Branches infinies

"En théorie, il n'y a pas de différence entre théorie et pratique. En pratique, il y en a."

Hypothèses :

On considère un intervalle I et une fonction f: I® R

On considère un élément a tel que :

aIÎ, +¥=a ou -¥=a

On considère un élément l tel que :

ÎlR, +¥=l ou -¥=l

Définitions :

On dit que f possède une branche infinie en a si lim ( )x af x l®= et si l"un au moins des deux

éléments a ou l est égal à

+¥¥ ou -.

Pour simplifier l"étude qui suit, on suppose que a est l"extrémité supérieure de I ou que a=+¥, et que f est

croissante au voisinage de a.

1° cas : a=+¥, lÎR La branche infinie est une asymptote horizontale,

d"équation y=l.

2° cas : a

ÎR, l=+¥

La branche infinie est une

asymptote verticale d"équation x=a. x +¥ l f x a f

3° cas : a=+¥, l=+¥

Méthode : pour connaître la pente de f au voisinage de +¥, on calcule lim( )x f x x si

0=+¥®x

)x(flim x, la branche infinie est une branche parabolique horizontale.

Exemples : f x x( )= , f(x) = ln(x)

si lim( ) x f x x®+¥= +¥, la branche infinie est une branche parabolique verticale.

Exemples : f x x( )=2 , f(x) = ex

Îaa=

+¥® avec ,x )x(flim xR*, alors on calcule )x)x(f(lim xa- a) si +¥=a- +¥®)x)x(f(lim x ou -¥=a- +¥®)x)x(f(lim x, la branche infinie est une branche parabolique oblique de pente a. f x x( )-®+¥a f x) x(-®-¥a x +¥ f b) si Îbb=a- +¥® avec ,)x)x(f(lim xR, la branche infinie est une asymptote oblique d"équation b+a=xy.

Attention :

dans ce dernier cas, pour pouvoir dessiner, il reste encore à déterminer la position du graphe par rapport à l"asymptote au voisinage de + - si

0>b-a-x)x(f au voisinage de +¥, c"est-à-dire()+

+¥®=b-a-0x)x(flimx, alors le graphe est au-dessus de l"asymptote au moins au voisinage de + - si

[PDF] Branches infinies

alors la droite d’équation ax est une asymptote oblique Cf