Exemple 2.Soit A =0

BBBBBBB@1 1 1

1 1 2

1 0 51

CCCCCCCA

A est une matrice carrée d"ordre 3 et on a Tr(A) = 1+1+5 = 7.

La matrice identité

On appelle matrice identité d"ordren

la matrice carrée de taillen, ayant des 1 sur la diagonale et des 0 partout ailleurs.

Elle est notée I

n.I n=0

BBBBBBBBBBBBBBBBBBB@1 0::: :::0

0 1

0 0::: :::11

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCA

La matrice nulle

On appelle matrice nulle de taille (n;p)

la matrice dont tous les coefficients sont nuls .

Elle est notée O

n;p.O n;p=0

BBBBBBBB@0:::0

0:::01

CCCCCCCCA

1.2 Matrice d"une application linéaireDans la suite du chapitre,Edésigne un espace vectoriel de dimensionpetFun espace vectoriel de dimension

n(avecnetpdes entiers naturels non nuls). SoientB=fe1;:::;epgune base de E etB0=ff1;:::;fngune base de F. On considèreuune application linéaire de E dans F (u2 L(E;F)) etxun vecteur quelconque de E. xse décompose de manière unique dans la baseB:x=x1e1+:::+xpep=pP j=1xjej. On a alors :u(x) =u(x1e1+:::+xpep) =x1u(e1)+:::+xpu(ep) =pP j=1xju(ej), caruest linéaire. Doncuest entièrement déterminée paru(e1), ...,u(ep). Or lesu(ej) sont des vecteurs de F donc ils se décomposent de manière unique dans la baseB0. u(e1) =a11f1+:::+an1fn=0

BBBBBBBB@a

11::: a n11

CCCCCCCCA

B 0, u(ej) =a1jf1+:::+anjfn=0

BBBBBBBB@a

1j::: a nj1

CCCCCCCCCA

B 0, u(ep) =a1pf1+:::+anpfn=0

BBBBBBBB@a

1p::: a np1

CCCCCCCCCA

B 0. dans la baseB0, nous obtenons la matrice suivante :3 M. Pelini, V. Ledda Matrice d"une application linéaireChapitre 4M = 0

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB@a

11a12::: a1j::: a1p

a

21a22::: a2j::: a2p::::::::::::

a i1ai2::: aij::: aip:::::::::::: aquotesdbs_dbs2.pdfusesText_2