[PDF] Fiche d’exercices N°1 : Géométrie dans l’espace



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Fiche d’exercices N°1 : Géométrie dans l’espace Fiche d"exercices N°1 : Géométrie dans l"espace

M. HARCHYTS2-Lycée Agora-2015/2016

1 Droites et plans de l"espace

Exercice 1

Soient ABCD un tétraèdre et M un point du segment [AC] distinct de A et de C.Les énoncés suivants sont-ils vrais ou faux? Le point A appartient à l"intersection des plans (BMC) et (CMD).

Les droites (BM) et (CD) sont parallèles.

Les droites (BM) et (CD) sont sécantes.

Les plans (MAB) et (BCD) se coupent suivant la droite (BC). Le plan (ABC) contient une droite parallèle à (DM).

Exercice 2

Soit SABCD une pyramide de sommet S et de base le quadrilatère (quelconque) ABCD. Le point I est un point du segment [SC] distinct

de S et de C.

Le planPest le plan contenant les points A, B, C et D. La droiteest une droite de ce plan. Le planQest le plan contenant I et la droite

Le but de cet exercice est de construire la trace de l"intersection du planQet de la pyramide SABCD. 1.

Quelle est l"in tersectiondes plans PetQ?

2. Dans cette question on v aconstruire l"in tersectiondes plans Qet (SBC). (a)

Quelle est la na turede cette in tersection?(a ucunejustifica tionn "esta ttenduedans cette question)

(b) Déterminer un poin tappartenan tà cette in tersection. (c) F inirla construction de l"in tersectiondes plans Qet (SBC). 3. En adaptan tle r aisonnementprécéden ta uxdi fférentes faces de la pyramide, construire la trace de l"intersection du planQet de la pyramide SABCD.Exercice 3

Soit ABCD un tétraèdre. Le point J est un point de [AC] distinct de A et C, le point K est un point de

[AD] distinct de A et D tel que les droites (CD) et (JK) sont parallèles. Enfin le point I est un point de

[AB] distinct de A et de B tel que les plans (IJK) et (BCD) ne soient pas parallèles. 1. C onstruirela droite d"in tersectiondes plans (IJK) et (BCD). 2. Mon trerque les droites et (JK) sont parallèles.

2 Géométrie vectorielle

2.1 Vecteurs et plans

Exercice 4

On considère un cube ABCDEFGH.

Soient M et L les points tels que!AM =14

!AD et!EL =14 !EF. 1.

Mon trerque

!ML =14 !DB +!DH. 2. En déd uirela position de la droite (ML) par r apporta uplan (DBH).Exercice 5 On considère une pyramide SABCD à base carrée ABCD.

Soit O le centre de ABCD, J le milieu de [SO].

Soit K le point tel que!SK =13

!SD. 1. J ustifierque S, B, D, O, J et K son tcoplanaires. 2. (a)

Démon trerque

!BK =!SB +13 !SD. (b)

J ustifierque

!SO =12 (!SB +!SD) et en déduire que !BJ =34 !SB +14 !SD. (c)

Mon trerque les poin tsB, K et J son talignés.

3.

P ositionsrela tivesde plans.

(a) Etudier la position rela tived uplan (BJC) a vecle plan (ABC) et avec le plan (SCD). (b) Etudier la position rela tivedes plans (BJC) et (S AD). (c)

C onstruirela section de la p yramideS ABCDpar le

plan (BJC). Justifier.Exercice 6 : vecteurs colinéaires Soit ABCD un tétraèdre, et soient I, J et K les milieux respectifs de [AB], [AD] et [CD]. 1.

Donner un v ecteurcolinéaire a uv ecteur

!IJ. 2.

Les v ecteurs

!IJ,!BD et!AC sont-ils coplanaires? 3.

Mon trerque les v ecteurs

!IJ,!BC et!CD sont coplanaires. 4.

Mon trerla rela tion

!AD +!BC = 2!IK. Que peut-on en déduire?Exercice 7 Soit ABCD un tétraèdre, et I le milieu de [AB]. 1.

F aireune figure et construire le poin tG tel que

!AG =32 !AC +12 !BD. 2. (a)

Mon trerque

!AC +!BD =!IC +!ID. (b)

En déd uire

!IG en fonction des vecteurs!IC et!ID. Que peut-on en déduire sur les points I, G, D et C? (c)

C onstruirel"in tersectionde (DG) et (ABC).

Exercice 8

Soit ABCD un tétraèdre et soient P, Q, R et S les points définis par !AP =25 !AB,!BQ =3!BC,!CR =53 !CD et!DS =49 !DA. 1.

Exprimer

!PQ,!PR et!PS en fonction de!AB,!AC et!AD. 2.

Mon trerque P ,Q, R et S son tcoplanaires.

3. Dans le cadre d upar agraphesuiv ant,reprendre la question 1 a vecen utilisan tles coordonnées.

2.2 Repérage dans l"espace

Exercice 9

Soit (d) la droite passant par le point A (4 ;2 ; 1) et de vecteur directeur~u0

BBBBBB@5

2 31

CCCCCCA.

1. Déterminer une représen tationpar amétriquede d. 2. Déterminer les coordonnées d upoin tB de dqui a pour abscisse 9. 3. Déterminer les coordonnées d upoin tC de dqui a pour cote 7. 4. Le poin tD ( 1 ; 0 ; 4) appartient-il à la droited?

Exercice 10

On considère la droite (d) de représentation paramétrique8 >>><>>>:x= 1+t y= 4t z=2+2t 1. Donner un poin tet un v ecteurdirecteur de la droite d. 2. Soien tles poin tsE (2 ; 3 ; 5), F (0 ;1 ; 1) et H (1 ;8 ; 8). (a) Mon trerque det (EF) sont strictement parallèles. (b) Mon trerque det (EH) sont sécantes et préciser leur point d"intersection K.

Exercice 11

On considère les points A (0 ; 3 ; 2) et B (1 ; 2 ; 3) ainsi que les vecteurs~u(1 ; 1 ; 1) et~v(1 ; 2 ; 1).

1.

Déterminer une représen tationpar amétriquedes droites dpassant par A et dirigée par~uainsi qued0passant par B et dirigée par

~v. 2. Le poin tM (6 ; 8 ;2) appartient-il àd? àd0? 3.

Les droites detd0sont-elles sécantes?

Exercice 12

QCM. Choisir la bonne réponse.

1.

Dans un repère de l" espace,les droites detd0de représentations paramétriques respectives8>>><>>>:x= 1t

y=1+t z= 23t,t2R, et8quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3