[PDF] Primitives usuelles Développements limités usuels

Plaçons nous dans le cas où la branche infinie admet une direction asymptotique de pente p (p ¹ 0), c'est-à-dire où lim
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1

Primitives usuelles

Cdésigne une constante arbitraire. Les intervalles sont à préciser. e

αtdt=eαtα

+C(α?C?) t

αdt=tα+1α+ 1+C(α?=-1)

dt1 +t2=Arctant+C dt⎷1-t2=Arcsint+C costdt= sint+C sintdt=-cost+C dtcos

2t= tant+C

dtsin

2t=-cotant+C

dtcost= ln????tan?t2 +π4 ????+C dtsint= ln????tant2 ???+C tantdt=-ln|cost|+C cotantdt= ln|sint|+C? dtt = ln|t|+C dt1-t2=12 ln????1 +t1-t? ???+C dt⎷t

2+α= ln???t+⎷t

2+α???+C

chtdt=sht+C shtdt=cht+C dtch

2t=tht+C

dtsh

2t=-cotht+C

dtcht= 2Arctanet+C dtsht= ln????tht2 ???+C thtdt= ln(cht) +C cothtdt= ln|sht|+C2

Développements limités usuels

(au voisinage de0) e x= 1 +x1! +x22! +···+xnn!+o(xn) chx= 1 +x22! +x44! +···+x2n(2n)!+o(x2n+1) shx=x+x33! +x55! +···+x2n+1(2n+ 1)!+o(x2n+2) thx=x-x33 +215
x5-17315 x7+o(x8) cosx= 1-x22! +x44! +···+ (-1)n.x2n(2n)!+o(x2n+1) sinx=x-x33! +x55! +···+ (-1)n.x2n+1(2n+ 1)!+o(x2n+2) tanx=x+x33 +215
x5+17315 x7+o(x8) (1 +x)α= 1 +αx+α(α-1)2! x2+···+α(α-1)···(α-n+ 1)n!xn+o(xn)

11 +x= 1-x+x2+···+ (-1)nxn+o(xn)

⎷1 +x= 1 +x2 -18 x2+···+ (-1)n-1.1.1.3.5...(2n-3)2 nn!xn+o(xn)

1⎷1 +x= 1-x2

+38
x2+···+ (-1)n.1.3.5...(2n-1)2 nn!xn+o(xn) ln(1 +x) =x-x22 +x33 +···+ (-1)n-1.xnn +o(xn) argthx=x+x33 +x55 +···+x2n+12n+ 1+o(x2n+2) arctanx=x-x33 +x55 +···+ (-1)n.x2n+12n+ 1+o(x2n+2) argshx=x-12 x 33
+38
x 55
+···+ (-1)n.1.3.5...(2n-1)2 nn!x

2n+12n+ 1+o(x2n+2)

arcsinx=x+12 x 33
+38
x 55
+···+1.3.5...(2n-1)2 nn!x

2n+12n+ 1+o(x2n+2)

3

Fonctions circulaires et hyperboliques

Propriétés trigonométriques: remplacercosparchetsinpari.sh. cos(a+b) = cosa.cosb-sina.sinb cos(a-b) = cosa.cosb+ sina.sinb sin(a+b) = sina.cosb+ sinb.cosa sin(a-b) = sina.cosb-sinb.cosa tan(a+b) =tana+ tanb1-tana.tanb tan(a-b) =tana-tanb1 + tana.tanb cos2a= 2.cos2a-1 = 1-2.sin2a = cos

2a-sin2a

sin2a= 2.sina.cosa tan2a=2tana1-tan2a cosa.cosb=12 [cos(a+b) + cos(a-b)] sina.sinb=12 [cos(a-b)-cos(a+b)] sina.cosb=12 [sin(a+b) + sin(a-b)] cosp+ cosq= 2.cosp+q2 .cosp-q2 cosp-cosq=-2.sinp+q2 .sinp-q2 sinp+ sinq= 2.sinp+q2 .cosp-q2 sinp-sinq= 2.sinp-q2 .cosp+q2ch(a+b) = cha.chb+ sha.shb ch(a-b) = cha.chb-sha.shb sh(a+b) = sha.chb+ shb.cha sh(a-b) = sha.chb-shb.cha th(a+b) =tha+ thb1 + tha.thb th(a-b) =tha-thb1-tha.thb ch2a= 2.ch2a-1 = 1 + 2.sh2a = ch

2a+ sh2a

sh2a= 2.sha.cha th2a=2tha1 + th 2a cha.chb=12 [ch(a+b) + ch(a-b)] sha.shb=12 [ch(a+b)-ch(a-b)] sha.chb=12 [sh(a+b) + sh(a-b)] chp+ chq= 2.chp+q2 .chp-q2 chp-chq= 2.shp+q2 .shp-q2 shp+ shq= 2.shp+q2 .chp-q2 shp-shq= 2.shp-q2 .chp+q24 avect= tanx2 ?cosx=1-t21+t2 sinx=2t1+t2 tanx=2t1-t2avect= thx2 ?chx=1+t21-t2 shx=2t1-t2 thx=2t1+t2 Dérivées: la multiplication parin"est plus valable cos ?x=-sinx sin ?x= cosx tan ?x= 1 + tan2x=1cos 2x cotan ?x=-1-cotan2x=-1sin 2x

Arccos

?x=-1⎷1-x2(|x|<1)

Arcsin

?x=1⎷1-x2(|x|<1)

Arctan

?x=11 +x2

Arccotan

?x=-11 +x2ch ?x= shx sh ?x= chx th ?x= 1-th2x=1ch 2x coth ?x= 1-coth2x=-1sh 2x Argch ?x=1⎷x

2-1(x >1)

Argsh ?x=1⎷x 2+ 1 Argth ?x=11-x2(|x|<1)

Argcoth

?x=11-x2(|x|>1)quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25