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Baccalauréat 2015 - ES/LPondichérySérie ES/L Obli. et Spé.16 Avril 2015Correction Pour être prévenu dès la sortie des sujets et corrigés : Like Math93 on Facebook / Follow Math93 on Twitter Exercice 1. Probabilités5 points
Commun à tous les candidats
Partie A
On peut résumer les données à l"aide d"un arbre.On noteBl"évènement : "la batterie fonctionne» etDl"évènement : "le disque dur fonctionne».
•Parmi les ordinateurs vendus,5%ont été retournés pour un défaut de batterie soitP?B?= 5%;
•Parmi ceux-ci,2%ont aussi un disque dur défectueux soitPB?D?= 2%;
•Parmi les ordinateurs dont la batterie fonctionne correctement,5%ont un disque dur défectueux soitPB?
D?= 5%.
B D D BD DP(B) = 95%
PB(D) = 95%
PB?D?= 5%
P?B?= 5%
PB(D) = 98%
PB?D?= 2%
La probabilité que l"ordinateur n"ait ni problème de batterie ni problème de disque dur est égale à0,08à0,01près.
Proposition 1(Fausse)
La probabilité cherchée estP(B∩D)soit :P(B∩D) =PB(D)×P(B)
P(B∩D) = 0,95×0,95
P(B∩D) = 0,9025
Soit arrondi au centième :
P(B∩D)≈0,90
La proposition 1 est fausse.
Correction Bac ES/L 2015 - Pondichéry
Obli. et Spé. - 16 Avril 2015
La probabilité que l"ordinateur acheté ait un disque dur défectueux est égale à0,0485.
Proposition 2(Vraie)
La probabilité cherchée estP?
D?or d"après la formule des probabilités totales on a : PD?=P?B∩D?+P?B∩D?
PD?=PB(D)×P(B) +PB(D)×P(B)
P?D?= 0,05×0,95 + 0,02×0,05
Soit P?D?= 0,0485
La proposition 2 est vraie.
Sachant que l"ordinateur a été retourné pendant sa période de garantie car son disque dur était défectueux, la proba-
bilité que sa batterie le soit également est inférieure à0,02.Proposition 3(Fausse)
La probabilité cherchée estP
D?B?or
PD?B?=P?D∩B?
P?D? PD?B?=PB?D?×P?B?
P?D? PD?B?=0,02×0,050,0485
Soit arrondi au dix-millième
PD?B?≈0,0206>0,02
la probabilité est supérieure à0,02, La proposition 3 est fausse. www.math93.com /www.mathexams.frc?ISSN 2272-53182/15Correction Bac ES/L 2015 - Pondichéry
Obli. et Spé. - 16 Avril 2015
Partie B
L"autonomie de la batterie qui équipe les ordinateurs portables distribués par la société MICRO, exprimée en heure, suit une loi
normale d"espéranceμ= 8et d"écart-typeσ= 2.La probabilité que l"ordinateur ait une autonomie supérieure ou égale à 10 h est inférieure à0,2.
Proposition 4(Vraie)
On appelleXla variable aléatoire correspondant à la durée d"autonomiede la batterie, exprimée en heure décimale.
Lav.a.notéeXsuit une loi normale d"espéranceμ= 8et d"écart-typeσ= 2et on chercheP(X≥10).
D"après les propriétés du cours, puisqueXsuit une loi normale d"espéranceμ= 8et d"écart-typeσ= 2on a :
P(X≤8) = 0,5 =P(X≥8)
DoncP(X≥10) = 1-P(X <10)
P(X≥10) = 1-?
P(X≤8) +P(8< X <10)?
P(X≥10) = 1-?
0,5 +P(8< X <10)?
P(X≥10) = 0,5-P(8< X <10)
La calculatrice nous donne alors arrondi à10-3près :P(X≥10)≈0,159<0,2
La proposition 4 est vraie.
Remarque: Sur la TI Voyage 200
www.math93.com /www.mathexams.frc?ISSN 2272-53183/15Correction Bac ES/L 2015 - Pondichéry
Obli. et Spé. - 16 Avril 2015
Partie C
Sur 1 000 clés prélevées dans le stock, 50 clés se révèlent défectueuses. Ce test, réalisé sur ces 1000 clés, ne remet pas en cause la communication de l"entreprise.Proposition 5(Fausse)
•1. Analyse des données:-"Dans un échantillon de taillen= 1000, 50 clés se révèlent défectueuses..». Donc la fréquence observée de clés
correctes est f=1 000-501 000= 0,95= 95%
-L"entreprise MICRO vend également des clés USB et communique sur ce produit en affirmant quep= 98%des
clés commercialisées fonctionnent correctement.•2. Intervalle de fluctuation: On va regarder si la fréquence observéefappartient à l"intervalle de fluctuation.
Si les conditions suivantes sont remplies :?n≥30 ?np≥5 ?n(1-p)≥5Alors un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de confiance de95%de la fréquenceFnd"un caractère dans
un échantillon de taillenest, sipdésigne la proportion de ce caractère dans la population : I n=? p-1,96? p(1-p)⎷n;p+ 1,96? p(1-p)⎷n? Théorème 1(Intervalle de fluctuation asymptotique)On an= 1000,p= 98%alors on sait que puisque :
??n= 1000≥30 ?np= 1000×98% = 980≥5 ?n(1-p) = 1000×2% = 20≥5Les conditions de validité sont réunies donc l"intervalle de fluctuation au seuil95%pour la fréquenceF1 000est :
I1000=?
p-1,96? p(1-p)⎷n;p+ 1,96? p(1-p)⎷n?0,98-1,96?
0,98×0,02⎷1000; 0,98 + 1,96?
0,98×0,02⎷1000?
Les bornes de l"intervalle sont :
?p-1,96? p(1-p)⎷n≈0,97132 :on donne la valeur approchée par défaut p+ 1,96? p(1-p)⎷n≈0,988677 :on donne la valeur approchée par excès soit I1 000≈[97,1% ; 98,9%]
•3. Conclusion: La fréquence observée n"appartient pas à l"intervalle de fluctuationf= 95%/?I1000, doncl"affirma-
tion 5 est fausse , on ne valide pas la déclaration de l"entreprise. www.math93.com /www.mathexams.frc?ISSN 2272-53184/15Correction Bac ES/L 2015 - Pondichéry
Obli. et Spé. - 16 Avril 2015
Exercice 2. Spécialité : matrices et graphes probabilistes5 points Candidats ES ayant suivi l"enseignement de spécialité•Étant sur le site A, la probabilité d"utiliser le lien vers B est de 0,2 et celle d"utiliser le lien vers C est de 0,2.
•Étant sur le site B, la probabilité d"utiliser le lien vers A est de 0,1 et celle d"utiliser le lien vers C est de 0,4.
•Étant sur le site C, la probabilité d"utiliser le lien vers A est de 0,2 mais il n"y a pas de lien direct avec B.