Chapitre IV Bases et dimension d’un espace vectoriel [PDF] comment trouver une base
[PDF] espace vectoriel base exercices corrigés
[PDF] base d'un espace vectoriel
[PDF] montrer qu'une famille est une base
[PDF] forme quadratique exo7
[PDF] forme quadratique cours
[PDF] forme bilinéaire et forme quadratique
[PDF] forme quadratique exercice corrigé
[PDF] forme bilinéaire symétrique définie positive
[PDF] forme quadratique matrice
[PDF] montrer que q est une forme quadratique
[PDF] dessin industriel cours pdf
[PDF] coupes et sections dessin technique exercices corr
[PDF] bases du dessin technique pdf
[PDF] dessin technique
Faculté des Sciences Économiques et Sociales - Université de Lille
[PDF] espace vectoriel base exercices corrigés
[PDF] base d'un espace vectoriel
[PDF] montrer qu'une famille est une base
[PDF] forme quadratique exo7
[PDF] forme quadratique cours
[PDF] forme bilinéaire et forme quadratique
[PDF] forme quadratique exercice corrigé
[PDF] forme bilinéaire symétrique définie positive
[PDF] forme quadratique matrice
[PDF] montrer que q est une forme quadratique
[PDF] dessin industriel cours pdf
[PDF] coupes et sections dessin technique exercices corr
[PDF] bases du dessin technique pdf
[PDF] dessin technique
Faculté des Sciences Économiques et Sociales - Université de Lille
Licence 3 SIAD
Algèbre linéaire
Base d"un espace vectoriel
M. Pelini, V. Ledda
24 octobre 2017
Table des matières1 Familles libres, familles liées1 Familles libres, familles liées21.1 Définitions1.1 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
1.2 Propriétés1.2 Propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
1.3 Exemples1.3 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
2 Familles génératrices, bases d"un espace vectoriel2 Familles génératrices, bases d"un espace vectoriel5
2.1 Familles génératrices2.1 Familles génératrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
2.2 Bases de E2.2 Bases de E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
2.3 Coordonnées d"un vecteur de E2.3 Coordonnées d"un vecteur de E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
2.4 La base canonique deRn2.4 La base canonique deRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
3 Dimension d"un espace vectoriel3 Dimension d"un espace vectoriel8
3.1 Espace vectoriel de dimension finie3.1 Espace vectoriel de dimension finie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
3.2 Dimension d"un espace vectoriel3.2 Dimension d"un espace vectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
3.3 Conséquences3.3 Conséquences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
3.4 Dimension d"un sous-espace vectoriel3.4 Dimension d"un sous-espace vectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
3.5 Exemples3.5 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
3.6 Cas de sous-espace vectoriel supplémentaires dans E3.6 Cas de sous-espace vectoriel supplémentaires dans E. . . . . . . . . . . . . . . . .12
4 Rang d"une famille depvecteurs4 Rang d"une famille depvecteurs14
4.1 Définitions et premières propriétés4.1 Définitions et premières propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
4.2 Calcul pratique du rang d"une famille depvecteurs4.2 Calcul pratique du rang d"une famille depvecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . .15
4.3 Exemples4.3 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
Base d"un espace vectorielChapitre 21 Familles libres, familles liéesDans la suite, E désigne unR-espace vectoriel.
1.1 DéfinitionsDéfinition 1.Une famille(e1;:::;en)de vecteurs deEestlibresi :
8(1;:::;n)2Rn;n
X i=1 iei= 0)1=:::=n= 0On dit aussi que lesnvecteurs sontlinéairement indépendants.Définition 2.Une famille qui n"est pas libre est diteliée.
On dit aussi que lesnvecteurs sontlinéairement dépendants.Remarque 1.Dans la pratique, pour voir si une famille(e1;:::;en)est libre ou liée, on considère
une combinaison linéaire nulle de ces vecteurs et on cherche les coefficients.Soit donc (1;:::;n)2Rn;tels quenP
i=1iei= 0. Cela nous donne un système dont les inconnues sont1;:::;n. Si l"unique sol utionde ce système est 1=:::=n= 0, alors la famille est libre. S"il existe une a utresol ution,al orsla f amilleest liée.Remarque 2.
