Chapitre 4 Valeurs propres vecteurs propres

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Valeurs propres, vecteurs propres, diagonalisation

1 Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces pro-

pres SoenitEun espace vectoriel et?un endomorphisme deE(c"est `a dire une application lin´eaire deEdans lui mˆeme. D´efinition 1.1.Si il existe un scalaireλ?R(resp.C)et un vecteur non nulv?Etels que?(v) =λv, on dit queλest une valeur propre deu. Siλest une valeur propre et un vecteur propre de?, associ´eλest un vecteurvtel que?(v) =λv. Proposition 1.2.Soitλune valeur propre de?, le sous ensemble des vecteurs propres

de?associ´e `aλest un sous-espace vectoriel appel´e sous-espace propre de?associ´e `aλ

et not´eEλ. L"ensemble des valeurs propres d"un endomorphisme?est appel´e le spectre de?et est not´e Spec(?). Une homot´ethie de rapportλaλpour seule valeur propre, le sous-espace propre associ´e est tout l"espace, un projecteurp(diff´erent de l"identit´e et de l"application nulle) a pourvaleurs pro- pres 0 et 1, les sous-espaces propres associ´es sont le noyauet l"image, en effet si p(v) =λvalors commep2=pon aλ2v=λv, soitλ2=λcommev?= 0, une rotation d"angle dif´erent de 0 etπdu plan euclidienR2n"a pas de valeurs propres, un endomorphisme d"un espace vectoriel surCftel quefn= Id a pour valeurs propres des racinesn-i`emes de 1, en efftet sif(v) =λvon afn(v) =λnv, soit v=λnvet siv?= 0λn= 1, l"endomorphisme de l"espace des fonctions d´erivables dans lui mˆeme qui `a une fonc- tion associe sa d´eriv´ee admet tous les r´eels pour valeur propre, la fonctionx?→eax est vecteur propre associ´e `a la valeur proprea.

2 D´etermination des valeurs propres,

polynˆome carat´eristique SoientEun espace vectoriel et?un endomorphisme deEetλ?R(resp.C) Th´eor`eme 2.1.Le scalaireλest valeur propre de?si et seulement si l"endomorphisme ?-λIdn"est pas inversible. Autrement dit si et seulement sidet(?-λId) = 0. On sait que pour calculer ce d´eterminant on peut choisir unebase quelconque deE, dans laquelle?a pour matriceA, alors la matrice de?-λId estA-λIn. Le d´eterminant cherch´e est celui de cette matrice. R´ep`etons que le d´eterminant obtenu sera le mˆeme quelle que soit la base choisie. ag.pdf

Par exemple :

A=?cos(θ) sin(θ)

cos(θ) sin(θ)? c

A(X) =X2-2cos(θ)X+ 1

N=((((((((((0 1 0 00 0 1 0 00 00 0 10 0))))))))))

N(X) = (-1)nXn

T=((((((((λ

1? ?

0λ2?ag.pdf?

0 0λn-1?

0 0λn))))))))

T(X) = (λ1-X)(λ2-X)...(λn-X)

En calculant det(A-XIn) on obtient un polynˆome enXdegr´ende coefficient domi- nant (-1)n. Ce polynˆome est appel´e le polynˆome caract´eristique de?ou le polynˆome caract´eristique de la matriceA. On le noterac?(X) oucA(X). La notationχ?(X) (resp.

A(X)) est aussi utilis´ee.

Sa valeur pourX= 0 est det(A). Il s"´ecrit donc : c

A(X) = (-1)nXn+...+ det(A)

On v´erifie par r´ecurrence que :

Proposition 2.2.Le coefficient du terme de degr´en-1est(-1)n-1Tr(A). Donc c

A(X) = (-1)nXn+ (-1)n-1Tr(A)Xn-1+...+ det(A)

Le th´eor`eme fondamental est le suivant :

Th´eor`eme 2.3.Le scalaireλest valeur propre de l"endomorphisme?si et seulement si il est racine du polynˆome caract´eristique. On appellera valeur propre d"une matriceA, (n,n), les racines du polynˆome caract´eristique c A(X). Ce sont les valeurs propres de l"endomorphisme dont la matrice estAdans la base standard deRn(resp.Cn). Dans la suite on parlera donc indiff´eremment des valeurs propres d"un endomorphisme ou de sa matrice dans une base. Corollaire 2.4.Un endomorphisme?d"un espace vectoriel de dimensionnou une ma- triceA(n,n)a au plusnvaleurs propres. Soientλ1,...,λtles racines du polynˆome caract´eristique. Il s"´ecrit c ?(X) = (-1)n(X-λ1)m1...(X-λt)mtP o`uPest un polynˆome qui n"a pas de racines;miest la multiplicit´e deλi. Dans le premier exemple donn´e plus haut (celui d"une matrice de rotation)cAn"a pas de racines (surR)? Si on se place sur les complexes tout polynˆome de dgr´enanracines avec les multiplicit´es. 2 Proposition 2.5.Soitλune valeur propre, etmλl"ordre de multiplicit´e deλen tant que racine dec?(X). On a alors : La preuve de l"n´egalit´e de droite repose sur le r´esultat suivant : Lemme 2.6.SoitF?Eun sous-espace stable sous?(voir d´efinition ci dessous), et notonsψl"endomorphisme deFinduit par?. Alorscψdivisec?. Par d´efinition on dit qu"un sous-espaceFdeEest stable par?si?(F)?F. Soit (v1,...,vk) une base deF, d"apr`es le th´eor`eme de la base incompl`ete on peut trouver des vecteursvk+1,...,vndeEtels que (v1,...,vnsoit une baseBdeE. SoitAla matrice de?dansBetBla matrice de la restriction de?aFdans la base (v1,...,vk). On a

A=?B C

0D? c ?(X) = det(?B-XIkC

0D-XIn-k?

