Th´eor`eme de la base incompl`ete

SoitEun espace vectoriel sur un corpsK. On dit queEest de dimension finie s"il admet une famille g´en´eratrice finie.

Dans le cas contraire, il est dit de dimension infinie. (Le¸con 108)

Exercice n◦1

Montrer que dans un espace vectorielEde dimension finie

1)toute famille g´en´eratrice deEadmet une sous-famille g´en´eratrice finie,

2)toute famille libre est finie et de cardinal inf´erieur `a celui d"une famille g´en´eratrice quelconque deE.

Corrig´e n◦1

1)Soit{ei}i?June famille g´en´eratrice deE. CommeEest de dimension finie, il admet une famille g´en´eratrice finie

{f1,...,fn}.

Chacun desfjest combinaison lin´eaire finie deseiet on peut donc trouver une partie finieKdeJtelle la famille

{ei}i?Ksoit g´en´eratrice deE.

2)Soit{e1,...,en}une famille g´en´eratrice finie deEet{li}i?Lune famille libre deE. Si le cardinal deLest

strictement sup´erieur `an, alors on peut en prendre une sous-famille{l1,...,ln+1}qui est encore libre.

1?= 0 puisque la famille est libre et on al1=λ1e1+···+λnen. Commel1?= 0, l"un des coefficientsλiest non nul.

Quitte `a modifier l"ordre desei, on peut supposer que c"estλ1. On en d´eduit quee1?Vect{l1,e2,...,en}=E1.

Commee1?E1, on a en faitE1=E.

En r´eit´erant le proc´ed´e, `a lan`eme ´etape, on a une famille g´en´eratrice{l1,...,ln}deE. Orln+1?E, donc

n+1=a1l1+···+anlnet on a trouv´e une combinaison lin´eaire `a coefficients non nuls (au moins celui deln+1) de

1,...,ln+1. Ce qui est en contradiction avec le fait que cette famille soit libre.

Exercice n◦2

Th´eor`eme de la base incompl`ete

On suppose queEest de dimension finie et on consid`ere{ei}i?June famille g´en´eratrice quelconque deE. On suppose

´egalement qu"il existe une partieIdeJtelle que la famille{ei}i?Isoit libre. Montrer qu"il existe un ensembleKtel queI?K?Jet tel que{ei}i?Ksoit une base deE.

Corrig´e n◦2

D"apr`es l"exercice pr´ec´edent, il existe une partieJ0telle queI?J0?Jtelle que{ei}i?J0soit une famille g´en´eratrice

finie deE.

SoitB={K,I?K?J0;{ei}i?Kfamille libre}.

Best un ensemble non vide car il contientI.

L"ensemble des cardinaux des ´el´ements deBest donc major´e par cardJ0. Il admet donc un plus grand ´el´ement que

l"on notep.

SoitK0?Btel que cardB0=p. Par d´efinition deK0, pour toutK?J\K0, la famille{ei}i?K0?Kest li´ee.

Supposons Vect({ei}i?K0)?=E. Alors il existej?Jtel queej/?Vect({ei}i?K0). Mais, d"apr`es ce qui pr´ec´ede, la

famille{ei}i?K0?{j}est li´ee. Absurde donc Vect({ei}i?K0) =E.

La famille{ei}i?K0est donc g´en´eratrice deE; or c"est une famille libre. C"est donc une base deE.

Exercice n◦3

Montrer que tout espace vectoriel de dimension finie poss`ede une base finie.

Corrig´e n◦3

SoitEun espace vectoriel de dimension finie; il admet donc une famille{ei}i?Ig´en´eratrice finie. Si tous lesei´etaient

nuls,Eserait r´eduit au vecteur nul et il aurait une base finie.

Si ce n"est pas le cas, il existei0?Itel queei0?= 0. La famille{ei0}est donc libre. En utilisant le th´eor`eme de la base

incompl`ete donn´e dans l"exercice pr´ec´edent, on en d´eduit le r´esultat.

Exercice n◦4

Soient{ei}i?Iun syst`eme libre d"un espace vectorielEde dimension finie et{fj}j?Jun syst`eme g´en´erateur deE.

Montrer que l"on peut compl´eter{ei}i?Ien une base deEen utilisant exclusivement des ´el´ements de{fj}j?J.

Corrig´e n◦4

La famille?{ei}i?I,{fj}j?J?est g´en´eratrice deEet elle contient un syst`eme libre ; on peut donc appliquer leth´eor`eme

de la base incompl`ete. 2quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

[PDF] Th´eor`eme de la base incompl`ete - univ-rennes1fr

Th´eor`eme de la base incompl`ete - univ-rennes1fr

Immersion Submersion et base incomplète - GitHub Pages

Les théorèmes d’incomplétude de Gödel

Chapitre IV Bases et dimension d’un espace vectoriel

Searches related to théorème de la base incomplète démonstration filetype:pdf

Agr´egation interneUFR MATH´EMATIQUES

Th´eor`eme de la base incompl`ete

Exercice n◦1

1)toute famille g´en´eratrice deEadmet une sous-famille g´en´eratrice finie,

2)toute famille libre est finie et de cardinal inf´erieur `a celui d"une famille g´en´eratrice quelconque deE.

Corrig´e n◦1

1)Soit{ei}i?June famille g´en´eratrice deE. CommeEest de dimension finie, il admet une famille g´en´eratrice finie

2)Soit{e1,...,en}une famille g´en´eratrice finie deEet{li}i?Lune famille libre deE. Si le cardinal deLest

1?= 0 puisque la famille est libre et on al1=λ1e1+···+λnen. Commel1?= 0, l"un des coefficientsλiest non nul.

Commee1?E1, on a en faitE1=E.

1,...,ln+1. Ce qui est en contradiction avec le fait que cette famille soit libre.

Exercice n◦2

Th´eor`eme de la base incompl`ete

Corrig´e n◦2

SoitB={K,I?K?J0;{ei}i?Kfamille libre}.

Best un ensemble non vide car il contientI.

Exercice n◦3

Corrig´e n◦3

Exercice n◦4

Corrig´e n◦4