MF3 - Equation de conservation de la masse

1 Débits

1.1 Notion de flux

On définit le fluxΦd"une grandeur vectorielle?jà travers une surfaceSpar : S ?j.?dSavec?dS?S(eventuellement?dS=dS.?n)

Le fluxΦquantifie l"efficacité avec laquelle?jtraverseS.?jest appelédensité de flux.Illustration dans le cas du champ des vitesses?vd"un courant d"algues : le flux d"algues traversant l"épuisette de

surfaceS(vue de dessus en pointillé) est d"autant plus grand que l"épuisette est orthogonale au courant :en effet?v.?ds=v.ds.cos(θ)est max quandθ= 0. Au contraire l"épuisette ne capte aucun flux lorsque sa surface

est colinéaire au courant.

1.2 Débits

Les flux les plus concrets que nous rencontrerons cette année sont les flux de?vet de?jm=μ?v, connus sous

le nom usuel de débit volumique et de débit massique. Le débit volumique et le débit massique à travers la surfaceSsont : D v= S ?v?ds=???? si...?vS?m3/s?Dm= S ?jm?ds=???? si...?μvS[kg/s]

jm=μ?v=densité de flux de masse. Ces débits sont comptés algébriquement dans le sens du?ds.

Les débits permettent d"exprimer la masse ou le volume qui traverse S pendantdt:

dV=Dv.dtetdm=Dm.dt* : la plupart du temps, d"une part la surfaceSest orthogonale à?vde sorte que?v?ds=vdset, d"autre part

vest uniforme sur la surface, d"où finalement :Dv=

S?v?ds=v ds=v

Sds=vS. Si de plusμ=cston

aura de mêmeDm=μvSet doncDm=μDv.

Application : calculer le débit massique d"une canalisation cylindrique de rayonR= 10cmévacuant de

l"eau à une vitessev= 5km/h, supposée uniforme et colinéaire aux parois. Puis calculer la masse éjectée

pendant 1 minute. 1

ATS 2022-23 Chapitre MF3

2 Bilan de matière

2.1 Esprit des bilans

Faire le bilan d"une grandeur (de masse, d"énergie, ...) dans une zone d"espace consiste d"une part :

à comptabiliser p endantdtles entrées et sorties de cette grandeur de la zone et d"autre part à exprimer la v ariationen tretett+dtdu stock de cette grandeur dans la zone.

Si une grandeur est conservative, c"est-à-dire si elle ne peut être ni créée, ni annihilée mais seulement échangée,

on peut écrire dans une zone d"espace fixe :

Variation du stock entre t et t+dt = quantité entrée pendant dt - quantité sortie pendant dt

Utilité d"un bilan : il mène à l"équation différentielle temporelle de la grandeur (donc à son évolution temporelle

après résolution). Si la grandeur n"est pas conservative, il suffit d"ajouter à droite "quantité créée pendant dt

- quantité annihilée pendant dt ".2.2 Bilan global

Commençons par faire un bilan de volume à une zone de taille finie, comme un seau. Ce dernier, cubique

de côtéa, est alimenté par une canalisation véhiculant un débitDvoconstant. On noteV(t)le volume d"eau

présent dans le seau à la datet.Evaluons : le v olumed"eau qui en tredan sle seau en tretett+dt:Dvo.dt le v olumed"eau qui sort du seau en tretett+dt:0 la v ariationen tretett+dtdu volume d"eau présent dans le seau :V(t+dt)-V(t) =dVdt dt

Le volume d"un liquide ne pouvant varier, le bilan qu"on vient de faire est bien conservatif d"où :

Variation du stock de V= V entré - V sorti

dVdt dt=Dvo.dt-0?dVdt =Dvo On obtient, comme prévu, l"équation différentielle temporelle de la grandeurV.

Raffinement : si on appellez(t)le niveau d"eau dans le seau, alorsV(t) =a2z(t), ce qui permet d"avoir

l"équation différentielle vérifiée par la hauteur d"eau : dzdt =Dvoa

2à résoudre...

Rq : on utilise A CHAQUE FOIS la formulef(t+dt)-f(t) =dfdt

dtlors de l"expression de la variation du stock.2.3 Conséquence de la stationnarité et de l"homogénéité

Considérons la situation plus générale suivante :2

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La zone centrale peut habiter toute sorte d"organe de machine (compresseur, réservoir de stockage, hélice,

condenseur, etc...). Les débits et la masse volumique du fluide sont pour l"instant quelconques et à priori

différents entre l"entrée et la sortie (notation non primée en entrée, primée en sortie). Faisons cette fois un bilan

de masse à la zone centrale : la masse d "eauqui en tredans la zone en tretett+dtestDm.dt la masse d "eauqui sort de la zone en tretett+dtestD?m.dt la v ariationen tretett+dtde la masse d"eau présente dans la zone estm(t+dt)-m(t) =dmdt dt

La masse étant une grandeur bien évidemment conservative (en dehors des réactions nucléaires), on peut écrire :

Variation du stock de m= m entrée - m sortie

dmdt dt=Dm.dt-D?m.dt?dmdt =Dm-D?m

2.3.1 Ecoulement stationnaire

Rappel : La situation stationnaire correspond au cas où les champs ne varient pas dans le temps : ici donc

quem(?t). Intuitivement quelle est la condition pour que cela se produise? Notre bilan nous donne la même réponse, à savoir dmdt = 0ssiDm=D?m. Conclusion à retenir :

En écoulement stationnaire, le débit massique est identique pour toute section de l"écoulement.Est-ce également le cas du débit volumique?