Len-uplet(0;:::;0)est toujours solution de ce système. On l"appelle solution triviale. Exemple 1.DansR2, on considèree1=(1;2),e2=(3;1)ete3=(5;0).2 M. Pelini, V. LeddaBase d"un espace vectorielChapitre 2Vérifions que cette famille est liée : Soit donc (1;2;3)2R3;tels que1e1+2e2+3e3= 0.
(1+32+53= 021+2= 0,(3=1
2=21Ce système admet donc au moins une solution non triviale, par exemple :1= 1,2=2et3= 1.
Ce qui nous donnee12e2+e3= 0,e3=e1+2e2.
La famille (e1;e2;e3) est liée et nous avons trouvé une relation de dépendance linéaire.e
3-e12e2e
1e2Exemple 2.DansR3, on considèree1=(1;3;5)ete2=(6;4;0).
Vérifions que cette famille est libre :
Soit donc (1;2)2R2;tels que1e1+2e2= 0.
8>>><>>>:
1+62= 0
31+42= 0
51= 0,1=2= 0
L"unique solution trouvée est la solution triviale (0;0), la famille (e1;e2) est donc libre.Remarque 3.
Si on permute l"ordre des vecteurs dans une famille finie, cela ne change pas son caractère libre ou liée.Remarque 4.
Une famille est liée si on peut établir une relation de dépendance linéaire entre ses vecteurs. Autrement dit, il existe (1;:::;n)2Rn, non tous nuls tels quenP i=1iei= 01.2 Propriétés
3 M. Pelini, V. Ledda
Base d"un espace vectorielChapitre 2Proposition 1. i)La famille (e1)est liée si et seulement sie1= 0 ii)T outefamille contenant le vecteur nul est liée.iii)Soiente1ete2deux vecteurs non nuls.La famille(e1;e2)est liée si et seulement si l"un des vecteurs est égal à l"autre multiplié par un
scalaire. Dans ce cas, on dira que les vecteurs sontcolinéaires(ou encoreproportionnels). iv)La famille(e1;:::;en)est liée si et seulement si l"un des vecteurs est combinaison linéaire des
autres.Preuve.i)Le v érifier ii)Soit ( e1;:::;en) une famille contenant le vecteur nul. On peut supposer, sans restriction quee1= 0. On a alors 1:e1+0:e2+:::+0:en= 0.La famille est donc liée car on a trouvé une combinaison linéaire nulle de ses vecteurs, à
coefficients non tous nuls. iii)Soien te1ete2deux vecteurs non nuls. )Si (e1;e2) est liée, alors9(;),(0;0)=e1+e2= 0. Si= 0, alorse1= 0 et donc= 0, ce qui est impossible donc,0 ete2= e1.Les deux vecteurs sont colinéaires.
(Réciproquement, si les deux vecteurs sont colinéaires,92R=e2=e1. D"où,e1e2= 0 et donc la famille est liée.
iv)) Si la famille(e1;:::;en)est liée, il existe1;:::;nnon tous nuls tels que1e1+:::+nen= 0. On peut supposer, sans restriction, que1,0, on a alorse1=21e2:::n
1en.Donce1est combinaison linéaire dee2;:::;en.
Réciproquement, si l"un des vecteurs, par exemplee1, est combinaison linéaire des autres. Il existe2;:::;ntels quee1=2e2+:::+nen. D"où1:e12e2:::nenet donc la famille est liée. cqfdProposition 2. T outefamille contenant une famille liée est liée. T outesous-famille d"une famille libr eest libr e.Preuve.- Soit(e1;:::;en)une famille de vecteurs. On suppose queq(q6n) d"entre eux forment une famille liée. Par exemple, (e1;:::;eq). Alors, il existe1;:::;qnon tous nuls tels que1e1+:::+qeq= 0. On en déduit que1e1+:::+qeq+0:eq+1+:::+0:en= 0. On a trouvé une relation de dépendance linéaire entre les vecteurse1;:::;enet donc la famille est liée.Soit Fune famille libre etF0 F.
