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Faculté des Sciences Économiques et Sociales - Université de Lille
a n11
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Licence 3 SIAD
Algèbre linéaire
Matrice d"une application linéaire
M. Pelini, V. Ledda
2 janvier 2018
Table des matières1 Définitions1 Définitions21.1 L"ensembleMn;p1.1 L"ensembleMn;p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
1.2 Matrice d"une application linéaire1.2 Matrice d"une application linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
1.3 Exemples1.3 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
1.4 Que se passe-t-il si on change de base?1.4 Que se passe-t-il si on change de base?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
1.5 Bijection entreL(E;F) etMn;p1.5 Bijection entreL(E;F) etMn;p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
2 L"espace vectorielMn;p2 L"espace vectorielMn;p6
2.1 Addition de matrices2.1 Addition de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
2.2 Multiplication par un réel2.2 Multiplication par un réel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
2.3 L"espace vectorielMn;p2.3 L"espace vectorielMn;p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
3 Multiplication de matrices3 Multiplication de matrices7
3.1 Définition3.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
3.2 Recherche des coefficients de la matrice produit3.2 Recherche des coefficients de la matrice produit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
3.3 Exemple3.3 Exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
3.4 Propriétés3.4 Propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
3.5 Puissance d"une matrice carrée3.5 Puissance d"une matrice carrée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
3.6 Le produit matriciel est-il commutatif?3.6 Le produit matriciel est-il commutatif?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
3.7 Écriture matricielle d"une application linéaire3.7 Écriture matricielle d"une application linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
4 Rang d"une matrice4 Rang d"une matrice10
4.1 Définition4.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
4.2 Calcul du rang4.2 Calcul du rang. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
4.3 Transposition de matrices4.3 Transposition de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
Matrice d"une application linéaireChapitre 41 Définitions1.1 L"ensembleMn;pDéfinition 1.On appelle matrice réelle ànlignes,pcolonnes un ensemble denpnombres réels donnés sous
la forme d"un tableau.Une telle matrice est dite de taille(n;p).M =
0BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB@a
11a1j::: a1n:::::::::
::: aij::: a n1anj::: ann1CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCA ième ligne
jème colonne Remarque 1.On noteaijle terme situé à l"intersection de la ligneiet de le colonnej. On donne toujours l"indice de ligne puis l"indice de colonne.La matrice M sera noté de manière abrégée M = (aij)16i6n;16j6pou, plus simplement, M = (aij)n;p.Définition 2.On noteMn;pl"ensemble des matrices de tailles(n;p).Exemple 1.M =0BBBBB@1435
2 0;5 101
CCCCCAest une matrice de taille (2;3) donc M2 M2;3Cas Particuliers :
Si n= 1,
M1;pdésigne l"ensemble des matrices à une ligne etpcolonnes.
On les appellentmatrices lignes. L=a11a12::: a1p
Si p= 1,
M n;1désigne l"ensemble des matrices ànlignes et une colonne.On les appellentmatrices colonnes. C =0
BBBBBBBBBBBBB@a
11 a 21:::a n11
CCCCCCCCCCCCCA
Si n=p,
On parlera dematrice carréed"ordren. L"ensembleMn;nse noteMn.Les termes en position (i;i) (lesaii, 16i6n) sont alors appêléstermes diagonaux.Définition 3.SoitM2 Mn,M =aij.
On appelletracedeM, on noteTr(M), la somme des termes diagonaux de la matrice. tr(M) =n X i=1a ii2 M. Pelini, V. Ledda Matrice d"une application linéaireChapitre 4Exemple 2.Soit A =0