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Soientx;ydeuxvecteurs, j(xjy)jkxkkyk Th eor eme22.3:InegalitedeMinkowski
estorthogonaleetcalculerA1. Th eor
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![Vecteurs et matrices Vecteurs et matrices](https://pdfprof.com/Listes/17/24063-17produit-scalaire.pdf.pdf.jpg)
232CHAPITRE22.PRODUITSCALAIRE
Chapitre22
Produitscalaire
22.1Denitionsetreglesdecalcul
D efinition22.1:produitscalaire :EE!R (x;y)7!(xjy) veriant: (x+y;z)=(x;z)+(y;z) (x;y+z)=(x;y)+(y;z)2.estsymetrique:
8(x;y)2E2;(x;y)=(y;x)
3.estdenie:
8x2E;((x;x)=0)()(x=0)
4.estpositive:
8x2E;(x;x)0
ditqueEestunespaceeuclidien. kxk=p(xjx) (XjY)=x1y1+:::xnyn=nX i=1x iyi kXk=q x2 1++x2 n=v u u t nX i=1x 2 i (fjg)=Z b a f(t)g(t)dt kfk=s Zb a f2(t)dt22.2.ORTHOGONALITE233
(fjg)=Z 2 0 f(t)g(t)dt kfk=s Z2 0 f2(t)dt Th eor eme22.1:ReglesdecalculPourdeuxvecteurs(x;y)2E2,etunreel2R,
{k:xk=jjkxk; {kx+yk2=kxk2+2(xjy)+kyk2; {kxyk2=kxk22(xjy)+kyk2; {(xjy)=14kx+yk2kxyk2(identitedepolarisation).
0 @nX i=1 ixijnX j=1 jyj1 A=nX i=1n X j=1 ij(xijyj) nX i=1 ixi 2=nX i=1 2 ikxik2+2X 1iSoientx;ydeuxvecteurs.
kxkkyk kx+ykkxk+kyk m^emedemi-droiteissuedel'origine:90tqy=x22.2Orthogonalite
D efinition22.2:Vecteursorthogonaux Th eor eme22.4:IdentitedePythagoreSoientdeuxvecteursdeE.Alors
(xjy)=0()kx+yk2=kxk2+kyk2 Th eor8(i;j)2[[1;n]]2;i6=j)(xijxj)=0
AlorslesystemeSestlibre.
D efinition22.3:Sous-espacesorthogonaux8x2F;8y2G;(xjy)=0
234CHAPITRE22.PRODUITSCALAIRE
D efinition22.4:orthogonald'unepartie A ?=fx2Etq8a2A;(xja)=0g Th eor eme22.6:Proprietesdel'orthogonalSoientA;BEdeuxpartiesdeE.
a)A?estunsevdeE. b)AB)B?A? c)A?=[Vect(A)]? d)A[A?]?22.3Espaceseuclidiens
D efinition22.5:Espaceseuclidiens D Th eor eme22.7:CalculsdansunebonSoite=(e1;:::;en)unebondeE.
x=nX i=1(xjei)ei2.Six=x1e1++xnenety=y1e1++ynen,alors
(xjy)=nX i=1x iyi=x1y1++xnyn3.Six=x1e1++xnen,
kxk2=nX i=1x 2 i=x2 1++x2 n Th eor eme22.8:TheoremedeSchmidta normale=(1;:::;n)deEveriant:1.8i2[[1;n]],i2Vect(e1;:::;ei);
2.8i2[[1;n]],(eiji)>0.
Exercice22-1
Construireunebonapartirdee=(e1;e2;e3).
Exercice22-2
Soitl'espaceE=R1[X]muniduproduitscalaire
(PjQ)=Z 1 0P(t)Q(t)dt
22.4.MATRICEDEPRODUITSCALAIRE235
!"1!"2 !e1!e2 !e3 !"1+!"2!f3 !"3 b)Trouverunebon"deECorollaire22.9:Existenced'unebon
ToutespaceeuclidienE6=f0Egpossedeunebon.
Th eorSoitFunsevdeEdedimensionp.Alors
1.dimF?=np
2.E=FF?
3.(F?)?=F
Th eor eme22.11:TheoremedeRiesz8x2E;f(x)=(zfjx)
1x1++nxn=0
22.4Matricedeproduitscalaire
D efinition22.7:Matriced'unproduitscalaire scalairedanslabasee,lamatriceMate((:j:))=(((eijej)))1in1jn=0
B @ke1k2:::(e1jen) (enje1):::kenk21 C AExercice22-3
0P(t)Q(t)dt,determinerlamatriceduproduit
scalairedanslabasecanonique. Th eor (xjy)=tXAY236CHAPITRE22.PRODUITSCALAIRE
Th eor1.Aestunematricesymetrique:tA=A;
4.Aestunematriceinversible:A2GLn(R).
Lemme22.14:Unlemmeutiledecalculmatriciel
SoientA;B2Mn(R)deuxmatricesveriant
8X;Y2Mn1(R);tXAY=tXBY
AlorsA=B.
Th eor eme22.15:FormuledechangementdebaseMatf((:j:))=tPMate((:j:))P
SiA=Mate((j)),B=Mate((j)),P=Pe7!f,alors
B=tPAP.
PMatf(u)P1.
Exercice22-4
8X2Mn1(R);tXAX0ettXAX=0)X=0
A=tPP.
D efinition22.8:Endomorphismesorthogonaux8x2E;ku(x)k=kxk
Th eorSiu2O(E),alors
8(x;y)2E2;(u(x)ju(y))=(xjy)
Th eor eme22.17:Groupeorthogonal E. D efinition22.9:Matricesorthogonales t AA=In A 1=tACequimontrequ'elleverieegalement
A tA=In Th eor dire:8(p;q)2[[1;n]]2;p6=q)nX
i=1a ipaiq=08j2[[1;n]];nX
i=1a 2 ij=1Exercice22-5
Montrerque
A=1 p5 12 21estorthogonaleetcalculerA1. Th eor