Plaçons nous dans le cas où la branche infinie admet une direction asymptotique de pente p (p ¹ 0), c'est-à-dire où lim
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x5-17315 x7+o(x8) cosx= 1-x22! +x44! +···+ (-1)n.x2n(2n)!+o(x2n+1) sinx=x-x33! +x55! +···+ (-1)n.x2n+1(2n+ 1)!+o(x2n+2) tanx=x+x33 +215
x5+17315 x7+o(x8) (1 +x)α= 1 +αx+α(α-1)2! x2+···+α(α-1)···(α-n+ 1)n!xn+o(xn)
x2+···+ (-1)n.1.3.5...(2n-1)2 nn!xn+o(xn) ln(1 +x) =x-x22 +x33 +···+ (-1)n-1.xnn +o(xn) argthx=x+x33 +x55 +···+x2n+12n+ 1+o(x2n+2) arctanx=x-x33 +x55 +···+ (-1)n.x2n+12n+ 1+o(x2n+2) argshx=x-12 x 33
+38
x 55
+···+ (-1)n.1.3.5...(2n-1)2 nn!x
+38
x 55
+···+1.3.5...(2n-1)2 nn!x
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Primitives usuelles
Cdésigne une constante arbitraire. Les intervalles sont à préciser. eαtdt=eαtα
+C(α?C?) tαdt=tα+1α+ 1+C(α?=-1)
dt1 +t2=Arctant+C dt⎷1-t2=Arcsint+C costdt= sint+C sintdt=-cost+C dtcos2t= tant+C
dtsin2t=-cotant+C
dtcost= ln????tan?t2 +π4 ????+C dtsint= ln????tant2 ???+C tantdt=-ln|cost|+C cotantdt= ln|sint|+C? dtt = ln|t|+C dt1-t2=12 ln????1 +t1-t? ???+C dt⎷t2+α= ln???t+⎷t
2+α???+C
chtdt=sht+C shtdt=cht+C dtch2t=tht+C
dtsh2t=-cotht+C
dtcht= 2Arctanet+C dtsht= ln????tht2 ???+C thtdt= ln(cht) +C cothtdt= ln|sht|+C2Développements limités usuels
(au voisinage de0) e x= 1 +x1! +x22! +···+xnn!+o(xn) chx= 1 +x22! +x44! +···+x2n(2n)!+o(x2n+1) shx=x+x33! +x55! +···+x2n+1(2n+ 1)!+o(x2n+2) thx=x-x33 +215x5-17315 x7+o(x8) cosx= 1-x22! +x44! +···+ (-1)n.x2n(2n)!+o(x2n+1) sinx=x-x33! +x55! +···+ (-1)n.x2n+1(2n+ 1)!+o(x2n+2) tanx=x+x33 +215
x5+17315 x7+o(x8) (1 +x)α= 1 +αx+α(α-1)2! x2+···+α(α-1)···(α-n+ 1)n!xn+o(xn)
11 +x= 1-x+x2+···+ (-1)nxn+o(xn)
⎷1 +x= 1 +x2 -18 x2+···+ (-1)n-1.1.1.3.5...(2n-3)2 nn!xn+o(xn)1⎷1 +x= 1-x2
+38x2+···+ (-1)n.1.3.5...(2n-1)2 nn!xn+o(xn) ln(1 +x) =x-x22 +x33 +···+ (-1)n-1.xnn +o(xn) argthx=x+x33 +x55 +···+x2n+12n+ 1+o(x2n+2) arctanx=x-x33 +x55 +···+ (-1)n.x2n+12n+ 1+o(x2n+2) argshx=x-12 x 33
+38
x 55
+···+ (-1)n.1.3.5...(2n-1)2 nn!x
2n+12n+ 1+o(x2n+2)
arcsinx=x+12 x 33+38
x 55
+···+1.3.5...(2n-1)2 nn!x