SupposonsF0liée alorsFest aussi liée car c"est une famille contenant une famille liée.Donc, nécessairement,F0est libre.
cqfd4 M. Pelini, V. LeddaBase d"un espace vectorielChapitre 21.3 Exemples
Exemple 3.Soientu=(2;3),v=(4;6)etw= (6;5)
On constate quev=2u, les deux vecteurs sont colinéaires et la famille (u;v) est donc liée. La famille (u;v;w) contient une famille liée donc elle est liée.Exemple 4.Soientu=(1;1;1)etv=(2;3;1)Si la famille(u;v)était liée, alors les vecteursuetvseraient colinéaires. En regardant la première
composante, il faudrait quev= 2u. Ce qui ne convient pas avec la seconde composante. La famille (u;v) est donc libre. Exemple 5.Soientu=(2;1;2;a),v=(1;1;b;1)etw=(1;0;1;2). Selon les valeurs deaetb, déterminer si la famille (u;v;w) est libre ou liée.Soient (1;2;3)2R3;tels que1u+2v+3w= 0.
8 >>>>><>>>>>:21+2+3= 01+2= 0
21+b23= 0
a1+2+23= 0,8 3=1 2=121b1=1= 0
a1121= 0,8 3=1 2=1 (3b)1= 0 (a3)1= 0 Sia= 3etb= 3, on peut choisir1quelconque et prendre2=3=1. La famille est donc liée. uvw= 0 est une relation de dépendance linéaire possible entre les trois vecteurs. Si a,3 oub,3, alors1= 0 et par suite2=3= 0. La famille est donc libre.2 Familles génératrices, bases d"un espace vectoriel
Dans la suite, E désigne unR-espace vectoriel.
2.1 Familles génératrices
Rappel :
Sie1;:::;ensont des vecteurs deEalors l"ensembleFdes combinaisons linéaires de ces vecteurs estun SEV de E, appelé SEV engendré par les vecteurse1;:::;en. On le note F = Vect(e1;:::;en).Définition 3.La famillee1;:::;enest unefamille génératricedeEsiE = Vect(e1;:::;en).
Cela signifie que tout vecteur deEpeut alors s"écrire comme combinaison linéaire des vecteurs e1;:::;en. Dans ce cas, siv2E, alors il existe (1;:::;n)2Rn=v=1e1+:::+nen. Cette écriture est une décomposition devdans la famillee1;:::;en. Exemple 6.DansR2, on considère les vecteursu=(1;1),v=(1;0)etw=(0;1). Vérifions que la famille (u;v;w) engendreR2.5 M. Pelini, V. LeddaBase d"un espace vectorielChapitre 2Soit donc X =
(x;y)2R2, on cherche s"il existe (1;2;3)2R3tel que X =1u+2v+3w.X =1u+2v+3w,(1+2=x
13=y,(2=x1
3=y+1On obtient donc X =1u+(x1)v+(y+1)w, avec12R.
La famille (u;v;w) est bien génératrice deR2.De plus, on peut remarquer que pour tout vecteurX2R2, il existe une infinité de décompositions
possibles suivantu;v;w.Exemple 7.
DansR2, on considère les vecteursu=(1;1)etv=(1;0)(comme dans l"exemple précédent).Vérifions que la famille (u;v) engendreR2.
Soit donc X =
(x;y)2R2, on cherche s"il existe (1;2)2R2tel que X =1u+2v.X =1u+2v,(1+2=x
1=y,(2=xy
1=yOn obtient donc X =y:u+(xy):v
La famille (u;v) est bien génératrice deR2.
De plus, on peut remarquer que pour tout vecteurX2R2, il existe une unique décomposition suivantu;v.2.2 Bases deEDéfinition 4.UnebasedeEest une famille libre et génératrice deE.Exemple 8.Reprenons les exemples précédents. Soientu=(1;1),v=(1;0)etw=(0;1).