2.3.2 Ecoulement homogène et stationnaire

Homogène signifie que la masse volumiqueμest uniforme.μest donc le même en tout point de l"écou-

lement à un moment donné.Tous les liquides sont donc en écoulement homogène.On a alorsDm=

μD v=cst.Dv. Si, par stationnarité,Dmse conserve il en va donc de même pourDv.

En écoulement homogène stationnaire, le débit volumique (en plus du débit massique) est identique pour toute

section de l"écoulement. (On dit alors que "le champ des vitesses est à flux conservatif").Application : soit un tuyau d"arrosage de rayonR= 1cmparcouru par un courant d"eau constant de

vitessev= 1m/s. A quelle vitesse l"eau est-elle éjectée au niveau de l"embout dont le rayon estr= 0.3cm?

On justifiera les hypothèses faites.

2.3.3 Propriété des lignes de champ d"un écoulement stationnaire et homogène

Considérons un tube de champ de section infinitésimale (où la vitesse est nécessairement uniforme au sein

d"une section puisqu"elle est microscopique) :3

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La propriété précédente permet d"écrire que dans le cas d"un écoulement stationnaire homogène:

1S1=v2S2?vS=cst?v=cstS

?v?si les lignes de champ se resserrentExemple de l"écoulement stationnaire et homogène de l"air autour d"une aile d"avion : les tubes de champs se

rétrécissent au-dessus de l"aile, ce qui trahit une accélération du fluide à cet endroit...

2.4 Bilan local : loi de conservation de la masse à une dimension

Faisons cette fois un bilan de masse dans un volume d"espace élémentaire situé entre les sectionsS(x)et

S(x+dx)d"une canalisation :On suppose pour simplifier que l"écoulement est unidimensionnel, à savoir :

- la section est constanteS(x) =S(x+dx) =S. La zone étudiée a donc pour volumeSdxet contient une masse

m(t) =Sdxμ(t)

- le champ des vitesses et celui des masses volumiques sont uniformes au sein d"une section :μ(M,t) =μ(x,t)

et?v(M,t) =v(x,t).?ux.

Evaluons entretett+dt:

1. la masse dmeentrant dans le volume parS(x): dm e=Dm(x)dt=

S(x)μ?v?dsdt=

S(x)μv dsdt=μv

S(x)dsdt=μ(x)v(x).Sdt

NB :μvsortent de l"intégrale car ils sont uniformes au sein du domaine d"intégration. 2. la masse dmssortant du volume parS(x+dx):dms=Dm(x+dx)dt=μ(x+dx)v(x+dx).Sdt 3. la v ariationen tretett+dtde la masse d"eau présente dans la zone : m(t+dt)-m(t) =Sdx.μ(t+dt)-Sdx.μ(t) =Sdx∂μ∂t dt

La masse étant conservative, le bilan donne :

m(t+dt)-m(t) =dme-dms?Sdx∂μ∂t dt=μ(x)v(x).Sdt-μ(x+dx)v(x+dx).Sdt ?Sdx∂μ∂t dt=Sdt(-∂(μv)∂x dx) On en déduit l"équation de conservation de la masse à 1 dimension : ∂μ∂t +∂(μv)∂x = 0 4

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2.5 Généralisation à 3D

Désormais?v(M,t) =?v(x,y,z,t).

2.5.1 Equation de conservation de la masse (admise)

Quelque soit le type de coordonnées, l"équation de conservation de la masse s"écrit : ∂μ∂t

+div(μ?v) = 0Vérifier que l"équation 1D établie au paragraphe 2.1 se retrouve bien à partir de l"équation 3D.

2.5.2 Propriété d"un écoulement stationnaire et homogène

Si l"écoulement est stationnaire, l"équation de conservation de la masse devient :div(μ?v) = 0. Si de plus

l"écoulement est homogène, on arrive à :

div(μ?v) =μ.div(?v) = 0?div(?v) = 0Retrouvons la propriété de l"écoulement stationnaire homogène établie à 1D. Pour cela intégronsdiv(?v) = 0sur

le volumeVd"un tube de champ, délimité par ses sections d"entrée et de sortieS1etS2et par sa surface latéral

S lat(qu"on peut voir comme la peau du saucisson dans une image charcutière) : V div(?v)dτ= 0

Intervient alors un théorème du même style que celui de Stokes-Ampère mais plus difficile à orthographier,

appelé Green-Ostrogradsky, affirmant que,??W: S ?W?dsext= V div(?W)dτ

Sétant la surface qui emprisonne le volumeVet?dsextl"élément de surface normal à l"enveloppeSdirigé vers

l"extérieur du volume... les voici représentés ci-dessous dans les cas oùVest une sphère puis un cylindre :Revenons à notre tube de champ et appliquons-y le théorème de Green-Ostrogradsky au champ des vitesses :

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