[PDF] Vecteurs et matrices



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Vecteurs et matrices

232CHAPITRE22.PRODUITSCALAIRE

Chapitre22

Produitscalaire

22.1Denitionsetreglesdecalcul

D efinition22.1:produitscalaire :EE!R (x;y)7!(xjy) veriant: (x+y;z)=(x;z)+(y;z) (x;y+z)=(x;y)+(y;z)

2.estsymetrique:

8(x;y)2E2;(x;y)=(y;x)

3.estdenie:

8x2E;((x;x)=0)()(x=0)

4.estpositive:

8x2E;(x;x)0

ditqueEestunespaceeuclidien. kxk=p(xjx) (XjY)=x1y1+:::xnyn=nX i=1x iyi kXk=q x2 1++x2 n=v u u t nX i=1x 2 i (fjg)=Z b a f(t)g(t)dt kfk=s Zb a f2(t)dt

22.2.ORTHOGONALITE233

(fjg)=Z 2 0 f(t)g(t)dt kfk=s Z2 0 f2(t)dt Th eor eme22.1:Reglesdecalcul

Pourdeuxvecteurs(x;y)2E2,etunreel2R,

{k:xk=jjkxk; {kx+yk2=kxk2+2(xjy)+kyk2; {kxyk2=kxk22(xjy)+kyk2; {(xjy)=1

4kx+yk2kxyk2(identitedepolarisation).

0 @nX i=1 ixijnX j=1 jyj1 A=nX i=1n X j=1 ij(xijyj) nX i=1 ixi 2=nX i=1 2 ikxik2+2X 1iSoientx;ydeuxvecteurs, j(xjy)jkxkkyk Th eor eme22.3:InegalitedeMinkowski

Soientx;ydeuxvecteurs.

kxkkyk kx+ykkxk+kyk m^emedemi-droiteissuedel'origine:90tqy=x

22.2Orthogonalite

D efinition22.2:Vecteursorthogonaux Th eor eme22.4:IdentitedePythagore

SoientdeuxvecteursdeE.Alors

(xjy)=0()kx+yk2=kxk2+kyk2 Th eor

8(i;j)2[[1;n]]2;i6=j)(xijxj)=0

AlorslesystemeSestlibre.

D efinition22.3:Sous-espacesorthogonaux

8x2F;8y2G;(xjy)=0

234CHAPITRE22.PRODUITSCALAIRE

D efinition22.4:orthogonald'unepartie A ?=fx2Etq8a2A;(xja)=0g Th eor eme22.6:Proprietesdel'orthogonal

SoientA;BEdeuxpartiesdeE.

a)A?estunsevdeE. b)AB)B?A? c)A?=[Vect(A)]? d)A[A?]?

22.3Espaceseuclidiens

D efinition22.5:Espaceseuclidiens D Th eor eme22.7:Calculsdansunebon

Soite=(e1;:::;en)unebondeE.

x=nX i=1(xjei)ei

2.Six=x1e1++xnenety=y1e1++ynen,alors

(xjy)=nX i=1x iyi=x1y1++xnyn

3.Six=x1e1++xnen,

kxk2=nX i=1x 2 i=x2 1++x2 n Th eor eme22.8:TheoremedeSchmidta normale=(1;:::;n)deEveriant:

1.8i2[[1;n]],i2Vect(e1;:::;ei);

2.8i2[[1;n]],(eiji)>0.

Exercice22-1

Construireunebonapartirdee=(e1;e2;e3).

Exercice22-2

Soitl'espaceE=R1[X]muniduproduitscalaire

(PjQ)=Z 1 0

P(t)Q(t)dt

22.4.MATRICEDEPRODUITSCALAIRE235

!"1!"2 !e1!e2 !e3 !"1+!"2!f3 !"3 b)Trouverunebon"deE

Corollaire22.9:Existenced'unebon

ToutespaceeuclidienE6=f0Egpossedeunebon.

Th eor

SoitFunsevdeEdedimensionp.Alors

1.dimF?=np

2.E=FF?

3.(F?)?=F

Th eor eme22.11:TheoremedeRiesz

8x2E;f(x)=(zfjx)

1x1++nxn=0

22.4Matricedeproduitscalaire

D efinition22.7:Matriced'unproduitscalaire scalairedanslabasee,lamatrice

Mate((:j:))=(((eijej)))1in1jn=0

B @ke1k2:::(e1jen) (enje1):::kenk21 C A

Exercice22-3

0P(t)Q(t)dt,determinerlamatriceduproduit

scalairedanslabasecanonique. Th eor (xjy)=tXAY

236CHAPITRE22.PRODUITSCALAIRE

Th eor

1.Aestunematricesymetrique:tA=A;

4.Aestunematriceinversible:A2GLn(R).

Lemme22.14:Unlemmeutiledecalculmatriciel

SoientA;B2Mn(R)deuxmatricesveriant

8X;Y2Mn1(R);tXAY=tXBY

AlorsA=B.

Th eor eme22.15:Formuledechangementdebase

Matf((:j:))=tPMate((:j:))P

SiA=Mate((j)),B=Mate((j)),P=Pe7!f,alors

B=tPAP.

PMatf(u)P1.

Exercice22-4

8X2Mn1(R);tXAX0ettXAX=0)X=0

A=tPP.

D efinition22.8:Endomorphismesorthogonaux

8x2E;ku(x)k=kxk

Th eor

Siu2O(E),alors

8(x;y)2E2;(u(x)ju(y))=(xjy)

Th eor eme22.17:Groupeorthogonal E. D efinition22.9:Matricesorthogonales t AA=In A 1=tA

Cequimontrequ'elleverieegalement

A tA=In Th eor dire:

8(p;q)2[[1;n]]2;p6=q)nX

i=1a ipaiq=0

8j2[[1;n]];nX

i=1a 2 ij=1

Exercice22-5

Montrerque

A=1 p5 12 21
estorthogonaleetcalculerA1. Th eor

NotonsA=Mat"(u).Alors

uestuneisometrievectorielle (i)()Aestunematriceorthogonale (ii) t ATA=T Th eor deuxbases.Alors festunebaseorthonormale (i)()Pestunematriceorthogonale (ii)

Exercice22-6

n X i=1n X j=1jaijjnp n

22.6Projecteursetsymetriesorthogonaux

D efinition22.10:Projecteurorthogonal

Impsontdeuxsous-espacesorthogonauxdeE:

8x2Kerp;8y2Imp;(xjy)=0

238CHAPITRE22.PRODUITSCALAIRE

Th eor symetrique,c'estadire:

8(x;y)2E2;(p(x)jy)=(xjp(y))

Th eor unebon", (uestsymetrique)()(tP=P) projecteurorthogonalsietseulementsi:

1.P2=P

2. tP=P. Th eor veriant xp(x)2F?. F p(x)x 0 xp(x)

Fig.22.2{Projecteurorthogonal

Th eor eme22.24:Calculduprojeteorthogonal p(x)=pX i=1(xj"i):"i

4.OnresoutalorslesystemedepequationsPp

j=1j(fjjfi)=(xjfi),i2[[1;p]];

E=H?Vect(n)

2.Decomposerx=xH+:n.Alorsp(x)=xH;

knk2;

4.Onobtientnalement

p(x)=x(xjn) knk2:n Th eor vecteursdeF

Pourx2E,etFunsevdeE,ondenit

d(x;F)=inff2Fkxfk

Alors:

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