[PDF] NOM : GEOMETRIE DANS L’ESPACE 1ère S



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NOM : GEOMETRIE DANS L"ESPACE 1ère S

Exercice 1

On donneA(2 ;1 ; 3),B(1 ; 2 ; 0),C(2 ; 1 ; 2)etD(1 ;2 ; 5).

1)ABCDest-il un parallélogramme? Un rectangle?

2)Calculer les coordonnées de l"isobarycentre du quadrilatèreABCD.Figure Geospace

D. LE FUR 1/ 55

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Exercice 2

On donneA(3 ; 1 ; 4),B(2 ;1 ; 7),C(4 ;1 ;2)etD(5 ;5 ; 4).

Les droites(AB)et(CD)sont-elles parallèles?

Figure GeospaceD. LE FUR 2/ 55

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Exercice 3

On donneA(1 ; 1 ; 3),Bp2 + 1 ; 0 ; 2

etCp2 + 1 ; 2 ; 2

Quelle est la nature du triangleABC?

Figure GeospaceD. LE FUR 3/ 55

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Exercice 4

On donneA(1 ;2 ; 3),B(0 ; 4 ; 4)etC(4 ;20 ; 9).

Les pointsA,BetCsont-ils alignés?

Figure GeospaceD. LE FUR 4/ 55

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Exercice 5

ABCDest un tétraèdre régulier d"arêtea. On noteGson centre de gravité.

1)Démontrer que :

!AB!AC=!AC!AD=!AD!AB=a22 et qu"il en est de même pour les autres sommets.

2)Démontrer que deux arêtes opposées sont orthogonales.

3)SoitA0le centre de gravité du triangleBCD. Exprimer!AGen fonction de!AA0.

Figure GeospaceD. LE FUR 5/ 55

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Exercice 6

ABCDEFGHest un cube de côté égal à1. On considère le repère(A;!AB;!AD;!AE).

1)Calculer la longueurCE.

2)Calculer les coordonnées du centre de gravitéIdeAHFet du centre de gravitéJdeBDG.

3)Démontrer que la droite(IJ)est orthogonale au plan(AHF)ainsi qu"au plan(BDG).

Rappel : pour montrer qu"une droite(d)est orthogonale à un planP, on montre qu"elle est orthogonale à

deux droites sécantes de ce plan.

4)Démontrer que!IJ=13

!EC.

Figure GeospaceD. LE FUR 6/ 55

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Exercice 7

ABCDest un tétraèdre. On noteIetJles milieux respectifs de[AC]et[BD].

On définit les pointsP,Q,RetSpar :!AP=13

!AB;!AQ=13 !AD; CR=13 !CB;!CS=13 !CD. Le but de ce problème est de démontrer que les droites(PS),(QR)et(IJ)sont concourantes.

1)Faire une figure.

2)Démontrer que :

a)Pest le barycentre de(A; 2)et(B; 1); b)Qest le barycentre de(A; 2)et(D; 1); c)Rest le barycentre de(C; 2)et(B; 1); d)Sest le barycentre de(C; 2)et(D; 1).

3)On considère le pointGbarycentre de(A; 2),(B; 1),(C; 2)et(D; 1).

En utilisant la règle d"associativité, démontrer queGest sur(PS), mais aussi sur(QR)et sur(IJ).

4)Conclure.

Question subsidiaire : que pensez-vous du quadrilatèrePQRS? Justifier votre réponse.

Figure GeospaceD. LE FUR 7/ 55

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Exercice 8

ABCDEFGHest un cube de côté égal à1. On considère le repère(A;!AB;!AD;!AE). Iest le centre du carréEFGHetJle centre du carréBCGF.

1)Faire une figure.

2)Préciser les coordonnées deIetJ.

3)Calculer les distancesAI,AJetIJ.

4)Calculer le produit scalaire!AI!AJet en déduire une mesure de l"angle(!AI;!AJ).

Figure GeospaceD. LE FUR 8/ 55

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Exercice 9

L"espace est rapporté à un repère orthonormal direct(O;!i ;!j ;!k).

On considère les points :

A(1 ; 0 ;1)B(1 ; 0 ; 0)C(1 ;6 ; 4)D(4 ;9 ; 5)E(3 ;6 ; 3)

1)Montrer que les pointsA,B,CetDsont coplanaires.

2)Montrer que le pointDappartient à la droite(AE).

3)Montrer queABCEest un parallélogramme. Est-ce un rectangle? Est-ce un carré?Figure Geospace

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Exercice 10

ABCDEFGHest un cube etIetJsont les milieux des segments[HE]et[FB].

On se propose de démontrer par deux méthodes que la droite(HJ)coupe le plan(BGI)enMmilieu de[HJ].

Méthode analytique

1)Déterminer les coordonnées des pointsB,G,

I,H,JetMmilieu de[HJ]dans le repère

(A;!AB;!AD;!AE).

2)Démontrer que la droite(HJ)coupe le plan

(BGI)enM.

Méthode géométrique

1)Démontrer que le plan(BGI)coupe le cube sui-

vant un polygoneBGIKoùKest le milieu de [AE].

2)Quelle est la nature du quadrilatèreKJGH?

3)Conclure.Figure Geospace

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Exercice 11

A BC D OS G

ESABCDest une pyramide à base carréeABCDde

centreO. Gest le centre de gravité du triangleSBDetEest le milieu du segment[SC]. Démontrer que les pointsA,GetEsont alignés.Figure Geospace

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Exercice 12

A B C DE FGquotesdbs_dbs7.pdfusesText_5