On a vu que la famille(u;v;w)est génératrice deR2mais on constate queu+w=vdonc la famille est liée. (u;v;w) n"est pas une base deR2. Par contre, la famille (u;v) est libre et génératrice. C"est donc une base deR2. Exemple 9.Soit F le sous ensemble deR3défini par : F =n(x;y;z)2R3jx=2y+zo. F = n(x;y;z)2R3jx=2y+zo n(2y+z;y;z);(y;z)2R2o ny(2;1;0)+z(1;0;1);(y;z)2R2o = Vectf(2;1;0);(1;0;1)g F est donc le SEV deR3engendré par les vecteursu= (2;1;0) etv= (1;0;1). De plus, ces vecteurs forment une famille libre donc (u;v) est une base de F.2.3 Coordonnées d"un vecteur deE6 M. Pelini, V. Ledda
Base d"un espace vectorielChapitre 2Proposition 3.La famille(e1;:::;en)est une base deEsi et seulement si tout vecteurvdeEs"écrit
de manière unique comme combinaison linéaire dee1;:::;en.C"est à dire :8v2E;9!(x1;:::;xn) tel quev=x1e1+:::+xnenDéfinition 5.
0BBBBBBBB@x
1::: x n1CCCCCCCCA
Bsont lescoordonnéesdevdans la baseB= (e1;:::;en).Preuve.) Supposons que la famille(e1;:::;en)est une base deE. C"est donc une famille généra- trice :8v2E;9(x1;:::;xn) tel quev=x1e1+:::+xnen
Soitv2E, supposons quevadmet deux décompositions suivante1;:::;en:9(x1;:::;xn)2Rntel quev=x1e1+:::+xnenet9(x01;:::;x0n)2Rntel quev=x01e1+:::+x0nen.
On a alors (x1x01)e1+:::+(xnx0n)en= 0, or la famille (e1;:::;en) est libre donc : x1x01=:::=xnx0n= 0,8
>>><>>>:x1=x01:::
x n=x0n Il y a bien unicité des coefficients dans la décomposition dev. Si tout vecteurvdeEs"écrit de manière unique comme combinaison linéaire dee1;:::;enalors la famille (e1;:::;en) est une famille génératrice de E.Vérifions qu"elle est libre :
Soit (x1;:::;xn)2Rntel quex1e1+:::+xnen= 0,
on sait déjà que0 = 0e1+:::+0en, donc par unicité de la décomposition du vecteur nul, on a
x1=:::=xn= 0. Donc, la famille (e1;:::;en) est libre.C"est bien une base de E.cqfd
Exemple 10.
Nous avons vu précédemment que les vecteursu=(1;1)etv=(1;0)forment une base deR2. Soitw=(2;1). On a alorsw=u+3vdonc les coordonnées dewdans la base (u;v) sont 1 3!Remarque 5.
Si on change de base, les coordonnés du vecteur changent::: Dans la base (e1;:::;en), le vecteure1a pour coordonnées0BBBBBBBBBBBB@1
0::: 01 CCCCCCCCCCCCA:::et ainsi de suite.7 M. Pelini, V. Ledda Base d"un espace vectorielChapitre 22.4 La base canonique deRn Le plus souvent, nous travaillerons dans l"espace vectorielRn(n2N).Considérons les vecteurs :e1= (1;0;0;:::;0)
e2= (0;1;0;:::;0)
e n= (0;0;0:::;1)Montrons que cette famille engendreRn.
Soitx= (x1;:::;xn)
= (x1;0;:::;0)+(0;x2;:::;0)+:::+(0;0;:::;xn) =x1e1+x2e2+:::+xnen doncxs"écrit bien comme une combinaison linéaire de (e1;:::;en).Cette famille est génératrice deRn.
Vérifions qu"elle est libre : Soient1;:::;nréels tels que1e1+:::+nen= 01e1+:::+nen= 0,(1;:::;n) = (0;:::;0),1=:::=n= 0
Donc la famille (e1;:::;en) est libre.
Cette famille étant libre et génératrice, c"est une base deRn. On l"appelle base canonique. Dans cette base, les coordonnées dun-uplet (x1;:::;xn) sont justement0BBBBBBBB@x
1::: x n1CCCCCCCCA.
3 Dimension d"un espace vectoriel
Dans la suite, E désigne unR-espace vectoriel.
