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Base d'un espace vectoriel Faculté des Sciences Économiques et Sociales - Université de Lille

Licence 3 SIAD

Algèbre linéaire

Base d"un espace vectoriel

M. Pelini, V. Ledda

24 octobre 2017

Table des matières1 Familles libres, familles liées1 Familles libres, familles liées2

1.1 Définitions1.1 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

1.2 Propriétés1.2 Propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

1.3 Exemples1.3 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

2 Familles génératrices, bases d"un espace vectoriel2 Familles génératrices, bases d"un espace vectoriel5

2.1 Familles génératrices2.1 Familles génératrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

2.2 Bases de E2.2 Bases de E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

2.3 Coordonnées d"un vecteur de E2.3 Coordonnées d"un vecteur de E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

2.4 La base canonique deRn2.4 La base canonique deRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

3 Dimension d"un espace vectoriel3 Dimension d"un espace vectoriel8

3.1 Espace vectoriel de dimension finie3.1 Espace vectoriel de dimension finie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

3.2 Dimension d"un espace vectoriel3.2 Dimension d"un espace vectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

3.3 Conséquences3.3 Conséquences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

3.4 Dimension d"un sous-espace vectoriel3.4 Dimension d"un sous-espace vectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

3.5 Exemples3.5 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

3.6 Cas de sous-espace vectoriel supplémentaires dans E3.6 Cas de sous-espace vectoriel supplémentaires dans E. . . . . . . . . . . . . . . . .12

4 Rang d"une famille depvecteurs4 Rang d"une famille depvecteurs14

4.1 Définitions et premières propriétés4.1 Définitions et premières propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

4.2 Calcul pratique du rang d"une famille depvecteurs4.2 Calcul pratique du rang d"une famille depvecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . .15

4.3 Exemples4.3 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

Base d"un espace vectorielChapitre 21 Familles libres, familles liées

Dans la suite, E désigne unR-espace vectoriel.

1.1 DéfinitionsDéfinition 1.Une famille(e1;:::;en)de vecteurs deEestlibresi :

8(1;:::;n)2Rn;n

X i=1 iei= 0)1=:::=n= 0

On dit aussi que lesnvecteurs sontlinéairement indépendants.Définition 2.Une famille qui n"est pas libre est diteliée.

On dit aussi que lesnvecteurs sontlinéairement dépendants.Remarque 1.Dans la pratique, pour voir si une famille(e1;:::;en)est libre ou liée, on considère

une combinaison linéaire nulle de ces vecteurs et on cherche les coefficients.

Soit donc (1;:::;n)2Rn;tels quenP

i=1iei= 0. Cela nous donne un système dont les inconnues sont1;:::;n. Si l"unique sol utionde ce système est 1=:::=n= 0, alors la famille est libre. S"il existe une a utresol ution,al orsla f amilleest liée.

Remarque 2.

Len-uplet(0;:::;0)est toujours solution de ce système. On l"appelle solution triviale. Exemple 1.DansR2, on considèree1=(1;2),e2=(3;1)ete3=(5;0).2 M. Pelini, V. Ledda

Base d"un espace vectorielChapitre 2Vérifions que cette famille est liée : Soit donc (1;2;3)2R3;tels que1e1+2e2+3e3= 0.

(1+32+53= 0

21+2= 0,(3=1

2=21Ce système admet donc au moins une solution non triviale, par exemple :1= 1,2=2et3= 1.

Ce qui nous donnee12e2+e3= 0,e3=e1+2e2.

La famille (e1;e2;e3) est liée et nous avons trouvé une relation de dépendance linéaire.e

3-e12e2e

1e

2Exemple 2.DansR3, on considèree1=(1;3;5)ete2=(6;4;0).

Vérifions que cette famille est libre :

Soit donc (1;2)2R2;tels que1e1+2e2= 0.

8>>><>>>:

1+62= 0

31+42= 0

51= 0,1=2= 0

L"unique solution trouvée est la solution triviale (0;0), la famille (e1;e2) est donc libre.

Remarque 3.

Si on permute l"ordre des vecteurs dans une famille finie, cela ne change pas son caractère libre ou liée.

Remarque 4.

