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NOM : GEOMETRIE DANS L"ESPACE 1ère S
Exercice 1
On donneA(2 ;1 ; 3),B(1 ; 2 ; 0),C(2 ; 1 ; 2)etD(1 ;2 ; 5).1)ABCDest-il un parallélogramme? Un rectangle?
2)Calculer les coordonnées de l"isobarycentre du quadrilatèreABCD.Figure Geospace
D. LE FUR 1/ 55
NOM : GEOMETRIE DANS L"ESPACE 1ère S
Exercice 2
On donneA(3 ; 1 ; 4),B(2 ;1 ; 7),C(4 ;1 ;2)etD(5 ;5 ; 4).Les droites(AB)et(CD)sont-elles parallèles?
Figure GeospaceD. LE FUR 2/ 55
NOM : GEOMETRIE DANS L"ESPACE 1ère S
Exercice 3
On donneA(1 ; 1 ; 3),Bp2 + 1 ; 0 ; 2
etCp2 + 1 ; 2 ; 2Quelle est la nature du triangleABC?
Figure GeospaceD. LE FUR 3/ 55
NOM : GEOMETRIE DANS L"ESPACE 1ère S
Exercice 4
On donneA(1 ;2 ; 3),B(0 ; 4 ; 4)etC(4 ;20 ; 9).
Les pointsA,BetCsont-ils alignés?
Figure GeospaceD. LE FUR 4/ 55
NOM : GEOMETRIE DANS L"ESPACE 1ère S
Exercice 5
ABCDest un tétraèdre régulier d"arêtea. On noteGson centre de gravité.1)Démontrer que :
!AB!AC=!AC!AD=!AD!AB=a22 et qu"il en est de même pour les autres sommets.2)Démontrer que deux arêtes opposées sont orthogonales.
3)SoitA0le centre de gravité du triangleBCD. Exprimer!AGen fonction de!AA0.
Figure GeospaceD. LE FUR 5/ 55
NOM : GEOMETRIE DANS L"ESPACE 1ère S
Exercice 6
ABCDEFGHest un cube de côté égal à1. On considère le repère(A;!AB;!AD;!AE).1)Calculer la longueurCE.
2)Calculer les coordonnées du centre de gravitéIdeAHFet du centre de gravitéJdeBDG.
3)Démontrer que la droite(IJ)est orthogonale au plan(AHF)ainsi qu"au plan(BDG).
Rappel : pour montrer qu"une droite(d)est orthogonale à un planP, on montre qu"elle est orthogonale à
deux droites sécantes de ce plan.4)Démontrer que!IJ=13
!EC.Figure GeospaceD. LE FUR 6/ 55
NOM : GEOMETRIE DANS L"ESPACE 1ère S
Exercice 7
ABCDest un tétraèdre. On noteIetJles milieux respectifs de[AC]et[BD].On définit les pointsP,Q,RetSpar :!AP=13
!AB;!AQ=13 !AD; CR=13 !CB;!CS=13 !CD. Le but de ce problème est de démontrer que les droites(PS),(QR)et(IJ)sont concourantes.1)Faire une figure.
2)Démontrer que :
a)Pest le barycentre de(A; 2)et(B; 1); b)Qest le barycentre de(A; 2)et(D; 1); c)Rest le barycentre de(C; 2)et(B; 1); d)Sest le barycentre de(C; 2)et(D; 1).3)On considère le pointGbarycentre de(A; 2),(B; 1),(C; 2)et(D; 1).
En utilisant la règle d"associativité, démontrer queGest sur(PS), mais aussi sur(QR)et sur(IJ).
4)Conclure.
Question subsidiaire : que pensez-vous du quadrilatèrePQRS? Justifier votre réponse.Figure GeospaceD. LE FUR 7/ 55
NOM : GEOMETRIE DANS L"ESPACE 1ère S
Exercice 8
ABCDEFGHest un cube de côté égal à1. On considère le repère(A;!AB;!AD;!AE). Iest le centre du carréEFGHetJle centre du carréBCGF.1)Faire une figure.
2)Préciser les coordonnées deIetJ.
3)Calculer les distancesAI,AJetIJ.
4)Calculer le produit scalaire!AI!AJet en déduire une mesure de l"angle(!AI;!AJ).
Figure GeospaceD. LE FUR 8/ 55
NOM : GEOMETRIE DANS L"ESPACE 1ère S
Exercice 9
L"espace est rapporté à un repère orthonormal direct(O;!i ;!j ;!k).On considère les points :
A(1 ; 0 ;1)B(1 ; 0 ; 0)C(1 ;6 ; 4)D(4 ;9 ; 5)E(3 ;6 ; 3)1)Montrer que les pointsA,B,CetDsont coplanaires.
2)Montrer que le pointDappartient à la droite(AE).
3)Montrer queABCEest un parallélogramme. Est-ce un rectangle? Est-ce un carré?Figure Geospace
D. LE FUR 9/ 55
NOM : GEOMETRIE DANS L"ESPACE 1ère S
Exercice 10
ABCDEFGHest un cube etIetJsont les milieux des segments[HE]et[FB].On se propose de démontrer par deux méthodes que la droite(HJ)coupe le plan(BGI)enMmilieu de[HJ].