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Bases
D´edou
Octobre 2010
Base d"un sous-espace vectoriel
D´efinition
Une base d"un sous-espace vectoriel deRn, c"est un syst`eme
g´en´erateur libre de ce sous-espace vectoriel .Comme sous-espace vectoriel deRn, on aRntout entier, doncD´efinition
Une base deRn, c"est un syst`eme g´en´erateur libre deRn.
Bases deR2: exemplesExemples
Comme base deR2, on a la base canonique ((1,0),(0,1)) mais y en a plein d"autres, comme ((2,3),(4,5)).Ca s"´ecrit aussi en colonnes et ¸ca se dessine.
Toutes les bases deR2Proposition
a) Tout syst`eme de deux vecteurs non proportionnels deR2en est une base. b) Inversement toute base deR2est constitu´ee de deux vecteurs (non proportionnels).Et ¸ca se d´emontre. Mais nous, est-ce qu"on a le temps?
Exo pour les surmotiv´es, `a rendre en td
a) D´emontrez a). b) D´emontrez b).
Bases deR3Proposition
a) Tout syst`eme libre de trois vecteurs deR3en est une base. b) Inversement toute base deR3est constitu´ee de trois vecteurs formant un syst`eme de rang trois.Et ¸ca se d´emontre. Mais nous, est-ce qu"on a le temps?
Exo pour les surmotiv´es, `a rendre en td
a) D´emontrez a). b) D´emontrez b).Exo 0 `a consommer de suite
Donnez une base deR3.
Bases triangulaires sup´erieures deR3Le syst`eme (2 0 0) (4 3 0) (7 8 7) est une base deR3, puisque son rang est 3 (il est ´echelonn´e). Bases triangulaires inf´erieures deR3Le syst`eme (2 3 4) (0 7 6) (0 0 5) est une base deR3, sa matrice est triangulaire (inf´erieure).
Bases faciles deR3ILe syst`eme
(2 0 0) (1 7 6) (2 3 5) est une base deR3, car son rang est trois (facile).
Bases faciles deR3IILe syst`eme
(2 3 4) (1 0 6) (2 0 5) est une base deR3, car son rang est trois (facile).
Bases deRnProposition
a) Tout syst`eme libre denvecteurs deRnen est une base. b) Inversement toute base deRnest constitu´ee denvecteurs formant un syst`eme libre.Et ¸ca se d´emontre. Mais nous, on n"a pas le temps.
Bases canoniques
Proposition
La base canonique deRnen est bien une base.Et ¸ca se d´emontre. Et l`a, on prend le temps?
D´egraisser en base : le probl`eme
Probl`eme
On a un syst`eme g´en´erateur d" un sous-espace vectoriel, et on veut extraire de ce syst`eme une base.R´eponse
C"est toujours possible :
on ´elimine l"un apr`es l"autre ceux des vecteurs qui sont combinaisons lin´eaires des autres. Quand on a fini, le syst`eme obtenu est encore g´en´erateur deE, et en plus il est libre, donc c"est une base deE.
D´egraisser en base : exemple
Exemple
On poseE:= Vect((1,0,0,0),(1,1,0,1),(0,1,0,1)). On voit que le deuxi`eme vecteur est la somme des deux autres, qui ne sont pas proportionnels. DoncEest de dimension 2 et admet ((1,0,0,0),(0,1,0,1)) pour base.Exo 1
Donnez deux autres bases de cetE.
D´egraisser en base : exo
Exo 2 On poseE:= Vect((1,6,2,4),(0,3,0,2),(2,0,4,0)). Extrayez de ((1,6,2,4),(0,3,0,2),(2,0,4,0)) deux bases deE.
Bases d´egraiss´ees : conclusion
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Espaces vectoriels de dimension ?nie 1 Base - e Math