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1 Distances espaces m´etriques espaces norm´es

UNIVERSIT

´E D"ORL´EANS Unit´e MA501D´epartement de Math´ematiques 2002-2003

Chapitre II

Espaces m´etriques

1 Distances, espaces m´etriques, espaces norm´es

1.1 Distances.

SoitEun ensemble. Unedistance(ou m´etrique) surEest une applicationddeE£EdansR ayant les propri´et´es suivantes : 1. d(x;y)¸0 pour tout couplex;yd"´el´ements deE; 2. d(x;y) = 0 si et seulement six=y; 3. d(x;y) =d(y;x) pour tout couplex;yd"´el´ements deE; 4. in´egalit´e triangulaire :quels que soientx;y;zdansE, on a l"in´egalit´e d(x;z)·d(x;y) +d(y;z): On appelleespace m´etriquele couple (E;d). Par abus de langage, on dit aussi queE, muni de la distanced, est un espace m´etrique. Le premier exemple d"espace m´etrique estR, muni de la distanced(x;y) =jx¡yj. Si on parle

de l"espace m´etriqueRsans pr´eciser la distance, c"est qu"il s"agit de celle-ci. Les exemples les plus

simples, apr`esR, sont donn´es parCmuni de la distanced(z;z0) =jz¡z0j, ouRNmuni de la distance euclidienne, d(x;y) =q jx1¡y1j2+¢¢¢+jxN¡yNj2: Remarque.On d´eduit de l"in´egalit´e triangulaire les in´egalit´es suivantes : six;y;z2E, alors jd(x;z)¡d(y;z)j ·d(x;y); six1;x2;¢¢¢;xnsont des ´el´ements deE, alors d(x1;xn)·d(x1;x2) +¢¢¢+d(xn¡1;xn): Attention! Un espace m´etrique n"a aucune raison d"ˆetre un espace vectoriel.

1.2 Suites et sous-suites. Premi`ere d´efinition d"une fonction continue

La notion de distance permet d"introduire la notion desuite convergentedans un espace m´etrique (E;d). Soit (xn)n¸0une suite dansE, etaun point deE. On dit que la suite (xn)n¸0tend vers asi la suite de nombre r´eelsd(xn;a) tend vers 0, ou encore si

8" >09N2N:n¸N)d(xn;a)< ":

Il y a unicit´e de la limite.

Pour bien comprendre cette d´efinition, il faut la voir de fa¸con g´eom´etrique, en termes d"appartenance

`a une boule de rayon arbitrairement petit `a partir d"un certain rang.´Etant donn´esa2Eetr >0,

on appelleboule de centreaet de rayonrl"ensemble

B(a;r) =fx2E;d(a;x)< rg:

On dit d"une partie deEqu"elle estborn´eesi elle est incluse dans une boule. Si (xn)n¸0est une

suite convergente, elle est born´ee : il existe une bouleB(a;r) contenant tous lesxn. En effet, soitx

la limite de la suite etaarbitraire. Il existeNtel que, pourn¸N, on ait l"in´egalit´ed(xn;x)<1.

Il suffit de choisir

r= maxf1 +d(a;x);d(a;x0);¢¢¢;d(a;xN¡1)g: 1 Une autre notion fondamentale est celle desuite extraite(ou sous-suite) d"une suite donn´ee :

soit (xn)n¸0une suite dansE. On dit que (yn)n¸0est une suite extraite de la suite (xn)n¸0s"il

existe une injection croissante':N7!Ntelle que, pour toutn¸0, on aityn=x'(n). Pour

simplifier l"´ecriture, on utilise habituellement un indice diff´erent, on notek!nkl"injection'et

x nkla suite extraite. On appellevaleur d"adh´erencede la suite (xn) toute limite d"une sous-suite.

Rappelons lapropri´et´e de Bolzano-Weierstrass dansR: toute suite born´ee de nombre r´eels

admet au moins une valeur d"adh´erence. Attention, elle n"est pas vraie en g´en´eral dans un espace

m´etrique ! Soient (E1;d1) et (E2;d2) deux espaces m´etriques,fune bijection deE1surE2. On dit quef

est uneisom´etriesifpr´eserve la distance, c"est-`a-dire sid2(f(x);f(y)) =d1(x;y). Lorsqu"il existe

une isom´etrie entre (E1;d1) et (E2;d2), on dit encore que ces deux espaces sontisom´etriques. Remarquons qu"alors la suite (xn)n¸0dansE1converge versasi et seulement sif(xn) converge versf(a). Soient (E;d) et (E0;d0) deux espaces m´etriques,f:E7!E0. On dit quefestcontinue au pointa2Esifsatisfait la condition

8" >09´ >0 :d(x;a)< ´)d0(f(x);f(a))< " :

Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes : 1. fest continue ena; 2. quelle que soit la suitexntendant versa, la suitef(xn)tend versf(a). Une fonctionfest ditecontinuesurEsi elle est continue en tout point. En particulier, une isom´etrie est une fonction continue. Les exemples fondamentaux sur lesquels nous allons travailler le plus sont des espaces vectoriels norm´es, ou des parties d"un espace vectoriel norm´e.

1.3 Espaces vectoriels norm´es

SoitEun espace vectoriel (surRouC. On dit que l"applicationx! kxkest unenormesurEsi elle poss`ede les propri´et´es suivantes : 1. kxk ¸0 pour toutxdansE; 2. kxk= 0 si et seulement six= 0 ; 3. k¸xk=j¸jkxkpour tout scalaire¸et toutxdansE; 4. in´egalit´e triangulaire pour les normes :quels que soientx;ydansE, on a l"in´egalit´e kx+yk · kxk+kyk: On appelle espace vectoriel norm´e le couple (E;k k).

