[PDF] Formulaire de Probabilites et Statistique´ - CNRS



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Formulaire de Probabilites et Statistique´ - CNRS

Université de Caen

Formulaire de Probabilit

´es et StatistiqueChristophe Chesneau

https://chesneau.users.lmno.cnrs.fr/Caen, le 07 Mai 2018

Table des matières

Table des matières

1 Dénombrement5

2 Calculs utiles9

3 Espaces probabilisés et probabilités 11

4 Probabilités conditionnelles et indépendance 15

5 Variables aléatoires réelles (var) discrètes 18

6 Lois discrètes usuelles 22

7 Modélisation25

8 Couples devardiscrètes 27

9 Vecteurs devardiscrètes 32

10 Convergences de suites devardiscrètes 35

11 Calcul intégral36

12 Variables aléatoires réelles à densité 40

13 Lois à densité usuelles 45

14 Retour sur la loi normale 49

15 Couples devarà densité 52

16 Vecteurs devarà densité 59

17 Convergences de suites devar; généralité 64

18 Introduction à l"estimation paramétrique 66C. Chesneau3

Table des matières

19 Intervalles de confiance 69

20 Tests de conformité 70

Note Ce document présente les principales formules brutes abordées dans le coursProbabilités et Statistiquedu L3 de l"université de Caen. Notes importantes : On suppose acquis les concepts de base sur les ensembles. Par exemple, voir : Des points techniques ont volontairement été omis;f,g,h,gidésignent des fonctions sur RouR2...ouRnselon le contexte;lorsqu"une quan titéest in troduite(dériv é,somme, intégrale, espérance, variance ...), il est supposé que celle-ci existe. Je vous invite à me contacter pour tout commentaire : christophe.chesneau@gmail.com

Quelques ressources en lien avec ce cours :

Probabilités de Stéphane Ducay :

Introduction aux Probabilités de Arnaud Guyader : pdf Éléments de cours de Probabilités de Jean-François Marckert :

Probabilités et Statistiques de Alain Yger :

Cours de Théorie des probabilités de Bruno Saussereau :

Bonne lecture!C. Chesneau4

1 Dénombrement

1 Dénombrement

Vocabulaires :Notations Vocabulaire

?ensemble vide ensemble pleinf!gsingleton de

Apartie de

!2A !appartient àAAcomplémentaire deAdans

Notations Vocabulaire

A[Bréunion deAetBA\Bintersection deAetBABintersection deAetB A\B=?AetBsont disjointsAB Aest inclus dansBABproduit cartésien deAetBExemple :

Ensemble DéfinitionA=fa;bg,B=fb;cg,

=fa;b;cgAfx2 ;x62Ag fcgA[Bfx2 ;x2Aoux2Bg fa;b;cgA\Bfx2 ;x2Aetx2Bg fbgABfx2 ;x2Aetx62Bg fagABf(x;y);x2Aety2Bg f(a;b);(a;c);(b;b);(b;c)gOpérations : (A[B)\C= (A\C)[(B\C);(A\B)[C= (A[C)\(B[C); n[ k=1A k! \B=n[ k=1(Ak\B); n\ k=1A k! [B=n\ k=1(Ak[B):C. Chesneau5

1 Dénombrement

Lois de Morgan :

A[B=A\B;A\B=A[B;

n k=1A k=n\ k=1A k;n k=1A k=n[ k=1A k:

Partition :(Ak)k2f1;:::;ngpartition de

,(Ak)k2f1;:::;ngdisjoints deux à deux etnS k=1A k=

Cardinal :Le nombre des éléments d"un ensemble finiAest appelé cardinal deA. Il est notéCard(A).

Formule du crible (à l"ordre2) :

Card(A[B) = Card(A) + Card(B)Card(A\B):

Formule du crible (à l"ordren) :

Card n[ k=1A k! =nX k=1(1)k1X:::X (i1;:::;ik)2UkCard k\ u=1A iu! oùUk=f(i1;:::;ik)2 f1;:::;ngk;i1<< ikg.

Propriétés :

Card(?) = 0; A\B=?)Card(A[B) = Card(A) + Card(B);

Card(A) = Card({

A) = Card(

)Card(A);Card(A) = Card(A\B) + Card(A\B);

Card(AB) = Card(A)Card(A\B); AB)Card(A)Card(B);

Card(AB) = Card(A)Card(B):

Principe additif :On considère une situation qui nous amène à faire un choix parmincas différents

et exclusifs : le cas1, ou le cas2..., ou le casn. Si, pour toutk2 f1;:::;ng, il y aukpossibilités

pour lek-ème cas, alors le nombre total de possibilités estnP k=1u k.C. Chesneau6

1 Dénombrement

Principe multiplicatif :On considère une situation conjuguantkétapes : une étape1, et une étape

2..., et une étapek. Si, pour touti2 f1;:::;kg, il y anipossibilités pour lak-ème étape, alors

le nombre total de possibilités est kQ i=1n i. Liste :Liste ordonnée d"éléments avec répétitions. Arrangement :Liste ordonnée d"éléments sans répétition. Permutation :Arrangement denéléments parmin. Combinaison :Partie d"un ensemble; l"ordre n"est pas pris en compte.

Exemple : choix de2éléments parmi

=fa;b;cg:Choix avec répétition sans répétition avec ordre

Listes :

Arrangemen ts:

(a;a) (a;b) (a;c) (b;a) (b;b) (b;c) (c;a) (c;b) (c;c)9 >>>;9(a;b) (a;c) (b;a) (b;c) (c;a) (c;b)9 >>>;6sans ordre Combinaisons avec répétitions :Com binaisons: [a;a] [a;b] [a;c]quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2