[PDF] Théorie des probabilités Corrigé - Stanford University



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Théorie des probabilités Corrigé - Stanford University

Théorie des probabilités

Corrigé

Armand Joulin

2010-2011

Contributeurs :

Karl-F riedrichIsrael (ex 1.2, 1.4, 3.2, 3.4,6.4)

Rossi Abi Rafeh (ex 3.5, 4.1, 6.6, 6.7, 5.9, 5.10)

Malka Guillot (e x1.1, 1.3)

F rançoisGrimaud (ex 2.2, 3.1)

F rançoiseHuang (ex 6.1)

F rançoiseHuang / F ernandoArce (ex 1.5, 2.1)

Pierre Grison (ex 4.2, 4.3)

A ugustinA utrand(ex 4.5, 4.6)

Pierre Anquetil (ex 5.2)

A drienChenin (ex 5.6)

Chapitre 1

Exercice 1.1

1.E(X)?=1E(X)car si X v.a. telle queImX={1,2}et queP(X= 1) =14

AlorsE(X) = 7/4etE(1X

) =58 2. On sait que V(X) =E(X2)-E(X)2≤0, doncE(X2)≤E(X)2 3. Mon tronsque si X est symétrique p arrapp ortà 0, alors E(X)=0 : Sq.?x?ImX,fX(x) =fX(-x)(si X admet une densité) AlorsE(X) =E(-X)orE(X) =E(-X)par linéarité de léspérance.

Donc2.E(X) = 0puisE(X) = 0

4.E(XY) =E(X).E(Y)faux sauf si X,Y indépendantes, carCov(X,Y) =E(XY)-E(X).E(Y)

Contrexemple : soitX≂ B(12

), alorsE(X) =12 ,E(X2) =14 , doncE(XY) =E(X).E(Y)

Exercice 1.2

1. k=0P(X > K) =+∞? k=0+∞? i=k+1P(X=i) =+∞? i=1i-1? k=0P(X=i) =+∞? i=1iP(X=i) =E(X) 2. Mq

E(X) =?

0

P(X > t)dt-?

0

P(X < t)dt

par définition :

E(X) =?

XdP 1 par th. de transfert : XdP=? R xdP x(x) =? 0 xdP x(x) I 1+ 0 xdP x(x) I 2 pourI1, en utilisant le th. de Fubini : 0 xdP x(x) =? 0? 0 1 [0,x](t)dtdPx(x) =? 0? 0 1 {x>t}(x,t)dPx(x)dt 0

P(X > t)dt

de même pourI2:1 0 xdP x(x) =-? 0 0 1 [-x,0](t)dtdPx(x) =-? 0 0 1 {xP(X < t)dt on a donc :

E(X) =I1+I2=?

0

P(X > t)dt-?

0

P(X < t)dt

3. Mq

E(|X-a|) =?

a (1-F(t))dt+? a

F(t)dt

par le résultat précédent :

E(|X-a|) =?

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