) =cψ(X)det(B-XIn-k) On en d´eduit le r´esultat comme suit. On compl`ete une base du sosu-espace propreEλ (qui correspond `aF) en une base deE. On observe qu"un sous-espace propre de?est stable par?. Le lemme ci-dessus se traduit dans ce cas en (λ-X)dimEλdivisec?(X). Car la matrice Best la matrice diagonaled,d) avecd= dimEλavecλsur la diagonale. Ce qui donne le r´esultat.

3 Diagonalisation

SoitEun espace vectoriel et?un endomorphisme.

D´efinition 3.1.On dit que?est diagonalisable si il existe une base deEdans laquelle la matrice de?est diagonale. Autrement dit?est diagonalisable si et seulement si on peut trouver une base deEdans laquelle la matrice de?est de la forme : 10...

0λ10...

0λ10

0λ20...

0λr))))))))))))

o`uλ1,...,λrd´esignent les valeurs propres de?, ici consid´er´ees comme 2 `a 2 distinctes,

chacune apparait autant de fois que sa multiplicit´e. Enfin 3 Proposition 3.2.SoitEun espace" vectoriel de dimensionnet soit?un endomorphisme. La dimension du sous-espace propre associ´e `aλkde l"endomorphisme?deEest ´egale `a n-rang(?-λkId) =n-rang(A-λkIn) o`uAest la matrice de?dans une base quelconque. C"est une application directe de la d´efinition.

Voici un exemple.

On consid`ere la matrice

(1 0 1 -1 2 1

0 0 2))

le polynˆome caracat´eristique est (1-X)(2-X)2dont les racines sont 2 (double) et 1 (simple). On obtient les vecteurs propres en r´esolvant lessyt`emes : (-1 0 1 -1 0 1

0 0 0))

(x y z)) =((000)) et (0 0 1 -1 1 1

0 0 1))

(x y z)) (000)) le premier est de rang 1 une base de l"espace des solutions (espace propreE2) est donn´ee par((101)) (010)) le second est de rang 2 une base de l"espace des solutions (espace propreE1) est donn´ee par((110)) qui fournissent donc une base de diagonalisation. Proposition 3.3.Les sous-espaces propres d"un endomorphisme?sont en somme di- recte. Proposition 3.4.Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement siEest somme directe des sous-espaces propres de?.

Soit si

dimE= dimEλ1+ dimEλ2+...+ dimEλt En effet siEid´esigne le sous-espace propre associ´e `aλi, siEest somme directe desEi choisissant pour chaqueEiune baseBila r´eunion desBiest une base deEdans laquelle la matrice de?est comme indiqu´ee plus haut.

On en d´eduit

Th´eor`eme 3.5.Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si 4

le polynˆome caract´eristique est scind´e (il anracines tenant compte des multiplicit´es,

avecn= dim(E))

et si pour toutidim(Ei) =mλi

En particulier

Th´eor`eme 3.6.Un endomorphisme est diagonalisable d`es que son polynˆomecaract´eristique est scind´e et que toutes les racines sont sumples. C"est une condition suffisante, pas n´ecessaire.

On retiendra aussi

Proposition 3.7.Soitφun endomorphisme diagonalisable d"un espace vectoriel de ma- triceAdans une base donn´ee. Le produit des valeurs propres deφest ´egal `adet(A), la somme `aTr(A). Finissons par un r´esultat utile sur les sous-espaces propres. Th´eor`eme 3.8.SoientEun espace vectoriel etfetgdeux endomorphismes deEtels quefcircg=g◦f. SoitEμun sous-espace propre defetv?Eμ, alorsg(v)?Eμ.

4 Polynˆomes d"endomorphisme, th´eor`eme de Cayley

Hamilton

SoitP=a0+...+anXn?R[X] (resp.C[X]), et soient?un endomorphisme d"un espace vectorielEetAune matrice (n,n).

On d´efinit alors

P(?) =a0Id +a1?+...+ak?k? L(E)

P(A) =a0In+a1A+...+akAk?Mn(A)

Proposition 4.1.Pour tous polynˆomespetQon a :

P(?)Q(?) =Q(?)P(?)

P(A)Q(A) =Q(A)P(A)

On va consid´erer dans la suite des polynˆomesPtels queP(?) = 0. Il en existe car. Th´eor`eme 4.2.(Cayley-Hamilton) Soient?un endomorphisme d"un espace vectorielE ouAune matrice(n,n), on a

c?(?) = 0

cA(A) = 0

On ne le d´emontrera pas ce th´eor`eme, `a ce niveau il est suffisant de connaitre l"´enonc´e et

des cas particuliers de la d´emonstration : d´emontrer le th´eor`eme pour une matrice (2,2), d´emontrer le th´eor`eme pour une matrice diagonale, 5 d´emontrer le th´eor`eme pour la matrice N k=((((((((0 1 0 00 0 1 0 0 0 0 1

0 0))))))))

Le th´eor`eme suivant donne une condition n´ecessaire et suffisante pour qu"un endomor-quotesdbs_dbs15.pdfusesText_21

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