Une famille est liée si on peut établir une relation de dépendance linéaire entre ses vecteurs. Autrement dit, il existe (1;:::;n)2Rn, non tous nuls tels quenP i=1iei= 0

1.2 Propriétés

3 M. Pelini, V. Ledda

Base d"un espace vectorielChapitre 2Proposition 1. i)La famille (e1)est liée si et seulement sie1= 0 ii)T outefamille contenant le vecteur nul est liée.

iii)Soiente1ete2deux vecteurs non nuls.La famille(e1;e2)est liée si et seulement si l"un des vecteurs est égal à l"autre multiplié par un

scalaire. Dans ce cas, on dira que les vecteurs sontcolinéaires(ou encoreproportionnels). iv)

La famille(e1;:::;en)est liée si et seulement si l"un des vecteurs est combinaison linéaire des

autres.Preuve.i)Le v érifier ii)Soit ( e1;:::;en) une famille contenant le vecteur nul. On peut supposer, sans restriction quee1= 0. On a alors 1:e1+0:e2+:::+0:en= 0.

La famille est donc liée car on a trouvé une combinaison linéaire nulle de ses vecteurs, à

coefficients non tous nuls. iii)Soien te1ete2deux vecteurs non nuls. )Si (e1;e2) est liée, alors9(;),(0;0)=e1+e2= 0. Si= 0, alorse1= 0 et donc= 0, ce qui est impossible donc,0 ete2= e1.

Les deux vecteurs sont colinéaires.

(Réciproquement, si les deux vecteurs sont colinéaires,

92R=e2=e1. D"où,e1e2= 0 et donc la famille est liée.

iv)) Si la famille(e1;:::;en)est liée, il existe1;:::;nnon tous nuls tels que1e1+:::+nen= 0. On peut supposer, sans restriction, que1,0, on a alorse1=2

1e2:::n

1en.

Donce1est combinaison linéaire dee2;:::;en.

Réciproquement, si l"un des vecteurs, par exemplee1, est combinaison linéaire des autres. Il existe2;:::;ntels quee1=2e2+:::+nen. D"où1:e12e2:::nenet donc la famille est liée. cqfdProposition 2. T outefamille contenant une famille liée est liée. T outesous-famille d"une famille libr eest libr e.Preuve.- Soit(e1;:::;en)une famille de vecteurs. On suppose queq(q6n) d"entre eux forment une famille liée. Par exemple, (e1;:::;eq). Alors, il existe1;:::;qnon tous nuls tels que1e1+:::+qeq= 0. On en déduit que1e1+:::+qeq+0:eq+1+:::+0:en= 0. On a trouvé une relation de dépendance linéaire entre les vecteurse1;:::;enet donc la famille est liée.

Soit Fune famille libre etF0 F.

SupposonsF0liée alorsFest aussi liée car c"est une famille contenant une famille liée.

Donc, nécessairement,F0est libre.

cqfd4 M. Pelini, V. Ledda

Base d"un espace vectorielChapitre 21.3 Exemples

Exemple 3.Soientu=(2;3),v=(4;6)etw= (6;5)

On constate quev=2u, les deux vecteurs sont colinéaires et la famille (u;v) est donc liée. La famille (u;v;w) contient une famille liée donc elle est liée.

Exemple 4.Soientu=(1;1;1)etv=(2;3;1)Si la famille(u;v)était liée, alors les vecteursuetvseraient colinéaires. En regardant la première

composante, il faudrait quev= 2u. Ce qui ne convient pas avec la seconde composante. La famille (u;v) est donc libre. Exemple 5.Soientu=(2;1;2;a),v=(1;1;b;1)etw=(1;0;1;2). Selon les valeurs deaetb, déterminer si la famille (u;v;w) est libre ou liée.

Soient (1;2;3)2R3;tels que1u+2v+3w= 0.

8 >>>>><>>>>>:21+2+3= 0

1+2= 0

21+b23= 0

a1+2+23= 0,8 3=1 2=1

21b1=1= 0

a1121= 0,8 3=1 2=1 (3b)1= 0 (a3)1= 0 Sia= 3etb= 3, on peut choisir1quelconque et prendre2=3=1. La famille est donc liée. uvw= 0 est une relation de dépendance linéaire possible entre les trois vecteurs. Si a,3 oub,3, alors1= 0 et par suite2=3= 0. La famille est donc libre.

2 Familles génératrices, bases d"un espace vectoriel

Dans la suite, E désigne unR-espace vectoriel.

2.1 Familles génératrices

Rappel :

Sie1;:::;ensont des vecteurs deEalors l"ensembleFdes combinaisons linéaires de ces vecteurs est

un SEV de E, appelé SEV engendré par les vecteurse1;:::;en. On le note F = Vect(e1;:::;en).Définition 3.La famillee1;:::;enest unefamille génératricedeEsiE = Vect(e1;:::;en).

Cela signifie que tout vecteur deEpeut alors s"écrire comme combinaison linéaire des vecteurs e1;:::;en. Dans ce cas, siv2E, alors il existe (1;:::;n)2Rn=v=1e1+:::+nen.quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2