Le th´eor`eme suivant, de d´emonstration tout `a fait ´el´ementaire, montre qu"`a chaque espace

vectoriel norm´e on peut faire correspondre un espace m´etrique.

Th´eor`eme.Soit(E;k k)un espace vectoriel norm´e. Alorsd(x;y) =kx¡ykd´efinit une distance

surE. La suite (xn)n¸0dansEconverge versasi et seulement sikxn¡aktend vers 0. Rappelons des exemples de normes. SurRN, on peut consid´erer les trois normes suivantes jjxjj1=jx1j+¢¢¢+jxNj;jjxjj2=q jx1j2+¢¢¢+jxNj2; jjxjj1= maxfjx1j;¢¢¢;jxNjg: La normejj jj2est la norme euclidienne. Ces normes sont´equivalentes: jjxjj1· jjxjj2· jjxjj1·p

Njjxjj2·Njjxjj1:

2 On associe aux trois normes trois distances,d1;d2etd1. L"´equivalence des normes entraˆıne qu"une suite converge pour l"une des trois distances si et seulement si elle converge pour une des deux autres. Un autre exemple, qu"on ´etudiera longuement, est le suivant : on appelleB(A;R) l"ensemble

des fonctions born´ees d´efinies sur l"ensembleA`a valeurs dansR. On d´efinit facilement la somme

de deux fonctions, ou le produit par un scalaire, qui permettent de munirB(A;R) d"une structure d"espace vectoriel. On d´efinit alors jjfjjB(A;R)= sup t2Ajf(t)j:

On v´erifie que c"est une norme surB(A;R).

1.4 sous-espaces m´etriques, espaces produits, transports de distances

Soit (E;d) un espace m´etrique,Fune partie deE. Alors la restriction `aF£Fdedest une distance surF, appel´eedistance induite. On dit queF, muni de la distance induite pard, est un sous-espace m´etrique de (E;d). Remarquons que la suite (xn)n¸0converge dansFsi et seulement si les deux propri´et´es sont satisfaites : - (xn)n¸0converge dansE; - sa limite appartient `aF. Soient (E1;d1) et (E2;d2) deux espaces m´etriques,E=E1£E2. Alors d(x;y) = maxfd1(x1;y1);d2(x2;y2)g

d´efinit une distance surE, appel´eedistance produit. L"espace m´etrique obtenu est appel´eespace

m´etrique produit. Remarquons que la suite de couplesxn= (x1;n;x2;n) converge versa= (a1;a2) si et seulement si les deux propri´et´es sont satisfaites : - la suitex1;nconverge versa1dansE1; - la suitex2;nconverge versa2dansE2. De plus, la fonctionprojectiondeE1£E2dansE1d´efinie par (x1;x2)!x1est continue. De

mˆeme, la fonctionextensiondeE1dansE1£E2, d´efinie parx!(x;a), o`uaest un ´el´ement fix´e

deE2, est continue. On a la proposition suivante : Proposition.Soient(E;d),(E1;d1)et(E2;d2)trois espaces m´etriques,f= (f1;f2)une applica- tion deEdanE1£E2. Alorsfest continue enasi et seulement sif1etf2sont continues en a. Soit (E;d) un espace m´etrique et soitfune bijection de l"ensembleFsurE. L"application d´efinie surF£Fpar (x;y)!d(f(x);f(y)) est une distance surF. On dit qu"on atransport´ela distanceddeE`aF. Une partie qu"on vient de faire a un sens pour les espaces vectoriels norm´es. Maisattention! On ne peut dire queFest un sous-espace vectoriel norm´e deEque siFest un sous-espace vectoriel deE. Si (E1;k k1) et (E2;k k2) sont deux espaces vectoriels norm´es, alorsE=E1£E2peut ˆetre muni d"une structure d"espace vectoriel. De plus kxk= maxfkx1k1;kx2k2g

d´efinit une norme surE, appel´eenorme produit. L"espace vectoriel norm´e obtenu est appel´eespace

produit.

2 Ouverts, ferm´es, voisinages, int´erieur, adh´erence

Unensemble ouvertdeE, ou plus simplement un ouvert deE, est une partieAdeEqui poss`ede la propri´et´e suivante : A est ouvert si et seulement si, quel que soita2A, il exister >0tel que la boule B(a;r)soit incluse dansA.Une bouleB(a;r) est un ouvert. La famille des ouverts poss`ede les propri´et´es fondamentales suivantes. 3

1.L"ensemble vide etEtout entier sont des ouverts.

2.

Toute r´eunion d"ouverts est un ouvert.

3.

Toute intersection finie d"ouverts est un ouvert.

On appelleensemble ferm´edeEtoute partie dont le compl´ementaire est un ouvert. La famille des ferm´es poss`ede les propri´et´es suivantes. 1. L"ensemble vide etEtout entier sont des ferm´es. 2. Toute intersection de ferm´es est un ferm´e. 3. Toute r´eunion finie de ferm´es est un ferm´e.

En particulier, l"ensemble

B

0(a;r) =fx2E;d(a;x)·rg

est un ferm´e quel que soita2Eetr¸0. L"ensembleB0(a;r) est appel´eboule ferm´eede centrea

et de rayonrtandis que, lorsqu"il y a ambigu¨ıt´e, la bouleB(a;r) est dite boule ouverte. Le lemme

suivant permet de caract´eriser les ferm´es en termes de suites.quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3