[PDF] Physique MPSI - Exercices - Numilogcom



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Physique MPSI - Exercices - Numilogcom C h a pi t r e

Mécanique 1

KF.book Page 29 Vendredi, 1. août 2003 12:21 12Retrouver ce titre sur Numilog.com

30Partie 1 - Physique MPSI

Exercice

101

Risque de collision au freinage

1. Une voiture roule à une vitesse constante V

0 en ligne droite. Au temps t = 0, le conducteur aperçoit un obstacle, mais il ne commence à freiner (avec une décéléra- tion constante de 7,5 m · s -2 ) qu'au bout d'un temps ε = 0,6 s. Calculer la distance parcourue par le véhicule depuis l'instant initial jusqu'à l'arrêt.

Application numérique : V

0 = 54 km · h -1 , puis V 0 = 108 km · h -1

2. Deux voitures se suivent sur une route droite, à une distance d, et roulent à la

même vitesse constante V 0 . À l'instant t = 0, la première voiture commence à freiner avec une décélération a, la seconde voiture ne commence à freiner qu'au temps t = ε = 0,6 s avec une décélération b. Quelle condition doit satisfaire d pour que la seconde voiture s'arrête en arrière de la première ?

Application numérique :V

0 = 108 km · h -1 , a = 7,5 m · s -2 et b = 6 m · s -2 La condition trouvée est-elle suffisante pour garantir qu'il n'y aura pas collision entre les deux voitures (pour des valeurs différentes de V 0 , ε, a et b...) ? Pourquoi cette condition est-elle suffisante avec les données numériques fournies ? • Mouvement à accélération constante. • Équation horaire. • Il est astucieux de résoudre la première question en tenant compte de la deuxième : on prendra des notations telles qu'il ne soit pas nécessaire de re faire plusieurs fois le même calcul. • Pour la deuxième question, il faut prendre en compte les différent es phases du mou- vement, avec des conditions initiales pertinentes.

1. On peut prendre l'origine des abscisses à la position de la voiture à la date t = 0 : elle

parcourt une distance avant de freiner - avec une accélération - a (a constante ? 0) à partir de la date t 1

Pour t ? t

1 , le mouvement est caractérisé par une vitesse : et une position (1) compte tenu des conditions initiales ci-dessus. 101
x 1 V 0

Vx˙a-tt

1 -()V 0 x 1

2--at t

1 2 V 0 tt 1 -()x 1 KF.book Page 30 Vendredi, 1. aožt 2003 12:21 12Retrouver ce titre sur Numilog.com

Chapitre 1 - Mécanique 131

Exercice

101

L'arrêt est obtenu lorsque V = 0, soit

En reportant cette valeur dans l'expression de , on obtient la distance d'arrêt D :

Application numérique :

V 0 = 54 km · h -1 = 15 m · s -1 , d'où : D = 24 m. V 0 = 108 km · h -1 = 30 m · s -1 , d'où : D = 78 m.

2. L'équation horaire de la première voiture est donnée par la relation (1), en faisant

t 1 = 0 et x 1 = 0 : et elle s'arrête à l'abscisse soit : À la date t = 0, la seconde voiture était à l'abscisse , et à la date t 1 = ε, elle était donc

à l'abscisse

La relation (1) donne alors pour la seconde voiture une position (avec a remplacé par b) : ce qui donne une distance parcourue jusqu'à l'arrêt (à la date ) : La condition demandée correspond à (on néglige les dimensions des voitures, assimilées à des points matériels...), soit :

Soit, avec les valeurs données : d ? 33 m.

Cette condition n'est pas suffisante : il suffit d'imaginer une situation telle que b ? a, avec tt 1 -V 0 a------=. xt() D 1 2--aV 0 a------()() 2 V 0 V 0 a------x 1 D V 02

2a------V

0 xt()1 2--at 2 V 0 t+-= x 2 xV 0 a------()(),= x 2 V 02

2a------=.

d- x 1 d-V 0 x′t()1

2--bt t

1 2 V 0 tt 1 -()V 0

εd-++-=

x′ 2 tt 1 V 0 b------+= x′ 2 V 02

2b------V

0

εd.-+=

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