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Espaces vectoriels - PCSI2

Chapitre19

ÝÑuÝÑv ÝÑv+ÝÑw

λÝÑv λP

v w w v v+ÝÑw 2

ÝÑw

+ ǶÝÑP Ƕ

+ (ÝÑu ,ÝÑv ,ÝÑw)PÝÑP3(ÝÑu+ÝÑv) +ÝÑw=ÝÑu+ (ÝÑv+ÝÑw)

+ (ÝÑu ,ÝÑv)PÝÑP2ÝÑu+ÝÑv=ÝÑv+ÝÑu + ÝÑuPÝÑPÝÑu+ÝÑ0 =ÝÑu + ÝÑuPÝÑPÝÑu+ (´ÝÑu) =ÝÑ0

(λ,ÝÑv ,ÝÑw)PˆÝÑP2λ¨(ÝÑv+ÝÑw) =λ¨ÝÑv+λ¨ÝÑw

nˆp (E,+,¨)ɍE + :EˆEÝÑE ¨:ˆEÝÑE @u,vPE, u+v=v+u @u,v,wPE,(u+v) +w=u+ (v+w)

D0EPE,@uPE,0E+u=u+ 0E=u

E Ƕ Ƕ

@uPE,DvPE, u+v=v+u= 0E

ĕ + Ƕ u ´u

@α,βP,@uPE,(α+β)¨u= (α¨u)+(β¨u) @αP,@u,vPE, α¨(u+v) = (α¨u)+(α¨v) @uPE,1¨u=u Ƕ E (E,+,¨) λ u

λuλ¨u uλ

u´v u+ (´v) 0 (λ,z)ÞÝÑλˆz (λ,z)ÞÝÑλˆz

Ƕ(ÝÑP,+,¨) Ƕ

Ƕ(ÝÑE,+,¨) Ƕ

(2,+,¨) ɍ + :2ˆ2ÝÑ2

02= (0,0)

nP'(n,+,¨) ([X],+,¨) Ƭ (Mn,p(),+,¨) 0Mn,p() Ω Ƕ ǶΩ=F(Ω,) (f,g)ÞÝÑ[ÝÑΩ xÞÝÑf(x) +g(x)] (λ,g)ÞÝÑ[ÝÑΩ xÞÝÑλ¨g(x)] (F(Ω,),+,¨)

0 : ΩÝÑ

xÞÝÑ0. Ω =J1,nK F(Ω,) =n Ƕ (0)nP

D Ƕ D Ƕ

0 :DÝÑ

xÞÝÑ0

Ƕ (E,',') Ω

ǶF(Ω,E) ΩE

(f,g)ÞÝÑ[ΩÝÑE xÞÝÑf(x)'g(x)] :ˆF(Ω,E)ÝÑF(Ω,E) (λ,f)ÞÝÑ[ΩÝÑE xÞÝÑλ'f(x)] (F(Ω,E),',) 0 : ΩÝÑ xÞÝÑ0 Ω = [0; 1]E=M2,3() f: [0; 1]ÝÑM2,3() tÞÝÑ(t2 4 0t0) g: [0; 1]ÝÑM2,3() tÞÝÑ(0 1t

0 0 0)

F([0,1],M2,3())

f'g: [0; 1]ÝÑM2,3() tÞÝÑ(t3 4 +t 0t0) E

¨:ˆEÝÑEˆE¨:ˆEÝÑE [X]

(E,+,¨) (λ,x)PˆE

λ¨x= 0Eðñλ= 0x= 0E.

xPE 0¨x= (0+ 0)¨x= 0¨x+ 0¨xǶĕ

Ƕĕ Eĕ

E= 0¨x+ (´0¨x)

= (0

¨x+ 0¨x) + (´0¨x)

= 0

¨x+ (0¨x+ (´0¨x))

= 0

¨x+ 0E

= 0 ¨x λP λ¨0E=λ¨(0E+ 0E) =λ¨0E+λ¨0E

Ƕĕ Eĕ

E=λ¨0E+ (´λ¨0E)

= (λ¨0E+λ¨0E) + (´λ¨0E) =λ¨0E+ (λ¨0E+ (´λ¨0E)) =λ¨0E+ 0E =λ¨0E xPEλP λ¨x= 0E λ= 0x= 0E

λ= 0

λ‰0 1

¨(λ¨x) =1

¨0E= 0EǶĕ

¨(λ¨x) = (1

λ)¨xǶĕ 1

¨(λ¨x) = 1¨x=x x= 0E

(E,+,¨) @xPE,(´1)¨x=´x x @αP,@βP,@xPE,(α´β)¨x=α¨x´β¨x=α¨x+ (´β¨x) @λP,@xPE,@yPE, λ¨(x´y) =λ¨x´λ¨y xPE x+ (´1)¨x= 1¨x+ (´1)¨x = (1 + (´1))¨x = 0 ¨x = 0 E nP' E (x1,...,xn) n E

[PDF] Espaces vectoriels - PCSI2

Chapitre IV Bases et dimension d’un espace vectoriel