[PDF] Vecteurs propres valeurs propres

Valeurs propres vecteurs propres - e Math

Chapitre 11 – Valeurs propres – Vecteurs propres 1 Introduction

Chapitre 7 Valeurs et vecteurs propres - Université Laval

Vecteurs propres valeurs propres

Valeurs propres vecteurs propres diagonalisation 1 Valeurs

Vecteurs propres valeurs propres

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Eigen problemCalcu lDiagonalisation Calcul num erique

Vecteurs propres, valeurs propres

Vincent Nozick

Vincent NozickVecteurs propres, valeurs propres1 / 26Eigen problemCalcu lDiagonalisation Calcul num erique

Vecteurs propres et valeurs propres

Introduction :

Lesvecteurs propresd'une application lineaire correspondent aux axes privilegies selon lesquels l'application se comporte comme une dilatation, multipliant les vecteurs par une m^eme constante. Ce

rapport de dilatation est appelevaleur propre.Vincent NozickVecteurs propres, valeurs propres2 / 26Eigen problemCalcu lDiagonalisation Calcul num erique

Vecteurs propres et valeurs propres

Denition :

est une valeur propre deAnnsi et seulement si il existe un vecteur xnon nul tel que : Ax=x On dit alors quexest le vecteur propre deAassocie a la valeur

propre.Vincent NozickVecteurs propres, valeurs propres3 / 26Eigen problemCalcu lDiagonalisation Calcul num erique

Vecteurs propres et valeurs propres

En plus clair :

En considerant une matrice comme une matrice de transformation, ses vecteurs propres sont des vecteurs dont la direction n'est pas aectee par cette transformation. Vincent NozickVecteurs propres, valeurs propres4 / 26 Eigen problemCalcu lDiagonalisation Calcul num erique

Exemple

SoitA=2

41 2 2

0 2 1

1 2 23

5 etx=0 @2 1 01 A 2

41 2 2

0 2 1

1 2 23

50
@2 1 01 A =0 @4 2 01 A = 20 @2 1 01 A 0 @2 1 01 A

est un vecteur propre deAde valeur propre= 2.Vincent NozickVecteurs propres, valeurs propres5 / 26Eigen problemCalcu lDiagonalisation Calcul num erique

Avec les mains

Rotation dansR3autour de l'axe desz:A=2

4cossin0

sincos0

0 0 13

5cette rotation appliquee sur l'axe deszdonnera ... l'axe desz.Vincent NozickVecteurs propres, valeurs propres6 / 26Eigen problemCalcu lDiagonalisation Calcul num erique

Avec les mains

Rotation dansR3autour de l'axe desz:

2

4cossin0

sincos0

0 0 13

50
@0 0 11 A =0 @0 0 11 A L'axe deszest donc un vecteur propre deAdont la valeur propre

= 1.Vincent NozickVecteurs propres, valeurs propres7 / 26Eigen problemCalcu lDiagonalisation Calcul num erique

Avec les mains

Rotation dansR2(dans le plan) :A=cossin

sincos

6=k k2ZAucun axe n'est invariant par cette transformation!pas de valeur

propre reelle. Vincent NozickVecteurs propres, valeurs propres8 / 26 Eigen problemCalcu lDiagonalisation Calcul num erique

Exemple avec les mains

L'application deR2qui transforme le point(x;y)en point(x;x+y): 1 0 1 1 x y =x x+y L'axe desyest un vecteur propre de cette application associe a la valeur propre= 1: 1 0 1 1 0 1 =0

1En fait, n'importe quel vecteur

0;k>,k6= 0, est un vecteur propre

de cette application associe a la valeur propre= 1: 1 0 1 1 0 k =0 k

Vincent NozickVecteurs propres, valeurs propres9 / 26Eigen problemCalcu lDiagonalisation Calcul num erique

Exemple avec les mains

L'application deR2qui transforme le point(x;y)en point(x;x+y): 1 0 1 1 x y =x x+y L'axe desyest un vecteur propre de cette application associe a la valeur propre= 1: 1 0 1 1 0 1 =0

1En fait, n'importe quel vecteur

0;k>,k6= 0, est un vecteur propre

de cette application associe a la valeur propre= 1: 1 0 1 1 0 k =0 k

Vincent NozickVecteurs propres, valeurs propres9 / 26Eigen problemCalcu lDiagonalisation Calcul num erique

Calcul

Methodes classiques :

Ax=x,(AId)x=0)det(AId) = 0

s'il existex6=0tel queMx=0, alorsMest singuliere et detM= 0. en developpant le determinant, on obtient le polyn^ome car-

acteristique deAdont les racines sont ses valeurs propres.Vincent NozickVecteurs propres, valeurs propres10 / 26Eigen problemCalcu lDiagonalisation Calcul num erique

Exemple

A=2

41 2 2

0 2 1

1 2 23

5 AId=2 412 2
0 21

1 2 23

5 det(AId) = 12 2 0 21 1 2 2 = (1)21 2 2 2 2 21
= (1)(22)2+2(1) = 48+523Vincent NozickVecteurs propres, valeurs propres11 / 26 Eigen problemCalcu lDiagonalisation Calcul num erique

Exemple

det(AId) = 48+ 523

Les trois racines de ce polyn^ome sont :

= 1

= 2(racine double)Vincent NozickVecteurs propres, valeurs propres12 / 26Eigen problemCalcu lDiagonalisation Calcul num erique

Exemple

Pour= 1:

AxIdx=2

412 2
0 21

1 2 23

50
@x y z1 A 2

40 2 2

0 1 1

1 2 13

50
@xquotesdbs_dbs2.pdfusesText_3