3.1 Espace vectoriel de dimension finieDéfinition 6.Eest dit dedimension finiesiEadmet une famille génératrice finie.Théorème 1.SoitEun espace vectoriel de dimension finie,E,f0g.
SiG= (e1;:::;ek)est une famille génératrice deEalors on peut en extraire une base.O Preuve.SiG= (e1;:::;ek) est libre, alors c"est une base de E. Sinon, l"un des vecteurs de cette famille est combinaison linéaire des autres, par exempleek. On l"enlève, on a alors Vect(e1;:::;ek1) = Vect(e1;:::;ek) = E. La famille Vect(e1;:::;ek1) est donc une famille génératrice de E.8 M. Pelini, V. LeddaBase d"un espace vectorielChapitre 2On recommence en considérant la nouvelle familleG= (e1;:::;ek1), on continue jusqu"à obtenir
une famille libre. Remarquons queE,f0gdonc dans la famille génératrice(e1;:::;ek), l"un des vecteurs au moins est non nul. Ce qui nous assure que (e1;:::;ek) contient une famille libre.cqfd Corollaire 1.Tout espace vectoriel de dimension finie, non réduit àf0gadmet une base.Remarque 6.
L"espace vectoriel
f0gn"admet pas de base car son unique vecteur est lié.Certains espaces vectoriels n"admettent pas de famille génératrice finie. Ils sont dits de dimension
infinie. C"est le cas deR[X] par exemple qui est engendré par les monômesfXn;n2Ng.Exemple 11.
R nadmet une base contenantnvecteurs doncRnest de dimension finie. La famille (1;X;:::;Xn) engendreRn[X] doncRn[X] est de dimension finie.3.2 Dimension d"un espace vectoriel
Lemme 1(admis).Soient(e1;:::;en)nvecteurs deE.
Soient(f1;:::;fn+1)n+1vecteurs deEtels que chaquefjest combinaison linéaire de(e1;:::;en)alors la famille(f1;:::;fn+1)est liée.Théorème 2.SoitEun espace vectoriel de dimension finie,E,f0g. Toutes les bases deEont le même nombre de vecteurs. Ce nombre est appelédimensionde l"espace vectorielE.O Notation : On notera dimE la dimension de l"espace vectoriel E. Preuve.E étant de dimension finie, on sait qu"il admet des bases (finies). Soient donc (e1;:::;en) et (f1;:::;fp) deux bases de E. Supposons quen,p, par exemplen < p. Comme(e1;:::;en)est une famille génératrice deE, chaquefjpourra s"écrire comme une combinaison linéaire de(e1;:::;en)donc d"après le lemme précédent,
on en déduit que la famille(f1;:::;fp)est liée. Ce qui est absurde puisque c"est une base deE. Donc
n>p.De même,n6p. Doncn=p.cqfd
Remarque 7.Par convention, on dira que l"espace vectorielf0gest de dimension 0.Exemple 12.
La base canonique deRncontientnvecteurs donc toute autre base contiendranvecteurs etRnest de dimensionn. (1;X;:::;Xn)est une base deRn[X]donc toute autre base contiendran+1vecteurs etRn[X]est de dimensionn+1.9 M. Pelini, V. Ledda Base d"un espace vectorielChapitre 23.3 Conséquences Proposition 4.SoitEun espace vectoriel de dimensionn,n2N.1:i )T outefamille libr epossède au plus nvecteurs.
ii)T outefamille libr ede nvecteurs est une base.2:i )T outefamille g énératricepossède au moins nvecteurs.
ii)T outefamille g énératricede nvecteurs est une base.Preuve.1.E étan tde dimension finie, on sait qu"il admet des bases.
Soit donc (e1;:::;en) une base de E (avecn= dim(E)).i)Soit ( f1;:::;fk) une famille libre de E.Tous lesfjsont des combinaisons linéaires des vecteurse1, ...,en. Or ces vecteurs
forment une famille libre donck6n, d"après le lemme cité précédemment. ii)Soit ( f1;:::;fn) une famille libre de E. Supposons que ce n"est pas une base alors on peut trouverf2Equi n"est pas combinaison linéaire de (f1;:::;fn). i).