Trigonométrie dans le cercle

Table des matières

1 Angles dans un cercle2

1.1 Cercle trigonométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Le radian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Angles dans le cercle trigonométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Lignes trigonométriques5

2.1 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Tableau des angles remarquables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Relations entre deux angles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3.1 Angles opposés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3.2 Angles suppléméntaires et opposés supplémentaires. . . . 6

2.3.3 Angles compléméntaires et opposés complémentaires. . . . 6

2.4 Lignes trigonométriques dans le cercle. . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Représentation des fonction sinus, cosinus et tangente8

PAULMILAN1 SECONDEB

1 ANGLES DANS UN CERCLE

1 Angles dans un cercle

1.1 Cercle trigonométrique

Définition 1 :On appelle cercle trigonométrique dans un repère orthogonal direct(O;-→ı;-→?), le cercle de centreOet de rayon 1. O 11 -1 -1

1.2 Le radian

Définition 2 :La radian est une unité de mesure d"un angle comme le degré. Il est défini comme la longueur de l"arc entre 2 points du cercle unité. Le demi cercle unité a un longueur deπet donc correspond à un angle deπ radian. On a alors : 180°=πrd 1 rd O 11 -1 -1

La mesure en degré de 1 radian vaut

donc :

1 rd=180

π?57°

Remarque :Le radian est une grande

unité qui n"est pas intuitive contraire- ment au degré qui est notre unité pre- mière.

Avantage: Permet de connaître la lon-

gueur d"un arc. Unité du système inter- national Il est important de connaître les angles remarquables en radian:

Degré30°45°60°90°

Radianπ

6 4 3 2

PAULMILAN2 SECONDEB

1 ANGLES DANS UN CERCLE

Exemple :Convertir en radian les angles en degré suivants :

15° , 36° , 75° , 120° , 135° , 150°

Pour convertir un angle en radian, on utilise la conversion 180°=πrd, soit pourx degré on a :xπ

180radian.

On obtient alors :

Radianπ

12 5 5π 12 2π 3 3π 4 5π 6 Exemple :Convertir en degré les angles en radian suivant :

8,7π12,5π18,11π6

Pour convertir un angle en degré, on utilise la conversion 180°=πrd, soit poury radian on a : y180

πdegré.

Radianπ

8 7π 12 5π 18

11π

Degré22,5°105°50°330°

1.3 Angles dans le cercle trigonométrique

Définition 3 :La mesure d"un angleαrepéré par un pointMdans le cercle trigonométrique, est la valeur algébrique de la longueur de l"arcAMoùA(1;0) Le sens trigonométrique ou direct correspond au sens antihoraire. O 11 -1 -1M M"

On a représenté deux anglesαetβdont

l"un est positifαet l"autre négatifβ.

On remarquera que l"on a indiqué le

sens trigonométrique On peut noter les angles remarquables sur le cercle trigonométrique. Il est impor- tant de visualiser l"emplacement des angles pour s"en faire une idée.

PAULMILAN3 SECONDEB

1 ANGLES DANS UN CERCLE

O?0 ?π6 π4 π3 π2

2π3

3π4

?5π6 ?-π6 ?-π4 -π3? -π2 -2π3 -3π4 ?-5π6 Propriété 1 :Un même angleαpeut avoir plusieurs mesures. Si un angleα, repéré par le pointMsur le cercle trigonométrique, a comme me- suresxety, alors on a la relation suivante : y=x+k2πou plus simplementy=x[2π]yégalxmodulo 2π Exemple :Soit deux mesures sur le cercle trigonométrique d"un même angle : O 11 -1 -1M xy

Sur la figure ci-contre on a tracé deux

mesures d"un même angle repéré par un point M.

Par exemplex=π

6ety=-11π6.

En effet :

6-? -11π6? =(1+11)π6=2π Définition 4 :On appellemesure principaled"un angleα, la mesurexqui se trouve dans l"intervelle]-π;π] Exemple :Trouver la mesure principale des angles dont les mesures sont :17π4 et-31π 6

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